2026屆河南省許昌市數學九年級第一學期期末經典試題含解析

2026屆河南省許昌市數學九年級第一學期期末經典試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．二次函數的圖象如圖所示，若關于的一元二次方程有實數根，則的最大值為（）A．-7 B．7 C．-10 D．102．一個不透明的盒子里只裝有白色和紅色兩種顏色的球，這些球除顏色外沒有其他不同。若從盒子里隨機摸取一個球，有三種可能性相等的結果，設摸到的紅球的概率為P，則P的值為（）A． B． C．或 D．或3．如圖，PA、PB都是⊙O的切線，切點分別為A、B．四邊形ACBD內接于⊙O，連接OP則下列結論中錯誤的是（）A．PA=PB B．∠APB+2∠ACB=180°C．OP⊥AB D．∠ADB=2∠APB4．已知關于x的方程x2+bx+a＝0有一個根是﹣a（a≠0），則a﹣b的值為（）A．a﹣b＝1 B．a﹣b＝﹣1 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＝±15．一個盒子里裝有若干個紅球和白球，每個球除顏色以外都相同．5位同學進行摸球游戲，每位同學摸10次（摸出1球后放回，搖勻后再繼續摸），其中摸到紅球數依次為8，5，9，7，6，則估計盒中紅球和白球的個數是（）A．紅球比白球多 B．白球比紅球多 C．紅球，白球一樣多 D．無法估計6．要使方程是關于x的一元二次方程，則（）A．a≠0 B．a≠3C．a≠3且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠07．如圖，，兩條直線與三條平行線分別交于點和．已知，則的值為（）A． B． C． D．8．已知二次函數自變量的部分取值和對應函數值如表：…-2-10123……-503430…則在實數范圍內能使得成立的取值范圍是（）A． B． C． D．或9．已知正多邊形的一個內角是135°，則這個正多邊形的邊數是（）A．3 B．4 C．6 D．810．在平面直角坐標系中，點P（1，﹣2）是線段AB上一點，以原點O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍，則點P對應點的坐標為（）A．（2，﹣4） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）C．（，﹣1） D．（，﹣1）或（﹣，1）11．如果將拋物線向右平移1個單位，那么所得新拋物線的頂點坐標是（）A． B． C． D．12．△ABC中，∠C=90°，內切圓與AB相切于點D，AD=2，BD=3，則△ABC的面積為（）A．3 B．6 C．12 D．無法確定二、填空題（每題4分，共24分）13．若扇形的半徑長為3，圓心角為60°，則該扇形的弧長為___．14．如圖，一艘輪船從位于燈塔的北偏東60°方向，距離燈塔60海里的小島出發，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的南偏東45°方向上的處，這時輪船與小島的距離是__________海里．15．九年級8班第一小組名同學在慶祝2020年新年之際，互送新年賀卡，表達同學間的真誠祝福，全組共送出賀卡30張，則的值是___．16．已知圓錐的底面半徑為2cm，側面積為10πcm2，則該圓錐的母線長為_____cm．17．如圖，拋物線與軸的負半軸交于點，與軸交于點，連接，點分別是直線與拋物線上的點，若點圍成的四邊形是平行四邊形，則點的坐標為__________.18．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是邊AD的中點，將△ABE折疊后得到△A′BE，延長BA′交CD于點F，則DF的長為______．三、解答題（共78分）19．（8分）某養豬場對豬舍進行噴藥消毒.在消毒的過程中，先經過的藥物集中噴灑，再封閉豬舍，然后再打開窗戶進行通風.已知室內每立方米空氣中含藥量（）與藥物在空氣中的持續時間（）之間的函數圖象如圖所示，其中在打開窗戶通風前與分別滿足兩個一次函數，在通風后與滿足反比例函數.（1）求反比例函數的關系式；（2）當豬舍內空氣中含藥量不低于且持續時間不少于，才能有效殺死病毒，問此次消毒是否有效？20．（8分）經市場調查，某種商品在第x天的售價與銷量的相關信息如下表；已知該商品的進價為每件30元，設銷售該商品每天的利潤為y元．時間x（天）1≤x<5050≤x≤90售價（元/件）x+4090每天銷量（件）200-2x（1）求出y與x的函數關系式（2）問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大？最大利潤是多少？（3）該商品銷售過程中，共有多少天日銷售利潤不低于4800元？直接寫出答案．21．（8分）如圖，已知一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點，連接，點為軸上一點，，連接．（1）求反比例函數與一次函數的解析式；（2）求的面積．22．（10分）在不透明的箱子中，裝有紅、白、黑各一個球，它們除了顏色之外，沒有其他區別．（1）隨機地從箱子里取出一個球，則取出紅球的概率是多少？（2）隨機地從箱子里取出1個球，然后放回，再搖勻取出第二個球，請你用畫樹狀圖或列表的方法表示所有等可能的結果，并求兩次取出相同顏色球的概率．23．（10分）如圖，在中，，，垂足分別為，與相交于點．（1）求證：；（2）當時，求的長．