解析卷-北師大版9年級數學上冊期末試題含答案詳解（能力提升）

北師大版9年級數學上冊期末試題考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題24分）一、單選題（6小題，每小題2分，共計12分）1、方程y2＝-a有實數根的條件是（

）A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a為任何實數2、圖，在△ABC中，AB＝AC，四邊形ADEF為菱形，O為AE，DF的交點，S△ABC＝8，則S菱形ADEF＝（）A．4 B．4 C．4 D．43、已知反比例函數的圖象如圖所示，將該曲線繞點O順時針旋轉得到曲線，點N是曲線上一點，點M在直線上，連接、，若，的面積為，則k的值為（

）A． B． C． D．4、若實數滿足，則的值是（）A．1 B．-3或1 C．-3 D．-1或35、如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=，對角線AC上有一點G（異于A，C），連接DG，將△AGD繞點A逆時針旋轉60°得到△AEF，則BF的長為（

）A． B．2 C． D．26、如圖所示，雙曲線y＝上有一動點A，連接OA，以O為頂點、OA為直角邊，構造等腰直角三角形OAB，則△OAB面積的最小值為（

）A． B． C．2 D．2二、多選題（6小題，每小題2分，共計12分）1、如圖，△ABC中，P為AB上點，在下列四個條件中能確定△APC和△ACB相似的是（

）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．∠CAP＝∠BAC D．2、圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E，F分別是邊BC，AB的中點，連接AE，DF交于點N，將沿AE翻折，得到，AG交DF于點M，延長EG交AD的延長線于點H，連接CG，ME，取ME的中點為點O，連接NO，GO．則以下結論正確的有（

）A． B． C． D．3、下列命題是真命題的是（）A．過線段中點的直線是線段的垂直平分線B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C．三角形的中位線將三角形的面積分成1：2兩部分D．對角線互相垂直的矩形是正方形4、如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB、AC上，下列條件中能判斷△AED∽△ABC的是（）A．∠AED＝∠ABC B．∠ADE＝∠ACBC． D．5、如圖，在△ABC中，中線BE，CD相交于點O，連接DE，下列結論，正確的有（

）．A． B．C． D．6、下列方程中含有一次項的是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題76分）三、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、若，則________．2、如圖，點A是反比例函數y＝（x＞0）圖象上的一點，AB垂直于x軸，垂足為B，△OAB的面積為6．若點P（a，4）也在此函數的圖象上，則a＝_____．3、已知＝，則＝________．4、如圖，在長方形ABCD中，AD=8，AB=6，點E為線段DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，使點D落在點F處，若△CEF為直角三角形時，則DE的長為___.5、你知道嗎，對于一元二次方程，我國古代數學家還研究過其幾何解法呢！以方程即為例加以說明．數學家趙爽（公元3～4世紀）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構造圖（如下面左圖）中大正方形的面積是，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，據此易得．那么在下面右邊三個構圖（矩形的頂點均落在邊長為1的小正方形網格格點上）中，能夠說明方程的正確構圖是_____．（只填序號）6、布袋中有紅、黃、藍三個球，它們除顏色不同以外，其他都相同，從袋中隨機取出一個球后再放回袋中，這樣取出球的順序依次是“紅—黃—藍”的概率是__________．7、已知、在同一個反比例函數圖像上，則________.8、若m，n是關于x的方程x2-3x-3＝0的兩根，則代數式m2+n2-2mn＝_____．四、解答題（6小題，每小題10分，共計60分）1、如圖，平行四邊形的對角線、相較于點O，且，，．求證：四邊形是矩形．2、如圖，已知正方形點在邊上，以為邊在左側作正方形；以為鄰邊作平行四邊形連接．（1）判斷和的數量及位置關系，并說明理由；（2）將繞點順時針旋轉，在旋轉過程中，和的數量及位置關系是否發生變化？請說明理由．3、如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上一動點（不與點A重合），延長ME交射線CD于點N，連接MD，AN．(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形；(2)填空：①當AM的值為時，四邊形AMDN是矩形；②當AM的值為時，四邊形AMDN是菱形．4、如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F分別為OB，OD的中點，延長AE至點G，使EG＝AE，連接CG．(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)當AB與AC滿足什么數量關系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由．5、如圖，是一個豎直放置的釘板，其中，黑色圓面表示釘板上的釘子，分別表示相鄰兩顆釘子之間的空隙，這些空隙大小均相等，從入口處投放一個直徑略小于兩顆釘子之間空隙的圓球，圓球下落過程中，總是碰到空隙正下方的釘子，且沿該釘子左右兩個相鄰空隙繼續下落的機會相等，直至圓球落入下面的某個槽內．用畫樹狀圖的方法，求圓球落入③號槽內的概率．6、用適當的方法解下列方程：（1）

