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函數、極限與連續高等數學(上)-第1章高等數學-第1章函數、極限和連續高等數學-第2章

導數與微分-課件高等數學-第3章

導數的應用與中值定理高等數學-第4章不定積分高等數學-第5章定積分高等數學-第6章

微分方程全套可編輯PPT課件

目錄函數與性質數列的極限函數的極限兩個重要極限無窮小和無窮大函數的連續性PartContents1.1函數與性質引例曲邊梯形的面積

高等數學的研究對象是函數，而極限是研究函數的重要方法.本章主要介紹了函數的概念和性質，極限的定義和運算法則，以及在微積分運算中起重要作用的無窮小量，并運用極限的概念引入了函數的連續性問題.

極限理論是高等數學的基石，指引我們透過現象看本質，為后續學習導數、微分、積分等知識提供了必要的理論基礎，被廣泛應用于物理、工程、經濟等領域，為描述變量間的依賴關系、分析變化規律、構建數學模型提供了必不可少的工具。PartContents1.1.1集合、區間與鄰域

集合一般來說，具有某種確定性質的對象的全體稱為集合,

構成集合的對象，稱為集合的元素。

集合

集合集合

BU

A圖1-1高等數學中常用數集包括：(1)自然數集：全體非負整數組成的集合稱為非負整數集或者自然數集，記為N；(2)整數集：全體整數構成的集合稱為整數集，記為Z；如果是全體正整數構成的集合稱為正整數集，記為Z+；全體負整數構成的集合稱為負整數集，記為Z-；(3)有理數集：全體有理數構成的集合稱為有理數集，記為Q；(4)實數集：全體實數構成的集合稱為實數集，記為R.集合

區

間區間區間分有限區間和無限區間，有限區間分為開區間、閉區間和半開區間.

鄰

域鄰域的定義

鄰

域

鄰

域

PartContents1.1.2函數的概念函數的定義函數的定義

函數的三個基本要素是定義域、對應法則和值域.定積分的定義

函數的定義由函數的三個基本要素可知,一個函數由定義域D,對應法則f和值域R唯一確定。163

在實際問題中，函數的定義域是根據問題的實際意義確定的，而在數學中，有時抽去函數的實際意義，單純地討論用算式表達的函數，此時函數的定義域是使得算式有意義的一切實數組成的數集，這種定義域稱為函數的自然定義域。函數的定義域

函數的定義域函數的定義域的判定例題

PartContents1.1.3函數的特性函數的特性函數的特性PartContents1.1.4函數的表示法函數的表示法圖形法表格法解析法（公式法）表示法顯函數隱函數參數方程復合函數反函數y=f(u),u=g(x),且Df∩Ru≠?,則稱y是x的復合函數,其中u為中間變量.例題

