典型相關分析的基本思想 Canonical Correlation Analysis

典型相關分析的基本思想CanonicalCorrelationAnalysis

CCA典型相關分析

(canonicalcorrelationanalysis)利用綜合變量對之間的相關關系來反映兩組指

標之間的整體相關性的多元統計分析方法。它的基本原理是：為了從總體上把握

兩組指標之間的相關關系，分別在兩組變量中提取有代表性的兩個綜合變量U1

和V1(分別為兩個變量組中各變量的線性組合)，利用這兩個綜合變量之間的

相關關系來反映兩組指標之間的整體相關性。

CanonicalCorrelationAnalysis典范相關分析/CanonicalCorrespondence

Analysis典范對應分析

簡單相關系數描述兩組變量的相關關系的缺點:只是孤立考慮單個X與單個Y間

的相關，沒有考慮X、Y變量組內部各變量間的相關。兩組間有許多簡單相關系

數，使問題顯得復雜，難以從整體描述。典型相關是簡單相關、多重相關的推廣。

典型相關是研究兩組變量之間相關性的一種統計分析方法。也是一種降維技術。

1936年，Hotelling提出典型相關分析。考慮兩組變量的線性組合，并研究它們

之間的相關系數p(u,v).在所有的線性組合中，找一對相關系數最大的線性組合，

用這個組合的單相關系數來表示兩組變量的相關性，叫做兩組變量的典型相關

系數，而這兩個線性組合叫做一對典型變量。在兩組多變量的情形下，需要用若

干對典型變量才能完全反映出它們之間的相關性C下一步，再在兩組變量的與

u1,v1不相關的線性組合中，找一對相關系數最大的線性組合，它就是第二對典

型變量，而且P（u2,v2）就是第二個典型相關系數。這樣下去，可以得到若干對典

型變量，從而提取出兩組變量間的全部信息。

典型相關分析的實質就是在兩組隨機變量中選取若干個有代表性的綜合指標（變

量的線性組合），用這些指標的相關關系來表示原來的兩組變量的相關關系。這

在兩組變量的相關性分析中，可以起到合理的簡化變量的作用；當典型相關系數

足夠大時，可以像回歸分析那樣，由一組變量的數值預測另一組變量的線性組合

的數值。

典型關聯分析（CanonicalCorrelationAnalysis）

[pdf版本]典型相關分析.pdf

1.問題

在線性回歸中，我們使用直線來擬合樣本點，尋找n維特征向量X和輸出結果

（或者叫做label）丫之間的線性關系。其中----，,2。然而當丫也是多維

時，或者說Y也有多個特征時，我們希望分析出X和Y的關系。

當然我們仍然可以使用回歸的方法來分析，做法如下：

假設盤薩，￥任臚，那么可以建立等式Y=AX如下

%

.*

Wi

其中加=W”，形式和線性回歸一樣，需要訓練m次得到m個％。

這樣做的一個缺點是，Y中的每個特征都與X的所有特征關聯，Y中的特征之間

沒有什么聯系。

我們想換一種思路來看這個問題，如果將X和丫都看成整體，考察這兩個整體

之間的關系。我們將整體表示成X和丫各自特征間的線性組合，也就是考察

和之間的關系。

這樣的應用其實很多，舉個簡單的例子。我們想考察一個人解題能力X（解題速

度E,解題正確率）為與他/她的閱讀能力Y（閱讀速度二！，理解程度）立之間

的關系，那么形式化為：

u=a工+a2xa和v=及+與力

然后使用Pearson相關系數

?EA”_印1便?*)1

心6

來度量u和v的美系，我們期望尋求一組最優的解a和b,使得Corr（u,v）最大，

這樣得到的a和b就是使得u和v就有最大關聯的權重。

到這里，基本上介紹了典型相關分析的目的。

2.CCA表示與求解

給定兩組向量$和內(替換之前的X為暇，y為。)，匕維度為外，必維度為內，

默認酎4%。形式化表示如下：

x=E)巾1=高”=配閭

￡是X的協方差矩陣；左上角是-自己的協方差矩陣；右上角是械依V%。；左下

角是QK卬金，也是工始的轉置；右下角是胃的協方差矩陣。

與之前一樣，我們從Q和火，的整體入手，定義

UI-KJ.、*節區：

