2023年廣東省普通高中數(shù)學(xué)試題及解析

2023年廣東省普通高中數(shù)學(xué)考試采用新高考Ⅰ卷，試題以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》為依據(jù)，立足學(xué)科本質(zhì)，聚焦核心素養(yǎng)，既考查基礎(chǔ)知識的扎實性，又注重思維能力與創(chuàng)新應(yīng)用的考查，為高校選拔人才和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供了明確導(dǎo)向。本文將從題型特點、考點分布、解題思路等方面對試題進行深度解析，助力師生把握命題規(guī)律，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。一、選擇題：夯實基礎(chǔ)，凸顯思維層次性選擇題共8道單選題、4道多選題，覆蓋集合、函數(shù)、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計等核心模塊，既考查基礎(chǔ)知識的記憶與理解，又通過思維分層設(shè)計，區(qū)分不同水平的考生。（一）集合與常用邏輯用語（第1題）題目：已知集合\(M=\{x|x^2-3x-4<0\}\)，\(N=\{x|x\geq2\}\)，則\(M\capN=\)（）A.\([2,4)\)B.\([2,+\infty)\)C.\((-1,4)\)D.\((-1,+\infty)\)解析：1.解一元二次不等式\(x^2-3x-4<0\)：因式分解得\((x-4)(x+1)<0\)，結(jié)合數(shù)軸分析，解集為\(-1<x<4\)，即\(M=(-1,4)\)。2.分析集合\(N\)的范圍：\(N=\{x|x\geq2\}=[2,+\infty)\)。3.求交集\(M\capN\)：兩個區(qū)間的公共部分為\([2,4)\)（數(shù)軸上\(-1<x<4\)與\(x\geq2\)的重疊區(qū)域）。考點：集合的交集運算、一元二次不等式解法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運算（因式分解、區(qū)間分析）和直觀想象（數(shù)軸法）素養(yǎng)。（二）函數(shù)性質(zhì)與圖像（第5題）題目：函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)的圖像關(guān)于（）對稱？A.原點B.直線\(y=x\)C.直線\(x=1\)D.點\((0,1)\)解析：判斷函數(shù)對稱性，可通過點對稱定義：若函數(shù)關(guān)于點\((a,b)\)對稱，則對任意\(x\)，有\(zhòng)(f(a+x)+f(a-x)=2b\)。1.嘗試\(a=0,b=1\)：計算\(f(0+x)+f(0-x)=f(x)+f(-x)\)：\(f(x)=x^3-3x+1\)，\(f(-x)=-x^3+3x+1\)，因此\(f(x)+f(-x)=(x^3-3x+1)+(-x^3+3x+1)=2\)，符合\(2b=2\)（\(b=1\)）。2.驗證其他選項：原點對稱（奇函數(shù)）：\(f(-x)=-f(x)\)？代入得\(-x^3+3x+1\neq-x^3+3x-1\)，排除A。直線\(y=x\)對稱（反函數(shù)）：\(f(x)\)的反函數(shù)復(fù)雜，且\(f(1)=-1\)，\(f(-1)=3\)，不滿足\(f(f(x))=x\)，排除B。直線\(x=1\)對稱：\(f(1+x)=f(1-x)\)？代入\(x=1\)，\(f(2)=3\)，\(f(0)=1\)，不相等，排除C。考點：函數(shù)的對稱性（點對稱、軸對稱），考查邏輯推理（定義法驗證）和數(shù)學(xué)運算（代數(shù)變形），體現(xiàn)對函數(shù)性質(zhì)的深刻理解。二、填空題：靈活應(yīng)用，考查知識綜合性填空題共4道，覆蓋數(shù)列、平面向量、不等式、立體幾何等模塊，注重知識的綜合應(yīng)用，需靈活轉(zhuǎn)化條件、簡化運算。（一）數(shù)列與基本量運算（第13題）題目：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(a_1=1\)，\(S_3=12\)，則\(a_5=\)______。解析：等差數(shù)列的核心量為首項\(a_1\)和公差\(d\)，利用前\(n\)項和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)：1.代入已知條件：\(S_3=3a_1+\frac{3\times2}{2}d=3\times1+3d=12\)，解得\(d=3\)。2.求\(a_5\)：等差數(shù)列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，故\(a_5=1+4\times3=13\)。考點：等差數(shù)列的通項公式與前\(n\)項和公式，考查數(shù)學(xué)運算（方程思想求公差），體現(xiàn)對數(shù)列基本量的熟練掌握。（二）平面向量與數(shù)量積（第14題）題目：在\(\triangleABC\)中，\(D\)為\(BC\)中點，\(AB=2\)，\(AC=3\)，\(\angleBAC=60^\circ\)，則\(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=\)______。解析：利用向量的線性運算和數(shù)量積公式，將向量轉(zhuǎn)化為已知邊和角的表達式：1.向量線性表示：\(D\)為\(BC\)中點，故\(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)；\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)。2.數(shù)量積展開：\(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\)由數(shù)量積分配律，展開為\(\frac{1}{2}(|\overrightarrow{AC}|^2-|\overrightarrow{AB}|^2)\)（因為\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|^2-|\overrightarrow{AB}|^2\)）。3.