解：

反函數函數的表示法

PartContents1.1.5常用的函數基本初等函數冪函數

指數函數

基本初等函數對數函數

基本初等函數三角函數

基本初等函數三角函數

基本初等函數反三角函數

圖像性質基本初等函數反三角函數

圖像性質基本初等函數定義初等函數由基本初等函數經過有限次的四則運算或有限次的復合，并用一個式子表示的函數稱為初等函數.例如：

分段函數分段函數是一個函數由兩個或兩個以上不同的解析式表示。不能將分段函數當做幾個函數。求分段函數的函數值時，要先判斷自變量所屬的范圍.例題

例題

例3：符號函數例題

提升訓練營【例1】求函數解:這個函數的定義域為：的定義域.提升訓練營

提升訓練營

提升訓練營

PartContents1.2數列的極限PartContents1.2.1.數列極限的定義引例數列的極限

數列極限的定義數列的定義

例如：

數列極限的定義

極限的定義1

數列極限的定義

極限的定義1

數列極限的定義

思考：“無限增大”和“無限接近”如何來進行度量呢？

數列極限的定義

極限的定義2數列極限的定義

極限的定義3

數列極限的定義例題

解：

數列極限的定義

解：

數列極限的定義

解：

數列極限的定義結論：數列的極限

公式1-1例題

例題

解：PartContents1.2.2.數列極限的計算數列極限的運算法則

例題

解：數列極限的運算

解：數列極限的運算

PartContents1.2.3.數列極限的性質數列極限的性質定積分的定義

提升訓練營

解：數列極限的運算

解：數列極限的運算

PartContents1.3函數的極限

導引PartContents1.3.1函數極限的定義引例

函數極限的定義定義1函數極限的定義定義1

函數極限的定義定義1

函數極限的定義定理

引例

函數極限的定義定義2函數極限的定義定義2

函數極限的定義定義2

注意：

函數極限的定義定積分的定義

函數極限的定義

例題【例3】函數

例題

解：…-1010-1…10-101

例題該函數的圖形如下圖所示：

例題【例3】函數

PartContents1.3.2函數極限的計算方法導引

函數極限的運算法則定積分的定義

函數極限的運算法則定積分的定義

例題

解：

例題

解：

函數極限的運算定積分的定義

下面我們重點討論不定型：例題

例題解：

例題解：

例題解：

函數極限的運算定積分的定義

我們得出更常用的公式函數極限的運算定積分的定義

例題

例題

函數極限的運算定積分的定義

例題

函數極限的性質提升訓練營

提升訓練營

PartContents1.4兩個重要極限夾逼準則

下面介紹判斷極限存在的準則——夾逼準則.夾逼準則分為數列極限和函數極限兩種情況，我們重點討論如何使用夾逼準則求極限.定理1夾逼準則定理2：

函數極限的夾逼準則：

(或x>M)內有定義，且滿足條件：定理2夾逼準則夾逼準則不僅告訴我們怎么判斷一個函數（數列）極限是否存在，同時也給了我們一種新的求極限的方法，即為了求得某一個困難函數（數列）的極限，可找兩個極限相同且易求出極限的函數（數列），將其夾在中間，那么這個函數（數列）的極限必存在，且等于這個共同的極限.例題

例題

例題

第一重要極限

1xyO1

第一重要極限

注意例題【例2】求下列極限

例題【例2】求下列極限

例題【例2】求下列極限

例題【例3】求下列極限

例題【例3】求下列極限

例題【例3】求下列極限

單調有界收斂準則

定義1前面講過，有極限的數列一定有界，但反過來，有界數列不一定有極限，單調有界原理告訴我們，單調有界的數列極限一定存在.單調有界收斂準則如果詳細的說，則有下列性質：定理3（單調有界原理）:單調有界數列必有極限.

例題

例題

第二重要極限定義2

第二重要極限

Oxy1e單調有界收斂準則

例題【例4】求下列極限

例題【例4】求下列極限

例題【例4】求下列極限

提升訓練營

提升訓練營

解（1）（2）

提升訓練營解（3）

提升訓練營（4）

提升訓練營【例2】設有本金1000元，若用連續復利(在無限短的時間內按照復利計息)計算，年利率為8%，則5年末可得本利和為多少？提升訓練營解：如果每年結算一次，則一年末本利和為

PartContents1.5無窮小與無窮大引

PartContents1.5.1無窮小無窮小

定義1

無窮小(1)無窮小與一個很小的確定的常數不能混為一談，這是因為無窮小是個變量（函數），是自變量在某一個變化趨勢下，函數的絕對值趨近于0的變量.(2)常數0可以看成任何一個變化過程中的無窮小.零是無窮小中唯一的常數.(3)一個變量是否為無窮小，除了與變量本身有關，還與自變量的變化趨勢有關.注意：

無窮小定理1

對于自變量的同一變化過程中的無窮小，有下列性質：性質1:有限個無窮小的代數和是無窮小.性質2:有限個無窮小的乘積是無窮小.性質3:有界函數與無窮小的乘積是無窮小.性質4:常數與無窮小的乘積是無窮小.無窮小注意：

例題

PartContents1.5.2無窮大無窮大

定義2

無窮大注意：

無窮大的性質：性質1：有限個同號的無窮大的和，仍為無窮大；性質2：有限個無窮大的積，仍為無窮大；性質3：非零常數乘以無窮大，仍為無窮大.無窮大PartContents1.5.3無窮大和無窮小的關系無窮大和無窮小的關系定理1

例題

PartContents1.5.4無窮小的階的比較

引無窮小的階

定義3無窮小的階

定義3

無窮小的階

PartContents1.5.5等價無窮小的代換等價無窮小的代換定理2

等價無窮小的代換定理3

注：定理中求商或積中的極限過程，可以把無窮小用與之等價的無窮小代換，從而達到簡化運算的目的，但是在加減法運算中，一般不能使用等價無窮小代換.