24．（10分）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設AB=xm.（1）若花園的面積為192m2,求x的值；（2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積S的最大值.25．（12分）如圖，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且點B的坐標為（4，2）．（1）畫出關于點O成中心對稱的，并寫出點B1的坐標；（2）求出以點B1為頂點，并經過點B的二次函數關系式.26．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四邊形EFPQ是矩形，點P與點C重合，點Q、E、F分別在BC、AB、AC上（點E與點A、點B均不重合）．（1）當AE＝8時，求EF的長；（2）設AE＝x，矩形EFPQ的面積為y．①求y與x的函數關系式；②當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？（3）當矩形EFPQ的面積最大時，將矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線CB勻速向右運動（當點P到達點B時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】把一元二次方程根的個數問題，轉化為二次函數的圖象與直線y=-m的圖象的交點問題，然后結合圖形即可解答．【詳解】解：將變形可得：∵關于的一元二次方程有實數根，∴二次函數的圖象與直線y=-m的圖象有交點如下圖所示，易得當-m≥-7，二次函數的圖象與直線y=-m的圖象有交點解得：m≤7故的最大值為7故選B．此題考查的是二次函數和一元二次方程的關系，掌握將一元二次方程根的情況轉化為二次函數圖象與直線圖象之間的交點問題和數形結合的數學思想是解決此題的關鍵．2、D【分析】分情況討論后，直接利用概率公式進行計算即可.【詳解】解：當白球1個，紅球2個時：摸到的紅球的概率為：P=當白球2個，紅球1個時：摸到的紅球的概率為：P=故摸到的紅球的概率為：或故選：D本題考查了概率公式，掌握概率公式及分類討論是解題的關鍵.3、D【分析】連接，，根據PA、PB都是⊙O的切線，切點分別為A、B，得到，，所以A，C正確；根據得到，即，所以B正確；據此可得答案．【詳解】解：如圖示，連接，，、是的切線，，，所以A，C正確；又∵，，∴在四邊形APBO中，，即，所以B正確；∵D為任意一點，無法證明，故D不正確；故選：D．本題考查了圓心角和圓周角，圓的切線的性質和切線長定理，熟悉相關性質是解題的關鍵．4、B【分析】把x＝﹣a代入方程得到一個二元二次方程，方程的兩邊都除以a，即可得出答案．【詳解】把x＝﹣a代入方程得：（﹣a）2﹣ab+a＝0，a2﹣ab+a＝0，∵a≠0，∴兩邊都除以a得：a﹣b+1＝0，即a﹣b＝﹣1，故選：B．此題考查一元二次方程的解，是方程的解即可代入方程求其他未知數的值或是代數式的值.5、A【解析】根據題意可得5位同學摸到紅球的頻率為，由此可得盒子里的紅球比白球多．故選A．6、B【分析】根據一元二次方程的定義選出正確選項．【詳解】解：∵一元二次方程二次項系數不能為零，∴，即．故選：B．本題考查一元二次方程的定義，解題的關鍵是掌握一元二次方程的定義．7、C【分析】由得設可得答案．【詳解】解：，，設則故選C．本題考查的是平行線分線段成比例，比例線段，掌握這兩個知識點是解題的關鍵．8、C【分析】根據y=0時的兩個x的值可得該二次函數的對稱軸，根據二次函數的對稱性可得x=4時，y=5，根據二次函數的增減性即可得圖象的開口方向，進而可得答案.【詳解】∵，∴，∵x=-1時，y=0，x=3時，y=0，∴該二次函數的對稱軸為直線x==1，∵1-3=-2，1+3=4，∴當時的函數值與當時的函數值相等，∵時，，∴時，，∵x>1時，y隨x的增大而減小，x<1時，y隨x的增大而增大，∴該二次函數的開口向下，∴當時，，即，故選：C.本題考查二次函數的性質，正確提取表中信息并熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵.9、D【分析】根據正多邊形的一個內角是135°，則知該正多邊形的一個外角為45°，再根據多邊形的外角之和為360°，即可求出正多邊形的邊數．【詳解】解：∵正多邊形的一個內角是135°，∴該正多邊形的一個外角為45°，∵多邊形的外角之和為360°，∴邊數＝，∴這個正多邊形的邊數是1．故選：D．本題考查了正多邊形的內角和與外角和的知識，知道正多邊形的外角之和為360°是解題關鍵．10、B【分析】根據位似變換的性質計算即可．【詳解】點P（1，﹣2）是線段AB上一點，以原點O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍，則點P的對應點的坐標為（1×2，﹣2×2）或（1×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（2，﹣4）或（﹣2，4），故選：B．本題考查的是位似變換、坐標與圖形的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．11、C【分析】根據拋物線的平移規律得出平移后的拋物線的解析式，即可得出答案．【詳解】解：由將拋物線y=3x2+2向右平移1個單位，得