我們可以算出u和v的方差和協方差：

Mar(u/?11aVtr(v)=從工22bCov(uv)-

上面的結果其實很好算，推導一下第一個吧；

JV比

VirOO=0rxi-0TBJ'=尸/心說一2%=0工遇

最后，我們需要算Corr(u,v)了

c/、“‘工12b

Corr(uFv)..,

我們期望Corr(u,v)越大越好，關于Pearson相關系數，《數據挖掘導論》給出

了一個很好的圖來說明：

Scatterplots

showingthe

similarityfrom

-1to1.

KumarmtrodoctiontoDatsMimno4/18/200463

橫軸是u,縱軸是V,這里我們期望通過調整a和b使得u和V的關系越像最后

一個圖越好。其實第一個圖和最后一個圖有聯系的，我們可以調整a和b的符

號，使得從第一個圖變為最后一個。

接下來我們求解a和b。

回想在LDA中，也得到了類似Corr(u,v)的公式,我們在求解時固定了分母，來

求分子(避免a和b同時擴大n倍仍然符號解條件的情況出現)。這里我們同

樣這么做。

這個優化問題的條件是：

Maximizea%.

Subjectto:1

求解方法是構造Lagrangian等式，這里我簡單推導如下:

f=*QF工修5—：（a開工_1）—日加沏一以）

求導，得

az

9￡

萬.X一無他

令導數為0后，得到方程組：

工"b一人工口。=o

工n”一二夏一卜二C

第一個等式左乘一，第尸二個左乘？，再根據-----,得到

外=訝:=，際當立方

也就是說求出的即是,Corr（u,v）,只需找最大，即可。

讓我們把上面的方程組進一步簡化，并寫成矩陣形式，得到

工="

以X-社

寫成矩陣形式

恃￡4加3■啕

令

那么上式可以寫作：

顯然，又回到了求特征值的老路上了，只要求得肥胃的最大特征值入一，那么

Corr(u,v)和a和b都可以求出。

在上面的推導過程中，我們假設了-和乙，均可逆。一般情況下都是可逆的，只

有存在特征間線性相關時會出現不可逆的情況，在本文最后會提到不可逆的處理

辦法。

再次審視一下，如果直接去計算才的特征值，復雜度有點高。我們將第二個

式子代入第一個，得

工if%.受金工：取。=心＜1

這樣先對￡隔1曼松*求特征值/和特征向量。，然后根據第二個式子求得幾

待會舉個例子說明求解過程。

假設按照上述過程，得到了最大時的和;心。那么q和嘛為典型變量

(canonicalvariates),即是u和v的相關系數。

最后，我們得到u和v的等式為：

U：二砥:X,1r伊二珞七

我們也可以接著去尋找第二組典型變量對，其最優化條件是

Maximize或私、聲

g.Tr?-*krv&1

Subjectto:“好1分2—//心也4-

n◎.,b。工■---▼%????1

ffi

其實第二組約束條件就是

計算步驟同第一組計算方法，只不過是取二?匕兒必，”的第二人特征值。

得到的和5其實也滿足

片工匕瓦=。?乂=0即F、、"O.Covgth)=0

總結一下，i和j分別表示和丁得到結果

Corr(uf/vf)=勺叫=Q

Corr(v^v^)■0Con^UpVy)―0((

3.CCA計算例子

我們回到之前的評價一個人解題和其閱讀能力的關系的例子。假設我們通過對樣

本計算協方差矩陣得到如下結果：

1.4.5.6

工??41.3.4

.5.31.2

.4.21

%七九七:3:…昌才

然后求￡不?25m,得

…總工密T裁嚏］

這里的A和前面的1質，=W中的A不是一回事（這里符號有點亂，不好意思）。

然后對A求特征值和特征向量，得到

腐=4W履..0009盥嚏

然后求b,之前我們說的方法是根據工=工道=動求b,這里，我們也可以采用

類似求a的方法來求b。

回想之前的等式

工二=船

我們將上面的式子代入下面的，得

.7%工充％b-Mb

然后直接對求特征向量即可，注意2ML■工五「和七V匕Q及'的特

征值相同，這個可以自己證明下。

不管使用哪種方法，

^4]