等價無窮小的代換

此外，等價無窮小的代換例題【例3】利用等價無窮小代換求下列極限

例題【例3】利用等價無窮小代換求下列極限

提升訓練營

提升訓練營

解：

PartContents1.6函數的連續性PartContents1.6.1連續性連續性

連續性的定義1

連續性連續性

連續性的定義2

連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線.連續性

(2)有極限，即存在；(3)相等，即

連續性

PartContents1.6.2函數的間斷點及分類間斷點

間斷點的定義

間斷點

間斷點的分類間斷點第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點f(x0-),f(x0+)都存在f(x0-)=f(x0+)f(x0-)

f(x0+)f(x0-),f(x0+)中至少有一個不存在f(x0-),f(x0+)中有一個是無窮大f(x0-),f(x0+)中有一個是振蕩間斷點的分類例題

例題

例題

PartContents1.6.3連續函數的性質

連續函數的性質綜上所述，由于基本初等函數在其各自定義域內每點處的極限都存在，且等于該點處的函數值，基本初等函數在其定義域內都是連續的.初等函數在其定義區間內都是連續的.所謂定義區間是指包含在定義域內的區間.連續函數的性質注：分段函數不作為初等函數處理，它在分界點的連續性一般需按定義來討論.

PartContents1.6.4閉區間上連續函數的性質

閉區間連續函數的性質定理1（最值定理）

推論（有界性定理）：閉區間上的連續函數在該區間一定有界.閉區間連續函數的性質定理2（介值定理)

閉區間連續函數的性質推理（零點定理）例題

例題

提升訓練營提升訓練營

提升訓練營提升訓練營

謝謝！導數及微分高等數學(上)-第二章目錄導數的概念函數的求導法則隱函數及參數方程所確定的函數的導數函數的微分PartContents2.1導數的概念引例1.直線運動的速度引例1.直線運動的速度引例1.直線運動的速度引例2.割線與切線引例2.割線與切線引例2.割線與切線PartContents導數的定義導數的定義1.函數在某一點處可導導數的定義導數的定義例題導數的定義2.函數在某區間內可導導數的定義導數的定義3.簡單函數的可導例題例題例題例題例題例題導數的定義4.左右導數的定義導數的定義導數的定義例題PartContents導數的幾何意義導數的幾何意義導數的幾何意義例題PartContents導數的可導性與連續性的關系可導性與連續性的關系可導性與連續性的關系定積分的定義例題例題提升訓練營提升訓練營PartContents2.2導數的求導法則引例PartContents導數的和、差、積、商的求導法則和、差、積、商的求導法則和、差、積、商的求導法則例題例題例題例題PartContents反函數的求導法則反函數的求導法則反函數的求導法則例題例題1.直線運動的速度反函數的求導法則1.直線運動的速度反函數的求導法則PartContents復合函數的求導法則復合函數的求導法則復合函數的求導法則復合函數的求導法則例題例題例題例題例題例題PartContents高階導數高階導數高階導數高階導數例題例題例題例題例題例題例題提升訓練營提升訓練營PartContents2.3隱函數及參數方程

所確定函數的導數PartContents隱函數的導數隱函數的導數例題例題例題PartContents對數求導法對數求導法例題對數求導法例題PartContents由參數方程所確定的函數的的導數由參數方程所確定的函數的導數由參數方程所確定的函數的導數例題隱函數的導數例題提升訓練營PartContents2.4函數的微分引例圖

