2025-2026學(xué)年廣東省衡水市金卷高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年廣東省衡水市金卷高三（上）9月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，10i3?i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若函數(shù)f(x)=(x2+mx)cos1x的圖象關(guān)于A.?2 B.1 C.2 D.03.已知一個(gè)底面半徑為1的圓錐側(cè)面展開圖形的面積是底面面積的4倍，則該圓錐的母線長(zhǎng)為(

)A.4 B.1 C.2 D.64.已知向量a=(2,?5)，b=(1,2)，且2a?b與aA.34 B.117 C.2275.設(shè)正數(shù)m，n，p，q滿足n為m與p的等差中項(xiàng)，p為n與q的等比中項(xiàng)，若n=2m，則qm=(

)A.4.5 B.3 C.3.5 D.46.(3+x2y2)(x?y)A.60 B.30 C.45 D.157.已知第二象限角θ滿足cosθ+2cos(θ+3π4)sin(θ+A.54 B.63 C.8.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)，且P(2≤X<6)=0.4，則P(X<2||X|>2)A.15 B.13 C.16二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知集合A={2,b,ab}，B={1,a,1b}，則A.當(dāng)a=b=12時(shí)，集合A∩B含有2個(gè)元素B.集合A∪B中的元素個(gè)數(shù)可能為5

C.當(dāng)A∩B=?時(shí)，ab≠2D.10.記F1，F(xiàn)2分別為雙曲線E：x2?y23=1的左、右焦點(diǎn)，以F1為圓心，以E的焦距為半徑的圓TA.E的漸近線方程為y=±3x B.T：x2+y11.已知函數(shù)f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)，點(diǎn)(?π12,0)和(π6A.f(x)=tan(2x+π6)

B.f′(0)=43

C.在區(qū)間(?π,π)上有4條平行于y軸且被曲線y=f(x)無限逼近的直線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)橢圓E的焦距為2，短軸長(zhǎng)為23，則E的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為______，離心率為______．13.函數(shù)f(x)=e2x+214.在△ABC中，記內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b+c=4，A=2π3，D為邊BC上的一點(diǎn)，且AD是∠BAC的平分線，則AB?ACAD=______，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)F(1,0)為拋物線E：y2=ax的焦點(diǎn)，A，B，C為E上三點(diǎn)，且F為△ABC的垂心．

(1)若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為22，求直線BC的斜率；

(2)若A為坐標(biāo)原點(diǎn)，求16.(本小題15分)

射頻芯片在無線通信技術(shù)中起著至關(guān)重要的作用，其性能的好壞直接影響到通信的穩(wěn)定性和效率.現(xiàn)從型號(hào)為SX1280與BGM220P的兩款射頻芯片中各抽取50枚芯片，每10枚芯片為一組，得到它們的頻率參數(shù)表：組數(shù)

平均頻率10?1GHz1組2組3組4組5組SX128024.224.324.124.024.4BGM220P24.124.224.524.124.1記型號(hào)為SX1280的射頻芯片所得平均頻率為μ1，方差為σ12；型號(hào)為BGM220P的射頻芯片所得平均頻率為μ2，方差為σ22．

(1)記u=|μ1?μ2|σ12+σ22．

(ⅰ)求μ117.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，AB⊥AD，AB=BC=2，AD=4，PA=PD，BC//AD．

(1)證明：PC⊥AD；

(2)若平面ABCD⊥平面PAD，且四棱錐P?ABCD的高為23，求平面BPC與平面DPC18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=aln2x?xlnx+x．

(1)若a=0，求f(x)的零點(diǎn)；

(2)若a>0，討論f(x)的單調(diào)性；

(3)若a∈(0,1)，證明：19.(本小題17分)

已知等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}滿足a1=1，b1=2，(an+an+1)(bn+bn+1)=(6n+3)?2n．