這里我們得到a和b的兩組向量，到這還沒完，我們需要讓它們滿足之前的約

束條件

工找4?1

這里的應該是我們之前得到的VecA中的列向量的m倍，我們只需要求得m,

然后將VecA中的列向量乘以m即可。

m21TRa<=1

這里的是VecA的列向量。

1.230V-

A=VecA0.636協B='"B0.804)

因此最后的a和b為：

.856-.677.545-.863

andB=

.2781.055.737.706

第一組典型變量為

L-.85公二+%-545種一:朝現電

相關系數

CorTf%.%）.R=v-5457=.74

第二組典型變量為

Un三一.677“+1,0552,%旃4樹石力

相關系數

Conf七，『“■促.V.OwO?■.03

這里的（解題速度），辦公（解題正確率），工,（閱讀速度），&（閱讀理解程

度）。他們前面的系數意思不是特征對單個u或v的貢獻比重，而是從u和v

整體關系看，當兩者關系最密切時，特征計算時的權重。

4.KernelCanonicalCorrelationAnalysis(KCCA)

通常當我們發現特征的線性組合效果不夠好或者兩組集合關系是非線性的時候，

我們會嘗試核函數方法，這里我們繼續介紹KerrelCCAO

在《支持向量機-核函數》那一篇中，大致介紹了一下核函數，這里再簡單提一

下：

當我們對兩個向量作內積的時候

版物=、工/先

我們可以使用/⑸來替代r和?，，比如原來的,特征向量為（八".".），，那

么

我們可以定義

工心

W3

。（工）=32-

上213

"】

2?30

33

如果當與e“、的構造一樣，那么

K?

《W6O（y?=乙乙四瑛。必）一乙乙2（”5）

Tift（■1

(?Ty)2=Ar(x,y>

這樣，僅通過計算x和y的內積的平方就可以達到在高維空間（這里為）中

計算和改汜內積的效果。

由核函數，我們可以得到核矩陣K,其中

凡-Kdy-J

即第’?行第列的元素是.第』個和第個樣例在核函數下的內積。

一個很好的核函數定義：

0：X=（Xl,...xn）一0（x）=3i（x）,…，0N（x））（n<N）

其中樣例X有n個特征，經過?（木）變換后，從n維特征上升到了N維特征，其

中每一個特征是

回到CCA,我們在使用核函數之前

這里假設x和y都是n維的，引入核函數后，和％變為了N維。

使用核函數后，u和v的公式為：

U:?1涕密式X）

削.萬彳山）

這里的c和d都是N維向量。

現在我們有樣本取卜火)％,這里的%表示樣本x的第i個樣例，是n維向量。

根據前面說過的相關系數，構造拉格朗日公式如下：

.

-^E[(r-E[v])2j.(7)

■

其中

E[uv]-220T/區)"3GJ

然后讓L對a求導，令導數等于0,得到(這一步我沒有驗證，待會從宏觀上解

釋一下)