（2）-參考答案-一、單選題1、A【解析】【分析】根據平方的非負性可以得出﹣a≥0，再進行整理即可．【詳解】解：∵方程y2＝﹣a有實數根，∴﹣a≥0（平方具有非負性），∴a≤0；故選：A．【考點】此題考查了直接開平方法解一元二次方程，關鍵是根據已知條件得出﹣a≥0．2、C【解析】【分析】根據菱形的性質，結合AB=AC，得出DF為△ABC的中位線，DF∥BC，，從而得出AE為△ABC的高，得出，再根據菱形的面積公式，即可得出菱形的面積．【詳解】解：∵四邊形ADEF為菱形，∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，∴，，，，，∴CF=EF，DE=DB，，，∴DF∥BC，，，，，，，即，，故C正確．故選：C．【考點】本題主要考查了菱形的性質，中位線的性質，等腰三角形的性質和判斷，平行線的性質，菱形的面積，三角形面積的計算，根據菱形的性質和等腰三角形的性質得出DF為△ABC的中位線，是解題的關鍵．3、B【解析】【分析】將直線y=-x和曲線C2繞點O逆時針旋轉45°，則直線y=-x與x軸重合，曲線C2與曲線C1重合，即可求解．【詳解】解：∵將直線y=-x和曲線C2繞點O逆時針旋轉45°，則直線y=-x與x軸重合，曲線C2與曲線C1重合，∴旋轉后點N落在曲線C1上，點M落在x軸上，如圖所示，設點M，N的對應點分別是M'，N'，過點N'作N'P⊥x軸于點P，連接ON'，M'N'．∵MN=ON，∴M'N'=ON'，M'P=PO，∴S△MON=S△M′ON′=2S△ON′P=2×=，∴（舍）或，故選B．【考點】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，旋轉的性質，體現了直觀想象、邏輯推理的核心素養．4、A【解析】【分析】設x2-3x=y．將y代入原方程得到關于y的一元二次方程y2+2y-3=0即可，解這個方程求出y的值，然后利用根的判別式檢驗即可.【詳解】設x2-3x=y．將y代入原方程，得y2+2y-3=0，解之得，y=1或y=-3．當y=1時，x2-3x=1，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-1）=9+4=13＞0，有兩個不相等的實數根，當y=-3時，x2-3x=-3，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×3=9=12＜0，無解．故y=1，即x2-3x=1．故選A．【考點】本題考查了換元法解一元二次方程及一元二次方程根的判別式，解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化，這叫換元法.換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理.5、A【解析】【分析】過點F作FH⊥BA交BA的延長線于點H，則∠FHA=90°，△AGD繞點A逆時針旋轉60°得到△AEF，得∠FAD=60°，AF=AD=2，又由四邊形ABCD是矩形，∠BAD=90°，得到∠FAH=30°，在Rt△AFH中，FH=AF=1，由勾股定理得AH=，得到BH=AH+AB=2，再由勾股定理得BF=．【詳解】解：如圖，過點F作FH⊥BA交BA的延長線于點H，則∠FHA=90°，∵△AGD繞點A逆時針旋轉60°得到△AEF∴∠FAD=60°，AF=AD=2，∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=90°∴∠BAF=∠FAD+∠BAD=150°∴∠FAH=180°－∠BAF=30°在Rt△AFH中，FH=AF=1由勾股定理得AH=在Rt△BFH中，FH=1，BH=AH+AB=2由勾股定理得BF=故BF的長．故選：A【考點】本題考查了圖形的旋轉，矩形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等知識，解決此題的關鍵在于作出正確的輔助線．6、C【解析】【分析】根據等腰直角三角形性質得出S△OAB＝OA?OB＝OA2，先求得OA取最小值時A的坐標，即可求得OA的長，從而求得△OAB面積的最小值．