強化訓練人教版9年級數學上冊【二次函數】章節測評試題（含解析）

人教版9年級數學上冊【二次函數】章節測評考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題30分）一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）1、已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）如圖所示，那么a、b、c的取值范圍是（）A．a＜0、b＞0、c＞0 B．a＜0、b＜0、c＞0 C．a＜0、b＞0、c＜0 D．a＜0、b＜0、c＜02、如圖所示，將一根長m的鐵絲首尾相接圍成矩形，則矩形的面積與其一邊滿足的函數關系是（

）A．正比例函數關系 B．一次函數關系 C．二次函數關系 D．反比例函數關系3、關于拋物線：，下列說法正確的是（

）．A．它的開口方向向上 B．它的頂點坐標是C．當時，y隨x的增大而增大 D．對稱軸是直線4、對于函數的圖象，下列說法不正確的是（

）A．開口向下 B．對稱軸是直線C．最大值為 D．與軸不相交5、如圖，拋物線交軸于點，，交軸于點．若點坐標為，對稱軸為直線，則下列結論錯誤的是（

）A．二次函數的最大值為B．C．D．6、北中環橋是省城太原的一座跨汾河大橋(如圖1)，它由五個高度不同，跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊橋，拉鎖與主梁相連，最高的鋼拱如圖2所示，此鋼拱(近似看成二次函數的圖象-拋物線)在同一豎直平面內，與拱腳所在的水平面相交于A，B兩點，拱高為78米(即最高點O到AB的距離為78米)，跨徑為90米(即AB=90米)，以最高點O為坐標原點，以平行于AB的直線為軸建立平面直角坐標系，則此拋物線鋼拱的函數表達式為(

)A． B． C． D．7、二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，由圖象可知該拋物線與x軸的交點坐標是（

）A．（﹣1，0）和（5，0） B．（1，0）和（5，0）C．（0，﹣1）和（0，5） D．（0，1）和（0，5）8、在同一直角坐標系中，一次函數y＝﹣kx+1與二次函數y＝x2+k的大致圖象可以是（）A． B． C． D．9、在同一平面直角坐標系內，二次函數與一次函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．10、由二次函數，可知（