2-4引例PartContents微分的定義微分的定義微分的定義例題PartContents微分的幾何意義微分的幾何意義微分的幾何意義PartContents基本初等函數的微分公式與微分運算法則微分公式微分公式微分公式微分公式微分公式微分公式例題例題PartContents近似計算近似計算例題近似計算例題提升訓練營提升訓練營謝謝！微分中值定理與導數的應用高等數學(上)-第三章目錄3.1微分中值定理3.2洛必達法則3.3泰勒公式3.5曲線的凹凸性、拐點及函數作圖3.4函數的單調性、極值和最值3.6曲率PartContents3.1微分中值定理PartContents羅爾定理3.1.1羅爾定理1.定理1(費馬引理)圖3-1注：通常稱導數等于零的點為函數的駐點（或稱為穩定點、臨界點）3.1.1羅爾定理2.定理2(羅爾引理)1.直線運動的速度3.1.1羅爾定理1.直線運動的速度3.1.1羅爾定理1.直線運動的速度3.1.1羅爾定理例題圖3-3例題圖3-4例題圖3-5例題圖3-6例題PartContents拉格朗日中值定理1.直線運動的速度3.1.2拉格朗日中值定理1.定理3(拉格朗日中值定理)1.直線運動的速度3.1.2拉格朗日中值定理2.定理4(拉格朗日中值定理的其它形式)1.直線運動的速度3.1.2拉格朗日中值定理推論11.直線運動的速度3.1.2拉格朗日中值定理推論2例題例題例題PartContents柯西中值定理3.1.3柯西中值定理1.定理5(柯西中值定理)圖3-83.1.3柯西中值定理1.定理5(柯西中值定理)例題例題提升訓練營提升訓練營PartContents3.2洛必達法則PartContents1.定理1例題例題例題PartContents1.定理2例題例題例題例題PartContents其他類型未定式例題例題例題例題例題例題例題例題例題3.2.4小結提升訓練營PartContents3.3泰勒公式PartContents泰勒中值定理3.3.1泰勒中值定理1.多項式逼近函數3.3.1泰勒中值定理2.定理1（泰勒中值定理）3.3.1泰勒中值定理PartContents麥克勞林公式3.3.2麥克勞林公式例題3.3.2麥克勞林公式PartContents泰勒公式的應用3.3.3泰勒公式的應用例題例題例題提升訓練營PartContents3.4函數的單調性、極值和最值PartContents函數單調性的判定法3.4.1函數單調性的判定法3.4.1函數單調性的判定法1.定理1（函數單調性的判別法）3.4.1函數單調性的判定法例題例題例題3.4.1函數單調性的判定法3.4.1函數單調性的判定法例題x(

1)(1

2)(2

)f

(x)

f(x)↗↘↗例題PartContents函數的極值及其求法3.4.2函數的極值及其求法1.定義13.4.2函數的極值及其求法1.定義1圖3-93.4.2函數的極值及其求法1.定義13.4.2函數的極值及其求法2.定理2（極值的必要條件）3.4.2函數的極值及其求法2.定理2（極值的必要條件）3.4.2函數的極值及其求法3.定理3(極值的第一充分條件)圖3-103.4.2函數的極值及其求法3.定理3(極值的第一充分條件)圖3-113.4.2函數的極值及其求法3.定理3(極值的第一充分條件)3.4.2函數的極值及其求法3.定理3(極值的第一充分條件)3.4.2函數的極值及其求法4.定理4(極值的第二充分條件)3.4.2函數的極值及其求法4.定理4(極值的第二充分條件)例題x(

1)

1(

1

1)1(1

)f

(x)

不可導

0

f(x)↗0↘↗例題PartContents函數的最值3.4.3函數的最值3.4.3函數的最值3.4.3函數的最值例題例題例題提升訓練營提升訓練營PartContents3.5曲線的凹凸性、拐點及函數作圖PartContents函數的凹凸性、拐點3.5.1函數的凹凸性、拐點圖3-133.5.1函數的凹凸性、拐點1.定義1圖3-143.5.1函數的凹凸性、拐點1.定義1圖3-153.5.1函數的凹凸性、拐點2.定理1（凹凸性判定定理）例題例題3.5.1函數的凹凸性、拐點例題x(

0)0(0

)(

)f

(x)

0

0

f(x)凹弧拐點(0,1)凸弧拐點(

)凹弧PartContents函數的漸近線3.5.2曲線的漸近線3.5.2曲線的漸近線1.定義3例題例題例題例題3.5.2曲線的漸近線例題PartContents函數作圖3.5.3函數作圖3.5.3函數作圖例題x(