【詳解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝OB，∴S△OAB＝OA?OB＝OA2，∴OA取最小值時，△OAB面積的值最小，∵當直線OA為y＝x時，OA最小，解得或，∴此時A的坐標為（，），∴OA＝2，∴，∴△OAB面積的最小值為2，故選：C．【考點】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的性質，三角形的面積，求得OA取最小值時A的坐標是解題的關鍵．二、多選題1、ABD【解析】【分析】根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似可對A、B、C進行判斷；根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可對D進行判斷．【詳解】解：∵∠ACP=∠B，∠A公共角，∴△APC∽△ACB，故選項A正確，符合題意；∵∠APC=∠ACB，∠A公共角，∴△APC∽△ACB，故選項B正確，符合題意；∵∠CAP=∠BAC，只有一組角相等，∴不能判斷△APC和△ACB相似，故選項C錯誤，不符合題意；∵，∠A是夾角，∴△APC∽△ACB，故選項D正確，符合題意．故答案為：ABD．【考點】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．2、ABC【解析】【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=AB=BC，∠DAB=∠B=90°，∴∠ADF+∠AFD=90°，∵點E、F分別是邊BC、AB的中點,∴AF=AB，BE=EC=BC，∴AF=BE，∴△DAF≌△ABE(SAS)，∴∠BAE=∠ADF，∴∠BAE+∠AFD=90°，∴∠ANF=180°-(∠BAE+∠AFD)=90°，∴∠AND=90°，故A正確；∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，由折疊得：∠AEB=∠AEG，∴∠DAE=∠AEG，∴AH=EH，故B正確；由折疊得：∠AEB=∠AEG=(180°-∠GEC)，GE=BE=EC，∴∠EGC=∠ECG=(180°-∠GEC)，∴.∠AEB=∠GCE，∴AE∥CG,故C正確；∵O為ME中點，∴，，∴+，∵+-，且△AGE≌△DAF，∴+-，∵∠AND=90°=∠ANF，∠FAN=∠MAN，AN=AN，∴△ANF≌△ANM，∴+-，∴，只有M是邊DN中點的時，D才成立，故D錯誤；故選A、B、C．【考點】本題考查正方形和折疊的綜合應用，熟練掌握正方形的性質、折疊的性質、三角形全等的判定和性質、三角形內角和定理、平行線的判定等是解題關鍵．3、BD【解析】【分析】根據線段垂直平分線的定義，矩形的判定方法，三角形中位線的性質，以及正方形的判定方法逐項分析即可【詳解】解：A.過線段中點且與這條線段垂直的直線是線段的垂直平分線，故原說法錯誤；B.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，正確；C.如圖，DE是△ABC的中位線，作AM⊥BC于M，交DE于N，∵DE是△ABC的中位線，∴DE=BC，AN=AM，∵S△ADE==，S△ABC=，∴S△ADE=S△ABC，∴S△ADE=S四邊形BCED，∴三角形的中位線將三角形的面積分成1：3兩部分，故原說法錯誤；D.對角線互相垂直的矩形是正方形，正確；故選BD．【考點】此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的定義、性質定理及判定定理．4、ABD【解析】【分析】根據三角形相似的判斷方法判斷即可．【詳解】解：A、∵∠AED＝∠ABC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，符合題意；B、∵∠ADE＝∠AC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，符合題意；C、，不能判定△AED∽△ABC，不符合題意；D、∵，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，符合題意．