(1)求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

答案解析1.【答案】B

【解析】解：z=10i3?i=10i(3+i)(3+i)(3?i)=i(3+i)=3i+i2=?1+3i，

由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(?1,3)位于第二象限．

2.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意知f(x)為偶函數(shù)，

所以f(?x)=f(x)，即(x2?mx)cos1x=(x2+mx)cos1x，

所以?mx=mx，即?m=m，m=0．

3.【答案】A

【解析】解：設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，

則由題意可得，r=1，πrl=4πr2，所以l=4r=4．

故選：A．

根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式列式可得圓錐母線的長(zhǎng)．4.【答案】C

【解析】解：向量a=(2,?5)，b=(1,2)，可得2a?b=(3,?12)，a+xb=(2+x,2x?5)，

由2a?b與a+x5.【答案】A

【解析】解：由正數(shù)m，n，p，q滿足n為m與p的等差中項(xiàng)，p為n與q的等比中項(xiàng)，

可得m，n，p成等差數(shù)列，n，p，q成等比數(shù)列，

得到2n=m+p，p2=nq，故q=p2n，

若n=2m，則4m=m+p，解得p=3m，

可得q=(3m)22m=4.5m，即qm=4.5mm=4.5，故A正確．

故選：A．

6.【答案】A

【解析】解：的展開式中(3+x2y2)(x?y)6，在(x?y)6的展開式中，有Tr+1=C6rx6?r(?y)r=(?1)rC6rx6?r7.【答案】D

【解析】解：由已知，cosθ+2cos(θ+3π4)sin(θ+3π4)=cosθ+sin(2θ+3π2)=0，即cosθ?cos2θ=0，

根據(jù)二倍角公式展開即：cosθ?(2cos2θ?1)=0，解得cosθ=?12或cosθ=1，

又因?yàn)棣葹榈诙笙藿牵?.【答案】C

【解析】解：已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)，且P(2≤X<6)=0.4，

則該正態(tài)分布的均值為2，其圖象的對(duì)稱軸為直線x=2，

則P(X<2)=P(X>2)=0.5，又P(2≤X<6)=0.4，

由對(duì)稱性可知P(X<?2)=P(X≥6)=0.5?0.4=0.1，

由條件概率公式得P(X<2||X|>2)=P(X<?2)P(X>2或X<?2)=16．

故選：9.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)a=b=12時(shí)，則A={14,12,2}，B={12,1,2}，

所以A∩B={12,2}，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，取a=2，b=3，則A={2,3,6}，B={13,1,2}，此時(shí)A∪B={13,1,2,3,6}，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，取a=6，b=3，此時(shí)A={2,3,18}，B={13,1,6}，A∩B=?，而有ab=2，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)a=0時(shí)，A={0,2,b}10.【答案】ACD

【解析】解：已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線E：x2?y23=1的左、右焦點(diǎn)，以F1為圓心，以E的焦距為半徑的圓T與E的右支交于P，Q兩點(diǎn)，

對(duì)于A選項(xiàng)，易知E：x2?y23=1中實(shí)半軸長(zhǎng)a=1，虛半軸長(zhǎng)b=3，半焦距c=a2+b2=2，

則E的漸近線方程為y=±3x，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，易得E的焦距為4，F(xiàn)1(?2,0)，故圓T的方程為(x+2)2+y2=16，

即T：x2+y2+4x?12=0，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，聯(lián)立(x+2)2+y2=163x2?y2=3，可得4x2+4x?15=0，

故x=?52(舍)或x=32，代入x211.【答案】AC

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)，

又點(diǎn)(?π12,0)和(π6,0)是曲線y=f(x)相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心，

所以|π6?(?π12)|=T2=π2ω，

故ω=2，其中T是f(x)的最小正周期，

又因?yàn)辄c(diǎn)(?π12,0)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心，

即?π6+φ=nπ2，n∈Z，結(jié)合0<φ<π2可知φ=π6．

因此f(x)=tan(2x+π6)，故A正確；

f(x)=sin(2x+π6)cos(2x+π6)，

所以f′(x)=2cos2(2x+π6)+2sin2(2x+π6)cos2(2x+π6)=2cos2(2x+π6)

所以f′(0)=2cos2(π6)=2(12.【答案】2

12【解析】解：根據(jù)題意可知，橢圓E的焦距為2，則半焦距c=1，

短軸長(zhǎng)為23，短半軸長(zhǎng)b=3，

長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=b2+c2=4=2，

橢圓E的離心率為ca=12．13.【答案】3

【解析】解：易得導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2e2x+2ex?4=2(ex+2)?(ex?1)，

因此x∈(0,+∞)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(?∞,0)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，14.【答案】4

2【解析】解：根據(jù)∠BAC=2π3，AD是∠BAC的平分線，可得∠BAD=∠CAD=π3，

因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△ADC，所以12bcsin∠BAC=12c?AD?sin∠BAC2+12b?AD?sin∠BAC2，

可得34bc=34c?AD+34b?AD，化簡(jiǎn)得bc=AD(b+c)=4AD，即AB?AC=4AD，可得AB?ACAD=4；

設(shè)∠ADB=θ，結(jié)合∠BAD=π3,0<∠ABC<π3，可得π3<θ<2π3，32<sinθ≤1，

在△ABD中，由正弦定理BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，可得BD=ABsin∠BADsin∠ADB=3c2sinθ，