c=4%%㈤

t

同樣對b求導，令導數等于0,得到

d=&仇）

求出c和d干嘛呢？c和d只是?的系數而已，按照原始的CCA做法去做就行

了唄，為了再引入和八？

回答這個問題要從核函數的意義上來說明。核函數初衷是希望在式子中有

6；沁;然后用K替換之，根本沒有打算去計算出實際的。---＞因此即是按照

原始CCA的方式計算出了c和d,也是沒用的，因為根本有沒有實際的?讓我

們去做歲徽硼。另一個原因是核函數比如高斯徑向基核函數可以上升到無限維，

N是無窮的，因此c和d也是無窮維的，根本沒辦法直接計算出來。我們的思路

是在原始的空間中構造出權重和叩，然后利用。將和洋上升到高維，他們在高

維對應的權重就是c和d。

雖然，和是"在原始空間中(維度為樣例個數M),但其作用點不是在原始特征

上，而是原始樣例上。看上面得出的c和d的公式就知道。通過控制每個高維

樣例的權重，來控制Co

好了，接下來我們看看使用和”后，u和v的變化

u=仁叭乙"。人

t

y==2即ty))

也3表示可以將第i個樣例上升到的N維向量，曲仁意義可以類比原始CCA

的X。

鑒于這樣表示接下來會越來越復雜，改用矩陣形式表示。

聞:

rf

^0ii-

i■

.

簡

為

寫

其中X(MxN)為

我們發現

履產"r

我們可以算出u和v的方差和協方差（這里實際上事先對樣本和了做了均值歸0

處理)：

%r(u)==cTXTXc==aTK.K^a

Var(吟■儀K7KM

TrTTrr

Ccv(uv)-(y))d-cXYd-aIXYYfi■0xMKJ

這里以外和?&維度可以不一樣。

最后，我們得到Corr(j,v)

Corr(u,v)=

可以看到，在將小和叼處埋成無＜】=',詆后，得到的結果和之前形式基

本一樣，只是將一替換成了兩個K乘積。

因此，得到的結果也是一樣的，之前是

其中

“片W*-H

引入核函數后，得到

R~[Aw-Aw

其中

"%"%力'A=[金團

注意這里的兩個W有點區別，前面的維度。和X的特征數相同，,維度和y的特

征數相同。后面的維二度和x的樣例數相同「維度和v的樣例數相同，嚴格來

說““維度二月維度”。

5.其他話題

1、當協方差矩陣不可逆時，怎么辦？

要進行regularization0

一種方法是將前面的KCCA中的拉格朗日等式加上二次正則化項，即：

這樣求導后得到的等式中，等式右邊的矩陣一定是正定矩陣。

第二種方法是在Pearson系數的分母上加入正則化項，同樣結果也一定可逆。

P=】】】―/

l|w-2)?(夕人'33+h|、小儼))

f

aKTKy/3

2、求Kernel矩陣效率不高怎么辦？

使用Choleskydecomposition壓縮法或者部分Gram-Schmi出正交化法，。

3、怎么使用CCA用來做預測？

其實很少有資料提到怎么使用CCA做預測，目前我看到的方法是Berkeley的博I：論文

《PredictingandOptimizingSystemUtilizationandPerformanceviaStatisticalMachineLearning》

中提到的使用KCCA做預測的方法。不過里面只用簡略的語言做J'描述，沒有具體的過程。

這里我以自己的理解給出一些方法吧.

對于普通的CCA：

先找出X和Y的典型相關系數a和b,新來一個樣例孫好.算一下=。,叫抽，這

時候得到的〃ngw是實數。然后看原始樣本X中有哪些x投影到a上的u》如gw相近，然后

提取臨近的n個原始樣本｛xi，上.?，/J，再找出這些x對應的原始樣本中的仇,及…，切J。

最后使用根據鄰近度加權平均或者直接求均值方法得到Mow（如（加+為+.?，%）"）。這個

方法在樣本較大的情況下，應該比較有效。

如果不止取J'一組相關系數，如例子中那樣取「兩組，那么如.就是一個向量廣，同

樣可以使用KNN方法來得到臨近的X進而得到臨近的y,不過在計算鄰近度的時候可以對

Www的不同分量設置不同的權重，華竟第二組相關系數的相關度要比第一組小。

對于KCCA：

A

C里A后樣如

C°（

K這）影始

過W投原w

4“

經如x的y

些

到應到

叫孫（哪

看%’人對得

=有x

以是些法的

w中合

可o就X這方

，n也值集

“本出。？

圖下，均兩

＞）樣找效系兩

下一始求

f*再有關得

o為算，接f

孫原｝較的使d

s間，（看直p

n空v孫比集是.

