21.4.2 二次函數的應用2-滬科版(2024)九上

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二次函數的應用2二次函數的應用21.4.2二次函數的應用21.4.2河上有座拋物線拱橋，如圖所示，拱頂離水面高2m時，測得水面寬4m，若想了解水面寬度變化時.拱頂離水面高度怎樣變化,你能建立模型來解決這個問題嗎？ABCD標突標突探索問題二次函數的應用21.4.2分析：根據題意，要求CD寬，只要求出ED的長度．在圖示的直角坐標系中，即只要求出點D的橫坐標．又因為點D在橋洞所成的拋物線上，故應先求出拋物線所對應的函數關系式.CDABE探索問題二次函數的應用21.4.2一座拱橋的縱截面是拋物線的異端，拱橋的跨度是4.9米，水面寬是4米時，拱頂離水面2米，如圖．想了解水面寬度變化時，拱頂離水面的高度怎樣變化．動腦筋你能想出辦法來嗎？4.9m4m2m二次函數的應用21.4.2建立函數模型這是什么樣的函數呢？拱橋的縱截面是拋物線應當是某個二次函數的圖象你能想出辦法來嗎？探索問題二次函數的應用21.4.2我們來比較一下（0，0）（4，0）（2，2）（-2，-2）（2，-2）（0，0）（-2，0）（2，0）（0，2）（-4，0）（0，0）（-2，2）誰最合適yyyyooooxxxx動腦筋二次函數的應用21.4.2怎樣建立直角坐標系比較簡單呢？以拱頂為原點，拋物線的對稱軸為y軸，建立直角坐標系，如圖．從圖看出，什么形式的二次函數，它的圖象是這條拋物線呢？由于頂點坐標系是（0.0），因此這個二次函數的形式為xOy－2－421－2－1A解決問題二次函數的應用21.4.2xOy－2－421－2－1A如何確定a是多少？已知水面寬4米時，拱頂離水面高2米，因此點A（2，-2）在拋物線上由此得出解得因此，，其中｜x｜是水面寬度的一半，y是拱頂離水面高度的相反數，這樣我們可以了解到水面寬變化時，拱頂離水面高度怎樣變化．解決問題二次函數的應用21.4.2由于拱橋的跨度為4.9米，因此自變量x的取值范圍是：水面寬3m時，，從而

因此拱頂離水面高1.125m你是否體會到：從實際問題建立起函數模型，對于解決問題是有效的？現在你能求出水面寬3米時，拱頂離水面高多少米嗎？解決問題二次函數的應用21.4.2

某工廠大門是一拋物線形的水泥建筑物,大門底部寬AB=4m,頂部C離地面的高度為4.4m,現有載滿貨物的汽車欲通過大門,貨物頂部距地面2.7m,裝貨寬度為2.4m.這輛汽車能否順利通過大門?若能,請你通過計算加以說明;若不能,請簡要說明理由.知識應用二次函數的應用21.4.2解：如圖，以AB所在的直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系.∵AB=4∴A(-2,0)B(2,0)∵OC=4.4∴C(0,4.4)設拋物線所表示的二次函數為∵拋物線過A(-2,0)∴拋物線所表示的二次函數為∴汽車能順利經過大門.知識應用二次函數的應用21.4.2某公園草坪的護欄是由50段形狀相同的拋物線組成的，為牢固起見，每段護欄需按間距0.4m加設不銹鋼做成的立柱，試計算所需不銹鋼立柱的總長度．目標突破二次函數的應用21.4.2目標突破二次函數的應用21.4.2目標突破二次函數的應用21.4.21、足球被從地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t來表示，其中t(s)表示足球被踢出后經過的時間，則球在

s后落地.42、河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標系，其函數的表達式為

，當水面離橋拱頂的高度DO

是4m時，這時水面寬度AB為()

A．－20m

B．10m

C．20m

D．－10mC鞏固練習21.4.2二次函數的應用3、某公園草坪的防護欄是由100段形狀相同的拋物線形組成的，為了牢固起見，每段護欄需要間距0.4m加設一根不銹鋼的支柱，防護欄的最高點距底部0.5m（如圖），則這條防護欄需要不銹鋼支柱的總長度至少為（）A.50mB.100mC.160mD.200mC鞏固練習21.4.2二次函數的應用4、某公園要建造圓形噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設計成水流在離OA距離為1m處達到距水面最大高度2.25m.如果不計其它因素，那么水池的半徑至少要多少m才能使噴出的水流不致落到池外？鞏固練習21.4.2二次函數的應用解：建立如圖所示的坐標系，根據題意得，A點坐標為(0，1.25)，頂點B坐標為(1，2.25).數學化●B(1,2.25)●C●DoAxy

(0,1.25)鞏固練習21.4.2二次函數的應用根據對稱性，如果不計其它因素，那么水池的半徑至少要2.5m，才能使噴出的水流不致落到池外.

當y=0時,可求得點C的坐標為(2.5,0);同理，點D的坐標為(-2.5,0).設拋物線為y=a(x+h)2+k，由待定系數法可求得拋物線表達式為：y=－(x-1)2+2.25.●B(1,2.25)

(0,1.25)●DoAxy●C鞏固練習21.4.2二次函數的應用5、某工廠要趕制一批抗震救災用的大型活動板房．如圖，板房一面的形狀是由矩形和拋物線的一部分組成，矩形長為12m，拋物線拱高為5.6m．（1）在如圖所示的平面直角坐標系中，求拋物線的表達式．鞏固練習21.4.2二次函數的應用

解：（1）設拋物線的表達式為y=ax2.∵點B（6，-5.6）在拋物線的圖象上，∴-5.6=36a，∴拋物線的表達式為鞏固練習21.4.2二次函數的應用（2）現需在拋物線AOB的區域內安裝幾扇窗戶，窗戶的底邊在AB上，每扇窗戶寬1.5m，高1.6m，相鄰窗戶之間的間距均為0.8m，左右兩邊窗戶的窗角所在的點到拋物線的水平距離至少為0.8m．請計算最多可安裝幾扇這樣的窗戶？

鞏固練習21.4.2二次函數的應用（2）設窗戶上邊所在直線交拋物線于C，D兩點，D點坐標為（k，t），已知窗戶高1.6m，∴t=-5.6-(-1.6)=-4∴

，解得k=

，即k1≈5.07，k2≈-5.07∴CD=5.07×2≈10.14（m）設最多可安裝n扇窗戶，∴1.5n+0.8（n-1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．則最大的正整數為4．答：最多可安裝4扇窗戶.鞏固練習21.4.2二次函數的應用抽象轉化數學問題運用數學知識問題的解決解題步驟：1.分析題意，把實際問題轉化為數學問題，畫出圖形.2.根據已知條件建立適當的平面直角坐標系.3.選用適當的解析式求解.4.根據二次函數的解析式解決具體的實際問題.實際問題知識升華二次函數的應用21.4.2解決建筑模型問題的一般步驟：(1)建立合適的平面直角坐標系；(2)將已知條件轉化為點的坐標；(3)合理地設出所求的函數表達式；(4)代入已知條件或點的坐標，求出函數表達式；(5)利用函數表達式解決問題．[點撥](1)在不同的坐標系中，函數表達式會不同，但最終解決實際問題時結論是不變的；(2)把函數問題轉化為實際問題時，注