同理，在△ACD中，由正弦定理求得CD=3b2sinθ，

設(shè)λ=32sinθ，滿足λ∈[32,1),

因?yàn)閍=BD+CD=λ(b+c)=4λ，

所以△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2?2bccos2π3=(b+c)2?bc=16?bc15.【答案】?24；

【解析】(1)因?yàn)镕(1,0)為拋物線E：y2=ax的焦點(diǎn)，

可得拋物線E的方程為y2=4x，

令y=22，

解得x=2，

即A(2,22)，

所以直線AF的斜率為22，

因?yàn)镕(1,0)為垂心，

所以BC⊥AF，

則直線BC的斜率為?122=?24；

(2)因?yàn)锳為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為△ABC的垂心，

所以AF⊥BC，

即OF⊥BC，

可得BC⊥x軸，

設(shè)B(m2,2m)，

此時(shí)C(m2,?2m)，

因?yàn)锳B⊥CF，

所以kAB?kFC=2m×2m1?16.【答案】(i)μ1=24.2，σ12=0.02；

(ii)相近，易得μ2=1【解析】(1)(ⅰ)由題意可得μ1=15×(24.2+24.3+24.1+24.0+24.4)=24.2．

σ12=15×[(24.2?24.2)2+(24.3?24.2)2+(24.1?24.2)2+(24.0?24.2)2+(24.4?24.2)2]=0.02，

(ⅱ)易得μ2=15×(24.1+24.2+24.5+24.1+24.1)=24.2，

此時(shí)μ1=μ2，故u=0<0.1，故可認(rèn)為這兩款射頻芯片的電氣參數(shù)相近．

(2)共有5組的平均頻率不低于24.2GHz．17.【答案】證明：如圖，取AD中點(diǎn)O，連接PO，OC，

由PA=PD，且O為AD中點(diǎn)，則PO⊥AD，

由于AO=12AD=BC=AB=2，且AB⊥AD，BC/?/AD，

則四邊形ABCO為正方形，也即OC⊥AD，

由于PO⊥AD，OC⊥AD，PO，OC?平面POC，且PO∩OC=O，

故AD⊥平面POC．

又PC?平面POC，

故PC⊥AD；

【解析】(1)證明：如圖，取AD中點(diǎn)O，連接PO，OC，

由PA=PD，且O為AD中點(diǎn)，則PO⊥AD，

由于AO=12AD=BC=AB=2，且AB⊥AD，BC/?/AD，

則四邊形ABCO為正方形，也即OC⊥AD，

由于PO⊥AD，OC⊥AD，PO，OC?平面POC，且PO∩OC=O，

故AD⊥平面POC．

又PC?平面POC，

故PC⊥AD．

(2)由題意可得平面ABCD⊥平面PAD，且AD為交線，

故PO⊥平面ABCD，則PO為四棱錐P?ABCD的高，故PO=23，

以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OC，OP方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則O(0,0,0)，A(2,0,0)，D(?2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,23)．

故PB=(2,2,?23)，PC=(0,2,?23)，PD=(?2,0,?23)．

設(shè)平面BPC的法向量n1=(x1,y1,z1)，平面DPC的法向量n2=(x2,y2,z2)．

則n1⊥PBn1⊥PC，則n1?PB=0n1?PC=0，即2x1+2y1?23z1=02y1?23z118.【答案】e；

當(dāng)0<a<12時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2a,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2a)，(1,+∞)；

當(dāng)a=12時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>12時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,2a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，(2a,+∞)；

要證f(ea)=a3?aea+ea<1?(1?a)ea<1?a3，

因?yàn)閍∈(0,1)，則只證ea<1+a+a【解析】(1)由題意可得f(x)=?xlnx+x，x>0，

令f(x)=0，可得x?xlnx=0，即1?lnx=0，

解得x=e，

所以f(x)的零點(diǎn)為e．

(2)由f(x)=aln2x?xlnx+x，x>0，

可得f′(x)=2alnxx?lnx?1+1=2alnxx?lnx=(2a?x)lnxx，

若a>0，則令f′(x)=0，解得x=1，x=2a，

①若2a=1，即a=12時(shí)，f′(x)≤0，故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減．

②若2a<1，即0<a<12時(shí)，

當(dāng)x∈(2a,1)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(0,2a)∪(1,+∞)時(shí)，f′(x)<0，

故f(x)在區(qū)間(2a,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,2a)，(1,+∞)上單調(diào)遞減．

③若2a>1，即a>12時(shí)，

當(dāng)x∈(1,2a)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(0,1)∪(2a,+∞)時(shí)，f′(x)<0，

故f(x)在區(qū)間(1,2a)上單調(diào)遞增，在(0,1)，(2a,+∞)上單調(diào)遞減．

綜上