n外后,者6

oin的m,該本法3

so4）然…或6.

i后陽應樣方

nt例（。均9

eal影本，個00

樣心的平多nE

mier投個〈下oiL

drN樣量t/

o過一是*權況al6

ocM加情衡e3

t經來維始r6t

nm新一即度的么oat

o原怎Cs

tu八。每量近大l/

c？ag

emi和性，向個鄰較cni

jx數本…ik

oax關的n據Znc

r為系的樣oo

Pm相M根、nch

別*關近在丫a2r

的1用Cr

分相法、獻~/

大臨使eu

本是個取方Xht文d

較后？fe

樣卬多提個o考.

有心最辦u

始具是后這n參m

心卜。么oia

原Y，以之）怎t以t.

可，如九a可t

，和同,/合zilat

X也近）acs

圖不,…集r.

的的l相2%e小w

心*V,.個n

面后皈，i.e最w

y+多Gw

上射M孫（2有和〃:

與y為獻p

看映是與的果之t

,+稱差文h

」

包

。u

gedssegedswopaQd以中如考

Meu%個離參

后的可的本（、.、

4這距61

2、Canonicalcorrelationanalysis:Anoverviewwithapplicationtolearning

methods.DavidR.Hardoon,SandorSzedmakandJohnShawe-Taylor

3、Akernelmethodforcanonicalcorrelationanalysis.ShotaroAkaho

4、CanonicalCorrelationaTutorial.MagnusBorga

5、KernelCanonicalCorrelationAnalysis.MaxWelling

http:〃/jerrylead/archive/2011/06/20/2085491.htmlCanonical

correlation

FromWikipedia,thefreeencyclopedia

Jumpto:navigation,search

Instatistics,canonicalcorrelationanalysis,introducedbyHaroldHotellingisa

wayofmakingsenseofcross?covariancematrices.Ifwehavetwosetsof

variables,11???>andih,,andtherearecorrelationsamong

thevariables,thencanonicalcorrelationanalysiswillenableustofindlinear

combinationsofthex'sandtheV'swhichhavemaximumcorrelationwith

eachother.

Contents

[hide]

JDefirdtion

2Computation

o2J.Proof

0212Solution

3Hypothesistesting

4Practicaluses

5Connectiontoprincipalangles

6Seealso

7Notes

8References

9Externallinks

[ed巾Definition

Giventwocolumn

vectors'丸=（工”?,嚴力）and丫一（物…?娥?）ofrandom

variableswithfinitesecondmoments,onemaydefine

thecross-covariance'e=Y}tobe

the布富1原matrixwhose（1>/）entryisthecovariance^^風的）.In

practice,wewouldestimatethecovariancematrixbasedonsampleddata

from此andY（i.e.fromapairofdatamatrices）.

Canonicalcorrelationanalysisseeksvectorsuand5suchthattherandom

variablesXandmaximizethecorrelationP=區'a

Therandomvariables卜=向‘寵andI"=arethefirstpairof

canonica/variables.Thenoneseeksvectorsmaximizingthesamecorrelation

subjecttotheconstraintthattheyaretobeuncorrelatedwiththefirstpairof

canonicalvariables;thisgivesthesecondpairofcanonicalvariables.This

proceduremaybecontinuedupto巾叫,凡｝times.

[edt]Computation

[edit]Proof

Let￡%國=8V(X,Ji)and/丁■ccv代Y]Theparameterto

maximizeis

Thefirststepistodefineachangeofbasisanddefine

c=求運

rf=

Andthuswehave

BytheCauchy?Schwa「zineauahty,wehave

P<

Thereisequalityifthevectorsand^-1/2Gv-l/2arecollinear.In

dLyv厲Xia”*c

addition,themaximumofcorrelationisattainedifcistheeigenvectorwith

themaximumeigenvalueforthe

“二y-?-lry*『W?

matrix5X乙一丁元(seeRayleighquotient).The

subsequentpairsarefoundbyusingeigenvaluesofdecreasingmagnitudes.