）A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線x=-3C．其最小值為1 D．當x<3時，y隨x的增大而增大第Ⅱ卷（非選擇題70分）二、填空題（10小題，每小題4分，共計40分）1、請寫出一個開口向下，并且與軸交于點的拋物線的解析式________．2、如圖，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點D在拋物線上，且CD∥AB．AD與y軸相交于點E，過點E的直線PQ平行于x軸，與拋物線相交于P，Q兩點，則線段PQ的長為_____．3、如圖，這是二次函數y＝x2﹣2x﹣3的圖象，根據圖象可知，函數值小于0時x的取值范圍為_____．4、如圖，直線y=mx+n與拋物線y=ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）兩點，則關于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是_________．5、已知函數y的圖象如圖所示，若直線y＝kx﹣3與該圖象有公共點，則k的最大值與最小值的和為_____．6、寫出一個滿足“當時，隨增大而減小”的二次函數解析式______．7、某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤分別為12元、8元，每天賣出份數分別為40份、80份．該店為了增加利潤，準備降低每份A種快餐的利潤，同時提高每份B種快餐的利潤．售賣時發現，在一定范圍內，每份A種快餐利潤每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤每提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是______元．8、已知二次函數，當x＝_______時，y取得最小值．9、如果拋物線的最高點是坐標軸的原點，那么的取值范圍是__________．10、如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y＝x2﹣2x＋2上運動．過點A作AC⊥x軸于點C，以AC為對角線作矩形ABCD，連接BD，則對角線BD的最小值為_____．三、解答題（5小題，每小題6分，共計30分）1、某商場購進甲、乙兩種商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙兩種商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙兩種商品全部售完后，該商場又購進一批甲商品，在原每箱盈利不變的前提下，平均每天可賣出100箱．如調整價格，每降價1元，平均每天可以多賣出20箱，那么當降價多少元時，該商場利潤最大？最大利潤是多少？2、為了實施鄉村振興戰略，幫助農民增加收入，市政府大力扶持農戶發展種植業，每畝土地每年發放種植補貼120元．張遠村老張計劃明年承租部分土地種植某種經濟作物．考慮各種因素，預計明年每畝土地種植該作物的成本（元）與種植面積（畝）之間滿足一次函數關系，且當時，；當時，．（1）求與之間的函數關系式（不求自變量的取值范圍）；（2）受區域位置的限制，老張承租土地的面積不得超過240畝．若老張明年銷售該作物每畝的銷售額能達到2160元，當種植面積為多少時，老張明年種植該作物的總利潤最大？最大利潤是多少？（每畝種植利潤＝每畝銷售額－每畝種植成本＋每畝種植補貼）3、在平面直角坐標系中，設二次函數（m是實數）．(1)當時，若點在該函數圖象上，求n的值．(2)小明說二次函數圖象的頂點在直線上，你認為他的說法對嗎？為什么？(3)已知點，都在該二次函數圖象上，求證：．4、如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB=OC=3，頂點為M．（1）求該二次函數的解析式；（2）點P為線段BM上的一個動點，過點P作x軸的垂線PQ，垂足為點Q，若OQ=m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關于m的函數解析式，并寫出m的取值范圍；（3）探索：線段BM上是否存在點P，使PMC為等腰三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．5、如圖，拋物線y=2（x-2）2與平行于x軸的直線交于點A，B，拋物線頂點為C，△ABC為等邊三角形，求S△ABC;-參考答案-一、單選題1、D【解析】【分析】根據開口方向可判斷a的符號，根據對稱軸可判斷b的符號，根據圖像與y軸的交點可判斷c的符號.【詳解】解：由圖象開口可知：a＜0；由圖象與y軸交點可知：c＜0；由對稱軸可知：0，∴b＜0；∴a＜0，b＜0，c＜0，故選：D．【考點】本題考查二次函數的圖像與性質，解題的關鍵是熟練運用二次函數的圖象與性質，本題屬于中考常考題型．2、C【解析】【分析】設矩形的一邊長為xm，求出矩形面積即可判斷．【詳解】設矩形的一邊長為xm，另一邊長為(1-x)m，面積用y表示，，故選擇：C．【考點】本題考查列函數關系式，并判斷函數的類型，掌握列函數的方法和函數的特征是解題關鍵．3、C【解析】【分析】根據題目中的拋物線和二次函數的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】A選項：∵，∴拋物線的開口向下，故A錯誤；B選項：拋物線的頂點坐標是，故B錯誤；C選項：對拋物線，當時，y隨x增大而增大，故C正確；D選項：拋物線的對稱軸是直線，故D錯誤．故選：C．【考點】本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．4、D【解析】【分析】根據二次函數的性質，進行判斷，即可得到答案.【詳解】解：∵，則開口向下，故A正確；對稱軸是直線，故B正確；當，y有最大值k，故C正確；當，，與y軸肯定有交點，故D錯誤；故選擇：D.【考點】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是熟記二次函數的性質.5、D【解析】【分析】根據拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、與x軸、y軸的交點以及過特殊點時相應的系數a、b、c滿足的關系進行綜合判斷即可．【詳解】解：拋物線y＝ax2＋bx＋c過點A（?4，0），對稱軸為直線x＝?1，因此有：x＝?1＝?