2026屆浙江省湖州市八校聯盟數學高二第一學期期末教學質量檢測試題含解析

2026屆浙江省湖州市八校聯盟數學高二第一學期期末教學質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如果雙曲線的一條漸近線方程為，且經過點，則雙曲線的標準方程是（）A. B.C. D.2．已知函數滿足，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.3．已知命題：△中，若，則；命題：函數，，則的最大值為.則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.4．在等比數列{}中，，，則=（）A.9 B.12C.±9 D.±125．已知是和的等比中項，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.或2C. D.或6．年月日，很多人的微信圈都在轉發這樣一條微信：“，所遇皆為對，所做皆稱心””．形如“”的數字叫“回文數”，即從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數，則位的回文數共有（）A. B.C. D.7．過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A. B.C.或 D.或8．已知數列，，則下列說法正確的是（）A.此數列沒有最大項 B.此數列的最大項是C.此數列沒有最小項 D.此數列的最小項是9．已知圓的方程為，直線：恒過定點，若一條光線從點射出，經直線上一點反射后到達圓上的一點，則的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.610．有一機器人的運動方程為，(是時間，是位移)，則該機器人在時刻時的瞬時速度為（）A. B.C. D.11．已知數列是等差數列，為數列的前項和，，，則（）A.54 B.71C.81 D.8012．已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點，O為坐標原點，AB的中點為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若把英語單詞“”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤有______種14．雙曲線的焦距為____________15．函數的圖象在點處的切線的方程是______.16．對于實數表示不超過的最大整數，如.已知數列的通項公式，前項和為，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列的公差為2，且，，成等比數列.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.18．（12分）記數列的前n項和為，已知點在函數的圖像上（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前9項和19．（12分）在四棱錐中，底面ABCD是矩形，點E是線段PA的中點.（1）求證：平面EBD；（2）若是等邊三角形，，平面平面ABCD，求點E到平面PDB的距離.20．（12分）在二項式的展開式中，______.給出下列條件：①若展開式前三項的二項式系數的和等于46；②所有奇數項的二項式系數的和為256.試在上面兩個條件中選擇一個補充在上面的橫線上，并解答下列問題：（1）求展開式中二項式系數最大的項；（2）求展開式的常數項.21．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，且橢圓過點，離心率，為坐標原點，過且不平行于坐標軸的動直線與有兩個交點，，線段的中點為.（1）求的標準方程；（2）記直線斜率為，直線的斜率為，證明：為定值；（3）軸上是否存在點，使得為等邊三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.22．（10分）有三個條件：①數列的任意相鄰兩項均不相等，，且數列為常數列，②，③，，中，從中任選一個，補充在下面橫線上，并回答問題已知數列的前n項和為，______，求數列的通項公式和前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據漸近線方程設出雙曲線方程，然后將點代入，進而求得答案.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以設雙曲線方程為，將代入得：，即雙曲線方程為.故選：D.2、A【解析】求出函數的導數，利用導數的定義求解，然后求解切線的斜率即可【詳解】解：函數，可得，，可得，即，所以，可得，解得，所以，所以曲線在點處的切線方程為故選：A3、A【解析】由三角形內角及正弦函數的性質判斷、的真假，應用換元法令，結合對勾函數的性質確定的值域即知、的真假，根據各選項復合命題判斷真假即可.【詳解】由且，可得或，故為假命題，為真命題；令，又，則，故，∵在上遞減，∴，故的最大值為.∴為真命題，為假命題；∴為真，為假，為假，為假.故選：A.4、D【解析】根據題意，設等比數列的公比為，由等比數列的性質求出，再求出【詳解】根據題意，設等比數列的公比為，若，，則，變形可得，則，故選：5、B【解析】由等比中項的性質可得，分別計算曲線的離心率.