y=3（x-1）2+2，

頂點坐標為（1，2），

故選：C．本題考查了二次函數圖象與幾何變換，利用平移規律：左加右減，上加下減是解題關鍵．12、B【分析】易證得四邊形OECF是正方形，然后由切線長定理可得AC=2+r，BC=3+r，AB=5，根據勾股定理列方程即可求得答案．【詳解】如圖，設⊙O分別與邊BC、CA相切于點E、F，連接OE，OF，

∵⊙O分別與邊AB、BC、CA相切于點D、E、F，

∴DE⊥BC，DF⊥AC，AF=AD=2，BE=BD=3，

∴∠OEC=∠OFC=90°，

∵∠C=90°，

∴四邊形OECF是矩形，

∵OE=OF，

∴四邊形OECF是正方形，

設EC=FC=r，

∴AC=AF+FC=2+r，BC=BE+EC=3+r，AB=AD+BD=2+3=5，

在Rt△ABC中，=+，

∴=+，

∴，

即

解得：或（舍去）．

∴⊙O的半徑r為1,∴．故選：B本題考查了三角形的內切圓的性質、正方形的判定與性質、切線長定理以及勾股定理．注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】根據弧長的公式列式計算即可．【詳解】∵一個扇形的半徑長為3，且圓心角為60°，

∴此扇形的弧長為=π．

故答案為：π．此題考查弧長公式，熟記公式是解題關鍵．14、（30+30）【分析】過點C作CD⊥AB，則在Rt△ACD中易得AD的長，再在Rt△BCD中求出BD，相加可得AB的長．【詳解】解：過C作CD⊥AB于D點，由題意可得，

∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=1．

在Rt△ACD中，cos∠ACD=,∴AD=AC=30，CD=AC?cos∠ACD=1×，在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，

∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．答：此時輪船所在的B處與小島A的距離是（30+30）海里．

