2026高考數學一輪復習第42講　空間距離及立體幾何中的探索性問題 【正文】聽課 學生用

《全品高考復習方案》第42講空間距離及立體幾何中的探索性問題【課標要求】能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題.1.點到直線的距離如圖①,已知直線l的單位方向向量為u,A是直線l上的定點,P是直線l外一點,設AP=a,則向量AP在直線l上的投影向量AQ=(a·u)u,在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ=.

2.點到平面的距離如圖②,已知平面α的法向量為n,A是平面α內的定點,P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.因此PQ=.

3.兩條平行直線之間的距離求兩條平行直線l,m之間的距離,可在其中一條直線l上任取一點P,則兩條平行直線間的距離就等于點P到直線m的距離.4.直線與平面、平面與平面之間的距離均可轉化為點到平面的距離,用求點到平面的距離的方法求解:直線a與平面α之間的距離d=|AB·n||n|,其中A∈a,B∈兩平行平面α,β之間的距離d=|AB·n||n|,其中A∈α,B∈β,題組一易錯辨析判斷下列說法是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若平面α∥平面β,則平面α與平面β間的距離可轉化為平面α內某條直線到平面β的距離,也可轉化為平面α內某點到平面β的距離. ()(2)若平面α的法向量是n=(-2,-2,1),點A(-1,3,0)在平面α內,則點P(-2,1,4)到平面α的距離為103. ((3)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為1,側棱長為2,P,Q分別是異面直線AD1和BD上的任意一點,則P,Q間距離的最小值為23. (題組二教材改編1.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=4,E為C1D1的中點,則點A到平面B1CE的距離為 ()A.3 B.23C.2 D.222.若兩平行平面α,β分別經過坐標原點O和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量為n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是 ()A.1 B.2C.33 D.3.已知直線l過定點A(2,3,1),且直線l的一個方向向量為s=(0,1,1),則點P(4,3,2)到直線l的距離為 ()A.322 BC.102 D.點到直線、點到平面的距離例1(1)[2025·江蘇南通模擬]已知AB=(1,2,-2),AC=-12,0,1,則點BA.2 B.3 C.2 D.3(2)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是棱BC,BB1,DD1的中點,過FG作平面α,使得A1E∥α,則點A到平面α的距離是 ()A.1717 B.3C.51717 D總結反思1.求解點P到直線AB的距離問題的常用方法:(1)兩點間距離法.在直線AB上找點M,使之滿足PM·AB=0,AM=λAB(2)勾股定理法.求向量AP在向量AB上投影向量的長度,則其與|PA|和所求距離是直角三角形三條邊的長,進而利用勾股定理即可得到答案.2.求解點P到平面ABC的距離問題的常用方法:(1)空間向量法.平面ABC的一個法向量為n,則所求距離d=|PA(2)等體積法.VP-ABC=13d·S△ABC=V(其中d為點P到平面ABC的距離),其體積V可求,則d可求【對點演練1】(1)[2025·廣東深圳質檢]AD為三角形ABC的邊BC上的高,在空間直角坐標系中A(2,1,2),B(1,0,0),C(-1,2,4),則AD= ()A.103 B.303 C.105(2)[2025·河南鄭州期末]如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4,△A1BC的面積為22,則點A到平面A1BC的距離為 ()A.4 B.32C.2 D.2直線與平面、平行平面間的距離例2已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,求直線B1C到平面A1BD的距離.總結反思求解直線與平面、平面與平面之間的距離問題的步驟:將線面距離和面面距離轉化為點到平面的距離進行求解,即在直線或平面上找一個點,應用點到平面的距離問題的求解方法求解該點到平面的距離即可.【對點演練2】(1)[2025·浙江紹興期末]在空間直角坐標系中A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,若平面α∥平面β,則平面α與平面β間的距離為 ()A.2626 B.C.33 D.(2)[2025·河南洛陽模擬]如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,且PA=4,E是PA的中點,則PC到平面BED的距離為 ()A.2 B.3C.22 D.23立體幾何中的探索性問題(含向量法探究點的位置)例3[2025·福建三明四校聯考]如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,AB⊥BC,AD∥BC,AD=3,PA=BC=2AB=2,PB=3.(1)求證:BC⊥PB.(2)棱PA上是否存在點E,使得點E與點B到平面PCD的距離相等?若存在,求線段BE的長;若不存在,請說明理由.總結反思利用空間向量巧解探究性問題的策略:(1)空間向量最適合于解決立體幾何中的探究性問題,它無需進行復雜的作圖、論證、推理,只需通過坐標運算進行判斷;(2)解題時,把結論當作條件,據此列方程或方程組,把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解”“是否有規定范圍內的解”等問題,所以為使問題的解決更簡單、有效,應善于運用這一方法解題.【對點演練3】[2024·湖北武漢期末]如圖,四