代入已知長度：\(|\overrightarrow{AC}|=3\)，\(|\overrightarrow{AB}|=2\)，故\(\frac{1}{2}(3^2-2^2)=\frac{1}{2}(9-4)=\frac{5}{2}\)。考點：向量的線性運算、數(shù)量積公式，考查數(shù)學(xué)運算（代數(shù)變形）和直觀想象（三角形中向量關(guān)系），體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想。三、解答題：能力立意，體現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向解答題共6道，覆蓋三角函數(shù)、數(shù)列、概率統(tǒng)計、立體幾何、導(dǎo)數(shù)、解析幾何，注重思維的層次性和綜合性，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。（一）三角函數(shù)與解三角形（第17題）題目：在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)的對邊分別為\(a,b,c\)，已知\(a=3\)，\(b-c=2\)，\(\cosB=-\frac{1}{2}\)。（1）求\(b,c\)的值；（2）求\(\sin(A-B)\)的值。（1）求\(b,c\)的值解析：由\(\cosB=-\frac{1}{2}\)，且\(B\in(0,\pi)\)，得\(B=\frac{2\pi}{3}\)（鈍角）。利用余弦定理\(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB\)，結(jié)合\(b=c+2\)（已知\(b-c=2\)）：1.代入余弦定理：\((c+2)^2=3^2+c^2-2\times3\timesc\times\left(-\frac{1}{2}\right)\)展開得\(c^2+4c+4=9+c^2+3c\)，化簡得\(c=5\)，故\(b=c+2=7\)。（2）求\(\sin(A-B)\)的值解析：利用正弦定理求\(\sinA\)，再結(jié)合三角恒等變換求\(\sin(A-B)\)：1.正弦定理：\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，代入\(a=3\)，\(b=7\)，\(\sinB=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，得：\(\sinA=\frac{a\sinB}{b}=\frac{3\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{3\sqrt{3}}{14}\)。2.分析角\(A\)的范圍：\(B=\frac{2\pi}{3}\)為鈍角，故\(A\in(0,\frac{\pi}{3})\)，\(\cosA>0\)。由\(\sin^2A+\cos^2A=1\)，得：\(\cosA=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-\left(\frac{3\sqrt{3}}{14}\right)^2}=\frac{13}{14}\)。3.三角恒等變換：\(\sin(A-B)=\sinA\cosB-\cosA\sinB\)，代入得：\(\sin(A-B)=\frac{3\sqrt{3}}{14}\times\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{13}{14}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-3\sqrt{3}-13\sqrt{3}}{28}=-\frac{4\sqrt{3}}{7}\)。考點：正弦定理、余弦定理，三角恒等變換，考查數(shù)學(xué)運算（公式應(yīng)用）和邏輯推理（角的范圍分析），體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模（解三角形）和運算能力。（二）概率與統(tǒng)計（第19題）題目：某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品、二等品和次品，已知一等品率為\(0.7\)，二等品率為\(0.2\)，次品率為\(0.1\)。從產(chǎn)品中隨機抽取2件，求：（1）兩件都是一等品的概率；（2）至少有一件是次品的概率。（1）兩件都是一等品的概率解析：產(chǎn)品的等級判定為獨立事件（抽取2件互不影響），一等品率為\(0.7\)，故兩件都是一等品的概率為：\(P(\text{兩件一等品})=0.7\times0.7=0.49\)。（2）至少有一件是次品的概率解析：“至少有一件次品”的對立事件是“兩件都不是次品”（即都是一等品或二等品）。先求對立事件的概率：1.非次品率：一等品率+二等品率=\(0.7+0.2=0.9\)。2.兩件都不是次品的概率：\(0.9\times0.9=0.81\)。3.至少有一件次品的概率：\(1-0.81=0.19\)。考點：獨立事件概率、對立事件，考查數(shù)據(jù)分析（事件關(guān)系分析）和數(shù)學(xué)運算（概率公式應(yīng)用），體現(xiàn)邏輯推理素養(yǎng)。（三）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合（第21題）題目：已知函數(shù)\(f(x)=xe^x-a(x+\lnx)\)，\(a\in\mathbb{R}\)。（1）討論\(f(x)\)的單調(diào)性；（2）若\(f(x)\)有兩個零點，求\(a\)的取值范圍。（1）討論\(f(x)\)的單調(diào)性解析：函數(shù)定義域為\((0,+\infty)\)，求導(dǎo)分析單調(diào)性：1.求導(dǎo)：\(f'(x)=e^x+xe^x-a\left(1+\frac{1}{x}\right)=(x+1)e^x-\frac{a(x+1)}{x}=(x+1)\left(e^x-\frac{a}{x}\right)\)。2.令\(g(x)=e^x-\frac{a}{x}\)（\(x>0\)），分析\(g(x)\)的符號：當(dāng)\(a\leq0\)時，\(e^x>0\)，\(-\frac{a}{x}\geq0\)，故\(g(x)>0\)，\(f'(x)=(x+1)g(x)>0\)，\(f(x)\)在\((0,+\inft