，即2a?b＝0，因此選項D符合題意；當x＝?1時，y＝a?b＋c的值最大，選項A不符合題意；由拋物線的對稱性可知，拋物線與x軸的另一個交點為（2，0），當x＝1時，y＝a＋b＋c＞0，因此選項B不符合題意；拋物線與x軸有兩個不同交點，因此b2?4ac＞0，故選項C不符合題意；故選：D．【考點】本題考查二次函數的圖象和性質，掌握拋物線的位置與系數a、b、c的關系是正確判斷的前提．6、B【解析】【分析】設拋物線解析式為y=ax2，由已知可得點B坐標為(45，-78)，利用待定系數法進行求解即可.【詳解】∵拱高為78米(即最高點O到AB的距離為78米)，跨徑為90米(即AB=90米)，以最高點O為坐標原點，以平行于AB的直線為軸建立平面直角坐標系，∴設拋物線解析式為y=ax2，點B(45，-78)，∴-78=452a，解得：a=，∴此拋物線鋼拱的函數表達式為，故選B.【考點】本題考查了二次函數的應用，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵.7、A【解析】【分析】首先根據圖像得出拋物線的對稱軸和其中一個交點坐標，然后根據二次函數的對稱性即可求得另一個交點坐標．【詳解】解：由圖像可得，拋物線的對稱軸為，與x軸的一個交點坐標為（5，0），∵拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（﹣1，0），故選：A．【考點】此題考查了二次函數與x軸的交點，二次函數的對稱性，解題的關鍵是根據二次函數的對稱性求出與x軸的另一個交點坐標．8、A【解析】【分析】二次函數圖象與y軸交點的位置可確定k的正負，再利用一次函數圖象與系數的關系可找出一次函數y=-kx+1經過的象限，對比后即可得出結論．【詳解】解:由y＝x2+k可知拋物線的開口向上，故B不合題意；∵二次函數y＝x2+k與y軸交于負半軸，則k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函數y＝﹣kx+1的圖象經過經過第一、二、三象限，A選項符合題意，C、D不符合題意；故選：A．【考點】本題考查了二次函數的圖象、一次函數圖象以及一次函數圖象與系數的關系，根據二次函數的圖象找出每個選項中k的正負是解題的關鍵．9、C【解析】【分析】根據一次函數和二次函數的圖象和性質，分別判斷a，b的符號，利用排除法即可解答．【詳解】解：A、由一次函數圖象可知，a＞0，b＞0，由二次函數圖象可知，a＞0，b＜0，不符合題意；B、由一次函數圖象可知，a＞0，b＜0，由二次函數圖象可知，a＜0，b＜0，不符合題意；C、由一次函數圖象可知，a＞0，b＜0，由二次函數圖象可知，a＞0，b＜0，符合題意；D、由一次函數圖象可知，a＜0，b=0，由二次函數圖象可知，a＞0，b＜0，不符合題意；故選：C．【考點】本題考查二次函數的圖象和一次函數的圖象，解題的關鍵是明確一次函數和二次函數的性質．10、C【解析】【分析】根據二次函數的性質，直接根據的值得出開口方向，再利用頂點坐標的對稱軸和增減性，分別分析即可．【詳解】解：由二次函數，可知：．，其圖象的開口向上，故此選項錯誤；．其圖象的對稱軸為直線，故此選項錯誤；．其最小值為1，故此選項正確；．當時，隨的增大而減小，故此選項錯誤．故選：．【考點】此題主要考查了二次函數的性質，同學們應根據題意熟練地應用二次函數性質，這是中考中考查重點知識．二、填空題1、【解析】【分析】根據二次函數的性質，拋物線開口向下a＜0，然后寫出即可．【詳解】解：拋物線解析式為（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．【考點】本題考查了二次函數的性質，開放型題目，主要利用了拋物線的開口方向與二次項系數a的關系．2、2【解析】【分析】利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，B，C，D的坐標，由點A，D的坐標，利用待定系數法可求出直線AD的解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點E的坐標，再利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點P，Q的坐標，進而可求出線段PQ的長．【詳解】解：當y＝0時，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴點A的坐標為（﹣2，0）；當x＝0時，y＝﹣x2+x+2＝2，∴點C的坐標為（0，2）；當y＝2時，﹣x2+x+2＝2，解得：x1＝0，x2＝2，∴點D的坐標為（2，2）．設直線AD的解析式為y＝kx+b（k≠0），將A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：解得：∴直線AD的解析式為y＝x+1．當x＝0時，y＝x+1＝1，∴點E的坐標為（0，1）．當y＝1時，﹣x2+x+2＝1，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，∴點P的坐標為（1﹣，1），點Q的坐標為（1+，1），∴PQ＝1+﹣（1﹣）＝2．故答案為：2．【考點】本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式以及一次函數圖象上點的坐標特征，利用二次函數圖象上點的坐標特征求出點P，Q的坐標是解題的關鍵．3、﹣1＜x＜3．【解析】【分析】根據圖象直接可以得出答案【詳解】如圖，從二次函數y＝x2﹣2x﹣3的圖象中可以看出函數值小于0時x的取值范圍為：﹣1＜x＜3【考點】此題重點考察學生對二次函數圖象的理解，抓住圖象性質是解題的關鍵4、x<－1或x>4．【解析】【分析】數形結合，將不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集轉化為直線y=mx+n在拋物線y=ax2+bx+c的上方時對應的x的范圍即可．【詳解】由圖像可得，當x<－1或x>4時，直線y=mx+n在拋物線y=ax2+bx+c的上方，∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是：x<－1或x>4．故答案為：x<－1或x>4．【考點】本題主要考查二次函數、一次函數與不等式的關系，數形結合思想的運用是解題關鍵．