Orthogonalityisguaranteedbythesymmetryofthecorrelationmatrices.

[edit]Solution

Thesolutionstherefore:

cisaneigenvectorof乙XN乙XT乙yy乙VX乙

disproportionalto號，yxUW%

Reciprocally,thereisalso:

disaneigenvectorof乙YY乙于文山投嵬心ifcKlyV

cisproportionalto^XX〃

Reversingthechangeofcoordinates,wehavethat

建isaneigenvectorof乙xx*"?'*庶y修貨

isaneigenvectorof型今食&遇鼻氫空Eiit

h

T*Tp_j,

aisproportionalto-一

isproportionaltot

Thecanonicalvariablesaredefinedby:

U=dw春X=

V=〃v

[edit]Hypothesistesting

ance

EachrowcanbetestedforsignifPwiththefollowingmethod.Sincethe

correlationsaresorted,sayingthatrow*iszeroimpliesallfurther

correlationsarealsozero.IfwehavePindependentobservationsina

sampleandAistheestimatedcorrelationfor'=1,"}

Fortheithrow,theteststatisticis:

Q=-(P-l-^=硝,

whichisasymptoticallydistributedas

achi-sQuaredwith(m-i++1)degreesoffreedomfor

large也.cuSinceallthecorrelationsfromt0夕arelogically

zero(andestimatedthatwayalso)theproductforthetermsafterthispointis

irrelevant.

[ectit]Practicaluses

Atypicaluseforcanonicalcorrelationintheexperimentalcontextistotaketwo

setsofvariablesandseewhatiscommonamongstthetwosets.Forexample

inpsychologicaltesting,youcouldtaketwowellestablished

multidimensionalpersonalitytestssuchastheMinnesotaMultiphasic

PersonaltyInventory(MMPI)andtheNEO.ByseeinghowtheMMPIfactors

relatetotheNEOfactors,youcouldgaininsightintowhatdimensionswere

commonbetweenthetestsandhowmuchvariancewasshared.Forexample

youmightfindthatanextraversionorneuroticismdimensionaccountedfora

substantialamountofsharedvariancebetweenthetwotests.

Onecanalsousecanonicalcorrelationanalysistoproduceamodelequation

whichrelatestwosetsofvariables,forexampleasetofperformance

measuresandasetofexplanatoryvariables,orasetofoutputsandsetof

inputs.Constraintrestrictionscanbeimposedonsuchamodeltoensureit

reflectstheoreticalrequirementsorintuitivelyobviousconditions.Thistypeof

modelisknownasamaximumcorrelationmodel.團

Visualizationoftheresultsofcanonicalcorrelationisusuallythroughbarplots

ofthecoefficientsofthetwosetsofvariablesforthepairsofcanonicalvariates

showingsignificantcorrelation.Someauthorssuggestthattheyarebest

visualizedbyplottingthemasheliographs,acircularformatwithraylikebars,

witheachhalfrepresentingthetwosetsofvariables.^

[edit]Connectiontoprincipalangles

Assumingthat如=即他八卜w竭andhave

zeroexpectedvalues,ie.?E(X)-E(y)=G

theircovariancematrices比a

and與y==卻*S]canbeviewedasGrammatricesin

aninnerproduct,seeCovariance#RelationshiptoJrnerproducts,forthe

columnsofA-andY,correspondingly.Thedefinitionofthecanonical

variablesUandIisequivalenttothedefinitionofprincipalvectorsforthe

bythecolumnsof*andYwithrespectto

pairofsubspacesspanned

的M"]

thisinnerproduct.Thecanonicalcorrelationsisequalto

thecosineofprincipalangles.

