2025年上學期高一數學冪函數與三角函數初步試題

2025年上學期高一數學冪函數與三角函數初步試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）下列函數中，是冪函數的為（）A.(y=2x^3)B.(y=x^2+1)C.(y=x^{-2})D.(y=(x-1)^3)函數(f(x)=x^{\frac{2}{3}})的定義域是（）A.((-\infty,+\infty))B.([0,+\infty))C.((0,+\infty))D.((-\infty,0)\cup(0,+\infty))若冪函數(y=x^a)的圖像過點((2,8))，則(a)的值為（）A.(-3)B.(3)C.(\frac{1}{3})D.(-\frac{1}{3})函數(f(x)=x^3)與(g(x)=x^{\frac{1}{3}})的圖像關于（）A.(x)軸對稱B.(y)軸對稱C.原點對稱D.直線(y=x)對稱已知角(\alpha)的終邊經過點(P(-3,4))，則(\sin\alpha)的值為（）A.(\frac{3}{5})B.(-\frac{3}{5})C.(\frac{4}{5})D.(-\frac{4}{5})下列函數中，最小正周期為(\pi)的是（）A.(y=\sinx)B.(y=\cos2x)C.(y=\tan\frac{x}{2})D.(y=\sin\frac{x}{2})函數(y=\sinx+\cosx)的最大值為（）A.(1)B.(\sqrt{2})C.(2)D.(\frac{\sqrt{2}}{2})若(\sin\theta=\frac{1}{3})，且(\theta)為第二象限角，則(\cos\theta=)（）A.(\frac{2\sqrt{2}}{3})B.(-\frac{2\sqrt{2}}{3})C.(\frac{\sqrt{10}}{3})D.(-\frac{\sqrt{10}}{3})函數(y=\tanx)的圖像的對稱中心是（）A.((k\pi,0))（(k\in\mathbb{Z})）B.(\left(\frac{k\pi}{2},0\right))（(k\in\mathbb{Z})）C.((\pi,0))D.((0,0))函數(f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right))的單調遞增區間是（）A.(\left[-\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\frac{\pi}{4}+2k\pi\right])（(k\in\mathbb{Z})）B.(\left[-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right])（(k\in\mathbb{Z})）C.(\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right])（(k\in\mathbb{Z})）D.([-\pi+2k\pi,2k\pi])（(k\in\mathbb{Z})）若(\alpha)為銳角，且(\cos\alpha=\frac{3}{5})，則(\sin2\alpha=)（）A.(\frac{12}{25})B.(\frac{24}{25})C.(\frac{7}{25})D.(-\frac{24}{25})已知函數(f(x)=x^a)在((0,+\infty))上單調遞減，且(g(x)=\sin(ax))為奇函數，則(a)的值可以是（）A.(3)B.(2)C.(-1)D.(-\frac{1}{2})二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）函數(f(x)=x^2-2x+3)與冪函數(y=x^a)的圖像有公共點((1,2))，則(a=)________。已知(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)________。函數(y=\sqrt{\sinx})的定義域是________。若冪函數(y=x^a)的圖像在第一象限內單調遞增，且圖像關于原點對稱，則(a)的取值范圍是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知冪函數(f(x)=x^m)的圖像過點((4,2))，求：（1）函數(f(x))的解析式；（2）函數(f(x))在區間([1,16])上的值域。18.（本小題滿分12分）計算下列各式的值：（1）(27^{\frac{2}{3}}+\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}-\log_28)；（2）(\sin\frac{3\pi}{2}+\cos\pi-\tan\frac{\pi}{4}+\sin0)。19.（本小題滿分12分）已知角(\alpha)的終邊在直線(y=-2x)上，且(\alpha)為第四象限角，求(\sin\alpha)、(\cos\alpha)和(\tan\alpha)的值。20.（本小題滿分12分）已知函數(f(x)=\sin2x+\cos2x)。（1）求函數(f(x))的最小正周期；（2）求函數(f(x))的最大值及此時(x)的取值集合；（3）求函數(f(x))在區間(\left[0,\frac{\pi}{2}\right])上的單調遞減區間。21.（本小題滿分12分）已知冪函數(y=x^a)與(y=x^b)的圖像分別過點(A(2,8))和(B(4,2))。（1）求(a)和(b)的值；（2）在同一坐標系中畫出兩個函數的圖像，并指出它們的單調性；（3）解不等式(x^a>x^b)。22.（本小題滿分12分）已知函數(f(x)=x^3-3x)。（1）判斷函數(f(x))的奇偶性，并證明；（2）求函數(f(x))在區間([-2,2])上的最大值和最小值；（3）若(f(x)=2)，求(x)的值。參考答案及評分標準（部分）一、選擇題C2.A3.B4.D5.C6.B7.B8.B9.B10.A11.B12.C二、填空題(0)（解析：將點((1,2))代入(y=x^a)，得(1^a=2)，無解；但題目中“公共點”可能為(f(x))與冪函數的交點，需重新審題：若冪函數過點((1,2))，則(1^a=2)不成立，推測題目應為“函數(f(x)=x^2-2x+3)與冪函數(y=x^a)的圖像有公共點((1,2))”，此時(f(1)=1-2+3=2)，冪函數過點((1,2))不成立，可能題目有誤，若改為“過點((1,1))”，則(a)為任意實數，此處按原題意，可能答案為(0)，即(y=x^0=1)（(x\neq0)），與(f(x))交于((1,2))不成立，建議檢查題目）(3)（解析：分子分母同除以(\cos\alpha)，得(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3)）([2k\pi,\pi+2k\pi])（(k\in\mathbb{Z})）((0,+\infty))且(a)為奇數（解析：單調遞增則(a>0)，關于原點對稱則(a)為奇函數，即(a)為奇數）三、解答題（部分詳解）解：（1）因為冪函數(f(x)=x^m)過點((4,2))，所以(4^m=2)，即(2^{2m}=2^1)，解得(m=\frac{1}{2})，故(f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x})。（5分）（2）因為(f(x)=\sqrt{x})在([1,16])上單調遞增，所以當(x=1)時，(f(x){\min}=1)；當(x=16)時，(f(x){\max}=4)，故值域為([1,4])。（10分）解：（1）(f(x)=\sin2x+\cos2x=\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right))，所以最小正周期(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)。（4分）（2）最大值為(\sqrt{2})，此時(2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi)，即(x=\frac{\pi}{8}+k\pi)（(k\in\mathbb{Z})），取值集合為(\left{x\midx=\frac{\pi}{8}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\right})。（8分）（3）令(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{4}\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi)，解得(\frac{\pi}{8}+k\p