5、17【解析】【分析】根據題意可知，當直線經過點（1，12）時，直線y=kx-3與該圖象有公共點；當直線與拋物線只有一個交點時，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它們的和為17．【詳解】解：當直線經過點（1，12）時，12=k-3，解得k=15；當直線與拋物線只有一個交點時，（x-5）2+8=kx-3，整理得x2-（10+k）x+36=0，∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），∴k的最大值是15，最小值是2，∴k的最大值與最小值的和為15+2=17．故答案為：17．【考點】本題考查分段函數的圖象與性質，一次函數圖象上點的坐標特征，結合圖象求出k的最大值和最小值是解題的關鍵．6、（答案不唯一）【解析】【分析】先根據二次函數的圖象和性質取對稱軸x=2，設拋物線的解析式為y=a(x-2)2，由于在拋物線對稱軸的右邊，y隨x增大而減小，得出a<0，于是去a=-1，即可解答．【詳解】解：設拋物線的解析式為y=a(x-2)2，∵在拋物線對稱軸的右邊，y隨x增大而減小，∴a<0，符合上述條件的二次函數均可，可取a=-1，則y=-(x-2)2．故答案為：y=-(x-2)2．【考點】本題考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象和性質．7、1264【解析】【分析】根據題意，總利潤=快餐的總利潤＋快餐的總利潤，而每種快餐的利潤=單件利潤×對應總數量，分別對兩份快餐前后利潤和數量分析，代入求解即可．【詳解】解：設種快餐的總利潤為，種快餐的總利潤為，兩種快餐的總利潤為，設快餐的份數為份，則B種快餐的份數為份．據題意：∴∵∴當的時候，W取到最大值1264，故最大利潤為1264元故答案為：1264【考點】本題考查的是二次函數的應用，正確理解題意、通過具體問題找到變化前后的關系是解題關鍵點．8、1【解析】【分析】根據拋物線的頂點坐標和開口方向即可得出答案．【詳解】解：，該拋物線的頂點坐標為，且開口方向向上，當時，取得最小值，故答案為：1．【考點】本題考查二次函數的最值，求二次函數最大值或最小值有三種方法：第一種可有圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．9、【解析】【分析】根據函數圖像有最高點可得出開口向下，即可得出答案；【詳解】∵拋物線的最高點是坐標軸的原點，∴拋物線開口向下，∴m+1＜0，∴．故答案是．【考點】本題主要考查了根據二次函數的開口方向求參數，準確分析判斷是解題的關鍵．10、1【解析】【分析】由矩形的性質可知BD＝AC，再結合頂點到x軸的距離最近可知當點A在頂點處時滿足條件，求得拋物線的頂點坐標即可求得答案．【詳解】解：∵AC⊥x軸，∴當點A為拋物線頂點時，AC有最小值，∵拋物線y＝x2﹣2x＋2＝（x?1）2＋1，∴頂點坐標為（1，1），∴AC的最小值為1，∵四邊形ABCD為矩形，∴BD＝AC，∴BD的最小值為1，故答案為：1．【考點】本題主要考查了二次函數的性質及矩形的性質，確定出AC最小時的位置是解題的關鍵．三、解答題1、（1）甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；（2）當降價5元時，該商場利潤最大，最大利潤是2000元．【解析】【分析】（1）設甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x-5）元，根據題意列出方程，解方程即可得出結論；（2）設甲種商品降價a元，則每天可多賣出20a箱，利潤為w元，根據題意列出函數解析式，根據二次函數的性質求出函數的最值．【詳解】解：（1）設甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x-5）元，根據題意得：，整理得：x2-18x+45=0，解得：x=15或x=3（舍去），經檢驗，x=15是原分式方程的解，符合實際，∴x-5=15-5=10（元），答：甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；（2）設甲種商品降價a元，則每天可多賣出20a箱，利潤為w元，由題意得：w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，∵a=-20，當a=5時，函數有最大值，最大值是2000元，答：當降價5元時，該商場利潤最大，最大利潤是2000元．【考點】本題考查了分式方程及二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，找出等量關系，準確列出分式方程及函數關系式．2、（1）；（2）種植面積為240畝時總利潤最大，最大利潤268800元．【解析】【分析】（1）利用待定系數法求出一次函數解析式即可；（2）根據明年銷售該作物每畝的銷售額能達到2160元，預計明年每畝種糧成本y（元）與種糧面積x（畝）之間的函數關系為，進而得出W與x的函數關系式，再利用二次函數的最值公式求出即可．【詳解】解：（1）設與之間的函數關系式，依題意得：，解得：，∴與之間的函數關系式為．（2）設老張明年種植該作物的總利潤為元，依題意得：．∵，∴當時，隨的增大而增大．由題意知：，∴當時，最大，最大值為268800元．即種植面積為240畝時總利潤最大，最大利潤268800元．【考點】此題主要考查了一次函數和二次函數的應用，掌握待定系數法求函數解析式并根據已知得出W與x的函數關系式是求最值問題的關鍵．3、(1)-7(2)對，理由見解析(3)見解析【解析】【分析】（1）把m=2，點A（8，n）代入解析式即可求解；（2）由拋物線解析式，得頂點是，把x＝2m代入，求出y值與3-m比較，若相等則即可判斷小明說法正確，否則說法錯誤；（3）由點P（a+1，c），Q（4m-5+a，c）的縱坐標相同，即可求得對稱軸為直線x==a+2m-2，即可得出a+2m-2=2m，求得a=2，得到P（3，c），代入解析式即可得到＝＝，根據二次函數的性質即可證得結論．(1)解：當m＝2時，∵A（8，n）在函數圖象上，∴(2)解：由題意得，頂點是當x＝2m時，∴頂點在直線上(3)證明：∵P（a+1,c），Q（4m-5+a，c）都在二次函數的圖象上∴對稱軸是直線∴a+2m-2＝2m，∴a＝2，∴P（3，c），把P（3，c）代入拋物線解析式，得∴＝＝，∵-2<0，∴c有最大值為，∴c≤．【考點】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，熟練掌握二