故選：ABD．【考點】此題考查了三角形相似的判斷方法，解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法．5、AC【解析】【分析】由中線BE和中線CD得DE是△ABC的中位線，由中位線的性質判斷A，B；由中位線得證△DOE∽△COB，從而判斷C；求得△ODE與△ABC的面積關系，由中線CD得△ADC和△ABC的面積關系，從而判斷D．【詳解】解：∵BE和CD是△ABC的中線，∴DE是△ABC的中位線，點O是△ABC的重心，∴DE：BC＝1：2，故選項A正確，符合題意；AD：AB＝1：2，DE∥BC，∴∠OED＝∠OBC，∠ODE＝∠OCB，∴△OED∽△OBC，∴，故選項B錯誤，不符合題意；∴OE：OB＝ED：BC＝1：2，∴AD：AB＝OE：OB，故選項C正確，符合題意；∵CD是△ABC的中線，∴，∵OE：OB＝OD：OC＝1：2∴OC：DC＝2：3∴，∴∴，故選項D錯誤，不符合題意；故答案為：A、C．【考點】此題考查了中位線的性質，涉及了比例線段和相似三角形的性質，熟練掌握相關基本性質是解題的關鍵．6、ABC【解析】【分析】根據一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．【詳解】解：A、化為一元二次方程的一般形式為：3x2-2x-5=0，一次項為-2x；B、化為一元二次方程的一般形式為：9x2-16x=0，一次項為-16x；C、化為一元二次方程的一般形式為：x2-7x=0；一次項為-7x；D、化為一元二次方程的一般形式為：x2-25=0，不含一次項．故選：ABC．【考點】本題考查了一元二次方程的一般形式，注意：找項和項的系數時，帶著前面的符號．三、填空題1、【解析】【分析】根據比例的基本性質進行化簡，代入求職即可．【詳解】由可得，，代入．故答案為．【考點】本題主要考查了比例的基本性質化簡，準確觀察分析是解題的關鍵．2、3【解析】【分析】根據反比例函數的幾何意義，可得，從而得到，再將點P（a，4）代入解析式，即可求解．【詳解】解：∵點A是反比例函數y＝（x＞0）圖象上的一點，AB垂直于x軸，∴，∵△OAB的面積為6．∴，即，∴反比例函數的解析式為，∵點P（a，4）也在此函數的圖象上，∴，解得：．故答案為：3【考點】本題主要考查了反比例函數的幾何意義，反比例函數的圖象和性質，熟練掌握反比例函數的幾何意義，反比例函數的圖象和性質，利用數形結合思想解答是解題的關鍵．3、【解析】【分析】利用比例的性質進行變形，然后代入代數式中合并約分即可．【詳解】解：∵，∴，則．故答案為：．【考點】本題考查比例問題，關鍵掌握比例的性質，會利用性質把比例式進行恒等變形，會根據需要選擇靈活的比例式解決問題．4、或8或或【解析】【分析】當△CEF為直角三角形時，有兩種情況：①當點F落在矩形內部時，如答圖1所示．先利用勾股定理計算出AC=10，根據折疊的性質得∠AFE=∠D=90°，設DE=x，則EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中運用勾股定理可計算出x即可．②當點F落在AB邊上時，如答圖2所示．此時四邊形ADEF為正方形，得出DE=AD=8．③當點F落在BC邊上時，利用勾股定理即可解決問題；④如圖4中，當點F在CB的延長線上時，根據勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，CD=AB=6，，當△CEF為直角三角形時，有兩種情況：①當點F落在矩形內部時，F落在AC上，如圖1所示．由折疊的性質得：EF=DE，AF=AD=8，設DE=x，則EF=x，CE=6-x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：∵EF2+CF2=CE2，∴x2+22=（6-x）2，解得x=，∴DE=；②當點F落在AB邊上時，如圖2所示．此時ADEF為正方形，∴DE=AD=8．③如圖4，當點F落在BC邊上時，易知BF，設DE=EF=x，在Rt△EFC中，，，，④如圖3中，當點F在CB的延長線上時，設DE=EF=x，則BF，在Rt△CEF中，，解得x=，綜上所述，BE的長為或8或或.