故答案為：（30+30）．此題主要考查了解直角三角形的應用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．15、1【分析】根據題意列出方程，求方程的解即可．【詳解】根據題意可得以下方程解得（舍去）故答案為：1．本題考查了一元二次方程的實際應用，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．16、5【解析】根據圓的周長公式求出圓錐的底面周長，根據圓錐的側面積的計算公式計算即可．【詳解】設圓錐的母線長為Rcm，圓錐的底面周長＝2π×2＝4π，則×4π×R＝10π，解得，R＝5（cm）故答案為5本題考查的是圓錐的計算，理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．17、或或【分析】根據二次函數與x軸的負半軸交于點，與軸交于點.直接令x=0和y=0求出A，B的坐標.再根據平行四邊形的性質分情況求出點E的坐標.【詳解】由拋物線的表達式求得點的坐標分別為.由題意知當為平行四邊形的邊時，，且，∴線段可由線段平移得到.∵點在直線上，①當點的對應點為時，如圖，需先將向左平移1個單位長度，此時點的對應點的橫坐標為，將代入，得，∴.②當點A的對應點為時，同理，先將向右平移2個單位長度，可得點的對應點的橫坐標為2，將代入得，∴當為平行四邊形的對角線時，可知的中點坐標為，∵在直線上，∴根據對稱性可知的橫坐標為，將代入得，∴.綜上所述，點的坐標為或或.本題是二次函數的綜合題，主要考查了特殊點的坐標的確定，平行四邊形的性質，解本題的關鍵是分情況解決問題的思想．18、【分析】根據點E是AD的中點以及翻折的性質可以求出AE＝DE＝EA'，然后利用“HL”證明△EDF和△EA'F全等，根據全等三角形對應邊相等可證得DF＝A'F；設FD＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列方程即可得解．【詳解】∵E是AD的中點，∴AE＝DE，∵△ABE沿BE折疊后得到△A'BE，∴AE＝EA'，AB＝BA'，∴ED＝EA'，∵在矩形ABCD中，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠EA'F＝90°，∵在Rt△EDF和Rt△EA'F中，∵，∴Rt△EDF≌Rt△EA'F（HL），∴DF＝FA'，設DF＝x，則BF＝4+x，CF＝4﹣x，在Rt△BCF中，62+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得：x＝．故答案為：．本題主要考查折疊的性質與勾股定理，利用勾股定理列出方程，是解題的關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）；（2）此次消毒能有效殺死該病毒.【分析】（1）用待定系數法求函數解析式；（2）求正比例函數解析式，計算正比例函數和反比例函數的函數值為5對應的自變量的值，則它們的差為含藥量不低于5mg/m3的持續時間，然后與21比較大小即可判斷此次消毒是否有效．【詳解】解：（1）設反比例函數關系式為.∵反比例函數的圖像過點，∴.∴.（2）設正比例函數關系式為.把，代入上式，得.∴.當時，.把代入，得.∴.答：此次消毒能有效殺死該病毒.本題考查了反比例函數的應用：能把實際的問題轉化為數學問題，建立反比例函數的數學模型．注意在自變量和函數值的取值上的實際意義．也考查了一次函數．20、（1）當1≤x＜50時，y=﹣2x2+180x+2000，當50≤x≤90時，y=﹣120x+12000；（2）第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6050元；（3）該商品在銷售過程中，共41天每天銷售利潤不低于4800元．【解析】試題分析：（1）根據單價乘以數量，可得利潤，可得答案；（2）根據分段函數的性質，可分別得出最大值，根據有理數的比較，可得答案；（3）根據二次函數值大于或等于4800，一次函數值大于或等于48000，可得不等式，根據解不等式組，可得答案．試題解析：（1）當1≤x＜50時，y=（x+40﹣30）(200-2x)=﹣2x2+180x+2000，當50≤x≤90時，y=（90﹣30）（200-2x）=﹣120x+12000；（2）當1≤x＜50時，二次函數開口向下，二次函數對稱軸為x=45，當x=45時，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，當50≤x≤90時，y隨x的增大而減小，當x=50時，y最大=6000，綜上所述，該商品第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6050元；（3）當1≤x＜50時，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利潤不低于4800元的天數是20≤x＜50，共30天；當50≤x≤90時，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利潤不低于4800元的天數是50≤x≤60，共11天，所以該商品在銷售過程中，共41天每天銷售利潤不低于4800元．21、（1）y1＝x＋1，；（2）14【分析】（1）將分別代入兩個函數解析式得到方程組，解方程組后即可得出函數解析式；（2）根據勾股定理得出OD＝OA＝5，根據題意得出，OC＝1，CD＝4；最后根據S△ABD＝S△DCB＋S△DCA即可得出答案．【詳解】解：(1)由題意得，解得，∴，∴y1＝x＋1，（2）由勾股定理得，A（3，4）∴OA＝，∴OD＝OA＝5，當y1＝0時，0＝x＋1∴x＝－1，OC＝1，CD＝4S△ABD＝S△DCB＋S△DCA＝．本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，代入求值法是解題的關鍵．22、（1）；（2）【分析】（1）已知由在一個不透明的箱子里，裝有紅、白、黑各一個球，它們除了顏色之外沒有其他區別，所以可利用概率公式求解即可；（2）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次取出相同顏色球的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：（1）∵在一個不透明的箱子里，裝有紅、白、黑各一個球，它們除了顏色之外沒有其他區別，∴隨機地從箱子里取出1個球，則取出紅球的概率是；（2）畫樹狀圖得：∵共有9種等可能的結果，兩次取出相同顏色球的有3種情況，∴兩次取出相同顏色球的概率為：．考點：用列表法或樹狀圖法求概率．23、（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）只要證明∠DBF=∠DAC，即可判斷．

（2）利用相似三角形的性質即可解決問題．【詳解】(1)，，，，，；(2)由，可得，，，．本題考查了銳角三角函數的應用，相似三角形的性質和判定，同角的余角相等，直角三角形兩銳角互余等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質解決問題．24、（1）12m或16m；（2）195.【分析】(1)、根據AB=x可得BC=28－x，然后根據面積列出一元二次方程求出x的值；(2)、根據題意列出S和x的函數關系熟，然后根據題意求出x的取值范圍，然后根據函數的性質求出最大值.【詳解】(1)、∵AB=xm，則BC=（28﹣x）m，∴x（28﹣x）=192，解得：x1=12，x2=16，答：x的值為12m或16m(2)、∵AB=xm，∴BC=28﹣x，∴S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，∵在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是16m和6m，∵28-x≥15,x≥6∴6≤x≤13，∴當x=13時，S取到最大值為：S=﹣（13﹣14）2+196=195，答：花園面積S的最大