【詳解】由是和的等比中項，可得，當時，曲線方程為，該曲線為焦點在軸上的橢圓，離心率，當時，曲線方程為，該曲線為焦點在軸上的雙曲線，離心率，故選：B.6、C【解析】根據“回文數”的對稱性，只需計算前位數的排法種數即可，確定這四位數的選數的種數，利用分步乘法計數原理可得結果.【詳解】根據“回文數”的對稱性，只需計算前位數的排法種數即可，首位數不能放零，首位數共有種選擇，第二位、第三位、第四位數均有種選擇，因此，位的回文數共有個.故選：C.7、D【解析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可﹒【詳解】當直線過原點時，滿足題意，方程為，即2x－y＝0；當直線不過原點時，設方程為，∵直線過(1，2)，∴，∴，∴方程為，故選：D﹒8、B【解析】令，則，，然后利用函數的知識可得答案.【詳解】令，則，當時，當時，，由雙勾函數的知識可得在上單調遞增，在上單調遞減所以當即時，取得最大值，所以此數列的最大項是，最小項為故選：B9、B【解析】求得定點，然后得到關于直線對稱點為，然后可得，計算即可.【詳解】直線可化為，令解得所以點的坐標為.設點關于直線的對稱點為，則由,解得,所以點坐標為.由線段垂直平分線的性質可知，，所以（當且僅當，，，四點共線時等號成立），所以的最小值為4.故選:B.10、B【解析】對運動方程求導，根據導數意義即速度求得在時的導數值即可.【詳解】由題知，，當時，，即速度為7.故選：B11、C【解析】利用等差數列的前n項和公式求解.【詳解】∵是等差數列，，∴，得，∴.故選：C.12、B【解析】這是中點弦問題，注意斜率與橢圓a,b之間的關系.【詳解】如圖：依題意，假設斜率為1的直線方程為：，聯立方程：，解得：，代入得，故P點坐標為，由題意，OP的斜率為，即，化簡得：，，，；故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、23【解析】先計算該單詞所有字母能夠組成的所有排列情況，然后減去正確的，即是可能出現錯誤的情況.【詳解】因為“”四個字母組成的全排列共有（種）結果，其中只有排列“”是正確的，其余全是錯誤的，故可能出現錯誤的共有（種）.故答案為：23.14、【解析】根據雙曲線的方程求出，再求焦距的值.【詳解】因為雙曲線方程為，所以，.雙曲線的焦距為.故答案為：.15、【解析】求導，求得，，根據直線的點斜式方程求得答案.【詳解】因為，，所以切線的斜率，切線方程是，即.故答案為：.16、54【解析】由，利用裂項相消法求得，再由的定義求解.【詳解】由已知可得：，，當時，，；當時，，；當時，，；當時，，；當時，；；所以.故答案為：54.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由，，成等比數列和，可得，解方程求出，從而可求出的通項公式，（2）由（1）可得，然后利用裂項相消法可求出【小問1詳解】因為等差數列的公差為2，所以又因為成等比數列，所以，解得，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以.18、（1）（2）【解析】（1）利用的關系可求.（2）利用裂項相消法可求數列的前9項和【小問1詳解】由題意知當時，；當時，，適合上式所以【小問2詳解】則19、（1）見解析（2）【解析】（1）連接交于點，連接，由中位線定理結合線面平行的判定證明即可；（2）由得出點到平面的距離，再由是的中點，得出點到平面的距離.【小問1詳解】連接交于點，連接.因為分別是的中點，所以.又平面EBD，平面EBD，所以平面EBD；【小問2詳解】過點作的垂線，垂足為，連接.因為平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以，設點到平面的距離為因為，所以，因為點是的中點，所以點到平面的距離為.20、（1），；（2）.【解析】選擇①：，利用組合數公式，計算即可；選擇②：轉化為，計算即可（1）由于共9項，根據二項式系數性質，二項式系數最大的項為第5項和第6項，利用通項公式計算即可；（2）寫出展開式的通項，令，即得解【詳解】選擇①.，即，即，即，解得或（舍去）.選擇②.，即，解得.（1）展開式中二項式系數最大的項為第5項和第6項，，.（2）展開式的通項為，令，得，所以展開式中常數項為第7項，常數項為.21、（1）；（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.【解析】（1）由橢圓所過點及離心率，列方程組，再求解即得；（2）設出點A，B坐標并列出它們滿足的關系，利用點差法即可作答；（3）設直線的方程，聯立直線與橢圓的方程，借助韋達定理求得，，再結合為等邊三角形的條件即可作答.【詳解】（1）顯然，半焦距c有，即，則，所以橢圓的標準方程為；（2）設，，，，由(1)知，，兩式相減得，即，而弦的中點，則有，所以；（3）假定存在符合要求的點P，由(1)知，設直線的方程為，由得：，則，，于是得，從而得點，，因為等邊三角形，即有，，因此，，，從而得，整理得，無解，所以在y軸上不存在點，使得為等邊三角形.22、；【解析】選①，由數列為常數列可得，由此可求，根據任意相鄰兩項均不相等可得，由此證明數列為等比數列，并求出數列的通項公式，利用分組求和法求數列的前n項和為，選②由取可求，再取與原式相減可得，由此證明數列為等比數列，并求出數列的通項公式，利用分組求和法求數列的前n項和為，選③由取與原式相減可