,)(,)(

1)1(1，+

)f

(x)+0-

-0+f

(x)-

-

+f(x)極大值

拐點(

)極小值0圖3-16提升訓練營PartContents3.6曲率PartContents弧微分3.6.1弧微分1.定義13.6.1弧微分1.定義1圖3-17PartContents曲率及其計算公式3.6.2曲率及其計算公式1.定義13.6.2曲率及其計算公式1.定義11.定義23.6.2曲率及其計算公式1.定義12.曲率的計算公式圖3-18例題圖3-19例題例題PartContents曲率半徑與曲率圓3.6.3曲率半徑與曲率圓1.定義11.定義3圖3-203.6.3曲率半徑與曲率圓1.定義11.定義3例題提升訓練營對于砂輪磨削一般工件的內表面時，也有類似的結論，即選用的砂輪的半徑不應超過這工件的內表面的截線上各點曲率半徑中的最小值.提升訓練營謝謝！不定積分高等數學(上)-第四章目錄不定積分的概念與性質換元積分法分部積分法本章導引曲邊梯形的面積

微分和積分是對立統一的，從運算的角度看，微分的逆運算就是不定積分.不定積分作為微積分的另一基石，是求解原函數和解決微分方程的關鍵工具.本章從不定積分的基本概念和性質入手，探索其背后的數學原理,重點介紹求解不定積分的方法：直接積分法、換元積分法、分部積分法.不定積分不僅是數學分析中的一個重要概念，也是物理學、工程學等領域中不可或缺的數學語言.PartContents4.1不定積分的概念與性質PartContents原函數與不定積分原函數原函數定義原函數定義原函數

思考：問題1：函數滿足什么條件，它有原函數？問題2：如果函數的原函數存在，它是否唯一？問題3：如果函數的原函數不唯一，它們之間存在什么樣的關系？原函數簡單說：連續函數一定有原函數.原函數存在定理原函數也就是：若函數具有原函數，則其具有無窮多個原函數.原函數存在定理原函數原函數存在定理因此，函數的任意兩個原函數之間只差一個常數.不定積分不定積分的定義積分符號

被積函數被積表達式積分變量積分常數不定積分不定積分的定義

積分號“”是一種運算語言，它表示對已給函數求其全體原函數.注

求不定積分，只須求出被積函數的一個原函數再加上積分常數即可.例題不定積分不定積分的幾何意義PartContents基本積分表基本積分表定積分的定義由于積分運算是微分運算的逆運算，那么可以自然得到如下公式：基本積分表定積分的定義由于積分運算是微分運算的逆運算，那么可以自然得到如下公式：PartContents不定積分的運算性質不定積分的運算性質定積分的定義性質1線性運算的不定積分等于不定積分的線性運算，即性質2，或，或

直接利用基本積分公式和不定積分的運算性質(有時需先對被積函數進行恒等變形)，便可求得不定積分的方法，稱為直接積分法.例題提升訓練營PartContents4.2換元積分法本節導引曲邊梯形的面積上節課介紹的不定積分的運算性質和基本積分公式表,所能計算的不定積分是很有限的.本節課介紹一種求不定積分的方法，即換元積分法，一種方法是把復合函數的微分法反過來用于求不定積分的積分法，另一種方法是引入另一個變量去替代被積函數中的一部分，將被積函數改寫成容易求得積分的形式.PartContents第一換元法第一換元法原函數定義定理如果被積函數可寫成，積分形式可改寫為：上述求不定積分的方法稱為第一換元積分法，又稱為湊微分法.例題計算下列不定積分：例題計算下列不定積分：提升訓練營PartContents第二換元法第二換元法原函數定義定理第二換元法原函數定義定理注：換元積分法在進行換元后，都需要還原為原變量的函數；

第二換元積分法經常用于被積函數中出現根式，且無法用直接積分法和第一換元法計算的題目.例題計算下列不定積分：基本積分表（續）定積分的定義例題中部分積分是后續經常遇到的，常作為公式直接使用，現補充如下：提升訓練營PartContents4.3分部積分法分部積分法原函數定義定理分部積分法注意例題計算下列不定積分：分部積分法—方法總結提升訓練營謝謝！定積分及其應用高等數學(上)-第五章目錄定積分的概念與性質微積分基本定理定積分的換元法與分部積分法反常積分定積分的應用本章導引