【考點】本題考查了折疊的性質、矩形的性質、勾股定理、正方形的判定與性質等知識；熟練掌握折疊和矩形的性質是解決問題的關鍵．5、②【解析】【分析】仿造案例，構造面積是的大正方形，由它的面積為，可求出，此題得解．【詳解】解：即，構造如圖②中大正方形的面積是，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，據此易得．故答案為②．【考點】本題考查了一元二次方程的應用，仿造案例，構造出合適的大正方形是解題的關鍵．6、【解析】【分析】列舉出所有情況，看球的順序依次是“紅黃藍”的情況數占所有情況數的多少即可．【詳解】解：畫出樹形圖：共有27種情況，球的順序依次是“紅黃藍”的情況數有1種，所以概率為．故答案為：．【考點】考查用列樹狀圖的方法解決概率問題；得到球的順序依次是“紅黃藍”的情況數是解決本題的關鍵；用到的知識點為：概率等于所求情況數與總情況數之比．7、【解析】【分析】首先設反比例函數解析式為，然后將兩點坐標分別代入，即可得出和的表達式，進而得解.【詳解】解：設反比例函數解析式為，將、分別代入，得，∴故答案為.【考點】此題主要考查反比例函數的性質，熟練掌握，即可解題.8、21【解析】【分析】先根據根與系數的關系得到m+n＝3，mn＝﹣3，再根據完全平方公式變形得到m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：∵m，n是關于x的方程x2-3x-3＝0的兩根，∴m+n＝3，mn＝﹣3，∴m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn＝32﹣4×（﹣3）＝21．故答案為：21．【考點】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2，x1x2．四、解答題1、見解析【解析】【分析】先根據四邊形是平行四邊形且得到平行四邊形是菱形，即可得到，再根據，，證明四邊形是平行四邊形，即可得到平行四邊形是矩形．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形且∴平行四邊形是菱形∴，即又∵，．∴四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是矩形．【考點】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．2、（1）；；理由見解析；（2）與的數量及位置關系都不變；答案見解析．【解析】【分析】（1）證明，由全等三角形的性質得出，，得出，則可得出結論；（2）證明，由全等三角形的性質得出，，由平行線的性質證出，則可得出結論．【詳解】解：（1），．由題意可得，平行四邊形為矩形，，，，，，，，，設與交于點，則，即．（2）與的數量及位置關系都不變．如圖，延長到點，四邊形為平行四邊形，，，，，，，，，，又，，，，，，，，，即．【考點】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質，解題的關鍵是：熟練掌握正方形的性質．3、(1)見解析(2)①3；②6【解析】【分析】（1）利用AAS證△NDE≌△MAE，得出NE＝ME，進而得出結論；（2）①當四邊形AMDN是矩形時∠AMD=90°，由菱形的性質得AD=6，進而求出AM的值；②當四邊形AMDN是菱形時，AM=DM，由∠DAB＝60°，得出△AMD為等邊三角形，進而求出AM的值．(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形∴AB∥CD∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE∵點E是AD邊的中點∴AE＝DE∴△NDE≌△MAE（AAS）∴NE＝ME∴四邊形AMDN是平行四邊形(2)解：①當四邊形AMDN是矩形時∠AMD=90°在菱形ABCD中AD＝AB＝6∵∠DAB＝60°∴∠ADM=30°∴AM=AD=3故答案為：3．②當四邊形AMDN是菱形時，AM=DM∵∠DAB＝60°∴△AMD為等邊三角形∴AM=AD在菱形ABCD中AD＝AB＝6∴AM=6故答案為：6．【考點】本題考查平行四邊形的判定，矩形和菱形