[edit]Seealso

.Regularizedcanonicalcorrelationanalysis

,GeneralizedCanonicalCorrelation

.RVcoefficient

Principalangles

CanonicalCorrelationAnalysis

Canonicalcorrelationanalysis(CCA)isawayofmeasuringthelinear

relationshipbetweentwomultidimensionalvariables.Itfindstwobases,one

foreachvariable,thatareoptimalwithrespecttocorrelationsand,atthesame

time,itfindsthecorrespondingcorrelations.Inotherwords,itfindsthetwo

basesinwhichthecorrelationmatrixbetweenthevariablesisdiagonalandthe

correlationsonthediagonalaremaximized.Thedimensionalityofthesenew

basesisequaltoorlessthanthesmallestdimensionalityofthetwovariables.

FormoreinformationonCCA,pleasereadmy0nlinetutorial(orthePDF

version).

Matlabfunctions

cca.mCCA

ccabss.mBlindSourceSeparationbasedonCCA.Forreference,seeA

CanonicalCorrelationApproachtoExploratoryDataAnalysisinfMRI.

Pleaseemailyourcommentstome.

CanonicalCorrespondenceAnalysis

Description

PerformsaCanonicalCorrespondenceAnalysis.

Usage

cca(sitspe,sitenv,scannf=TRUE,nf=2)

Arguments

sitspeadataframeforcorrespondenceanalysis,typicallyasitesxspecies

table

sitenvadataframecontainingvariables,typicallyasitesxenvironmental

variablestable

scannfalogicalvalueindicatingwhethertheeigenvaluesbarplotshouldbe

displayed

nfifscannfFALSE,anintegerindicatingthenumberofkeptaxes

Value

returnsanobjectofclasspcaiv.Seepcaiv

Author(s)

DanielChessel

AnneBDufourdufour@biomserv.univ-lyon1.fr

References

TerBraak,C.J.F.(1986)Canonicalcorrespondenceanalysis:anew

eigenvectortechniqueformultivariatedirectgradientanalysis.Ecology,67,

1167-1179.

TerBraak,C.J.F.(1987)Theanalysisofvegetation-environment

relationshipsbycanonicalcorrespondenceanalysis.Vegetatio,69,69-77.

Chessel,D.,LebretonJ.D.andYoccozN.(1987)ProprietesdePanalyse

canoniquedescorrespondances.Uneutilisationenhydrobiologie.Revuede

StatistiqueAppliquee,35,55-72.

SeeAlso

ccainthepackagevegan

Examples

data(rpjdl)millog<-log(rpjdl$mil+1)iv1<-cca(rpjdl$fau,millog,scan=

FALSE)plot(ivl)#analysiswithc1-as-li-Is#projectionsofinertiaaxeson

PCAIVaxess.corcircle(iv1$as)#Speciespositionss.label(iv1$c1,2,1,clab=

0.5,xlim=c(-4,4))#Sitespositionsattheweightedmeanofpresentspecies

s.label(iv1$ls,2,1,clab=0,cpoi=1,add.p=TRUE)#Predictionofthe

positionsbyregressiononenvironmentalvariabless.match(iv1$ls,iv1$li,2,1,

clab=0.5)#analysiswithfa-11-co-cor#canonicalweightsgivingunit

variancecombinationss.arrow(iv1$fa)#sitespositionbyenvironmental

variablescombinations#positionofspeciesbyaveragings.label(iv1$l1,2,1,

clab=0,cpoi=1.5)s.label(iv1$co,2,1,add.plot=TRUE)s.distri(iv1$l1,

rpjdl$fau,2,1,cell=0,csta=0.33)s.label(iv1$co,2,1,clab=0.75,add.plot=

TRUE)#coherencebetweenweightsandcorrelationspar(mfrow=c(1,2))

s.corcircle(iv1$cor,2,1)s.arrow(iv1$fa,2,1)par(mfrow=c(1,1))

Workedoutexamples

>Iibrary(ade4)>###Name:cca>###Title:CanonicalCorrespondence

Analysis>###Aliases:cca>###Keywords:multivariate>>###**

Examples>>data(rpjdl)>