定積分是積分學的另一個分支，它通過極限思想將無限分割與求和結合，用于計算面積、體積及累積量.本章主要介紹定積分的定義、性質和計算方法，以及如何利用微元分析法建立各種實際問題的定積分模型，解決幾何學、物理學及工程學中的相關累積求和問題.定積分的思想和微積分基本定理的誕生為微積分的發展奠定了堅實基礎，并體現了數學的深刻性與統一性.PartContents5.1定積分的概念與性質引例曲邊梯形的面積引例曲邊梯形的面積引例曲邊梯形的面積引例曲邊梯形的面積引例曲邊梯形的面積引例變速直線運動的路程引例變速直線運動的路程引例

總結所求問題均為分布率不均勻的量的總量問題；解決類似實際問題的時的思路：

分割—近似—求和—取極限。PartContents定積分的定義定積分的定義定義定積分的定義定義定積分的定義定積分的定義注定積分的定義函數可積條件例題PartContents定積分的幾何意義定積分的幾何意義定積分的定義定積分的幾何意義定積分的定義例題PartContents定積分的性質定積分的性質定積分的定義

利用定義計算定積分是十分困難的，這里我們先介紹一些定積分的基本性質有助于計算定積分.定積分的性質定積分的定義在下面的討論中假設函數均在給定區間內可積，且各性質中積分上下限的大小，如不特別說明，均不加以限制.線性性質此性質可以推廣至有限個函數的情況，即定積分的性質區間的有限可加性定積分的性質定積分的定義保序性定積分的性質估值性質積分中值定理定積分的性質積分中值定理例題提升訓練營PartContents5.2微積分基本定理本節導引曲邊梯形的面積上一節中，我們舉過利用定積分的定義來計算定積分的例子,從例題中可以看出按定義計算定積分是十分困難的.因此尋求一種計算定積分的有效方法便成為積分學發展的關鍵.本節課我們將不定積分作為原函數的概念與定積分作為積分和的極限的概念結合起來，從而提出求解定積分值的方法.引例變速直線運動引例

總結PartContents積分上限函數積分上限函數定義積分上限函數定義積分上限函數定理定理積分上限函數積分上限函數例題PartContents微積分基本定理微積分基本定理微積分基本定理微積分基本定理例題提升訓練營PartContents5.3定積分的換元法與分部積分法本節導引曲邊梯形的面積根據上節課的內容可知，計算定積分的方法就是求被積函數原函數增量，在上一章中我們介紹了求原函數的兩種常用方法，即換元法和分部法，下面我們就利用這兩種方法來計算定積分.PartContents定積分的換元法定積分的換元法定積分的定義定理定理定積分的換元法定積分的定義定理注例題例題PartContents定積分的分部積分法定積分的分部積分法定積分的定義定理定理例題提升訓練營PartContents5.4反常積分本節導引曲邊梯形的面積本節導引曲邊梯形的面積PartContents無限區間上的反常積分引例定積分無限區間上的反常積分定義定理定義1無限區間上的反常積分定義定理定義2無限區間上的反常積分定義定理定義3無限區間上的反常積分例題PartContents無界函數的反常積分無界函數的反常積分定積分的定義定義定理定義4無界函數的反常積分定積分的定義定義定理定義5無界函數的反常積分例題PartContents5.5定積分的應用PartContents微元法微元法定積分的定義微元法定積分的定義微元法微元法PartContents定積分在幾何學上的應用平面圖形的面積直角坐標系的情形平面圖形的面積直角坐標系的情形平面圖形的面積直角坐標系的情形例題平面圖形的面積定積分的定義直角坐標系的情形平面圖形的面積定積分的定義直角坐標系的情形例題平面圖形的面積參數方程的情形例題平面圖形的面積極坐標知識回顧平面圖形的面積極坐標知識回顧平面圖形的面積極坐標的情形平面圖形的面積極坐標的情形平面圖形的面積極坐標的情形平面圖形的面積極坐標的情形例題空間立體的體積定積分的定義旋轉體的體積旋轉體：由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體.這條直線叫做旋轉軸.空間立體的體積定積分的定義旋轉體的體積空間立體的體積定積分的定義旋轉體的體積例題空間立體的體積定積分的定義旋轉體的體積例題空間立體的體積定積分的定義平行截面面積已知的立體體積例題曲線的弧長曲線的弧長定積分的定義直角坐標系的情形曲線的弧長定積分的定義直角坐標系的情形曲線的弧長定積分的定義參數方程的情形曲線的弧長定積分的定義極坐標的情形例