等差數列的前n項和公式課件（等差數列前n項和公式的性質）-2025-2026學年高二上學期數學人教A版選擇性必修第二冊

4.2.2等差數列的

前n項和公式(2)復習回顧等差數列{an}的前n項和公式等差數列{an}的通項公式基本量法(轉化與化歸)知三求二(方程思想)倒序求和復習回顧在前面我們學過了等差數列{an}的哪些性質？3.

若{an}公差為d，則ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差為md的

等差數列．2.(下標和)：若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.4.數列{an},{bn}都是等差數列,公差分別為d1，

d2，則數列{pan+qbn}(p,q為常數)是公差為pd1+qd2的等差數列.

1.等差數列通項是特殊的一次函數：an=kn+b，其中k=d思考：將等差數列前n項和公式看作是一個關于n的函數，這個函數有什么特點？新知探究則

Sn=An2+Bn令新知獲得1°當A≠0（即d≠0）時，Sn是關于n的二次函數且常數項為0，即

Sn=An2+Bn，它的圖像是拋物線y=Ax2+Bx上一群孤立的點.2°當A=0（即d=0）時，Sn=na1，Sn是關于n的一次函數.A＞0(d＞0)時，圖像開口朝上，A<0(d<0)時，圖像開口朝下.1.性質1：等差數列前n項和公式的函數特征：

Sn=An2+Bn等差數列前n項和的性質：易錯辨析

判斷：等差數列的前n項和公式是常數項為0的二次函數()??當d≠0時,Sn是常數項為零的二次函數4a1+6d=68a1+28d=203.在等差數列{an}中，已知S4=6，S8=20，求S16.解法一：根據公式

，得解方程組得所以書P22練習3.在等差數列{an}中，已知S4=6，S8=20，求S16.解法二：書P22練習設

，得解方程組得所以S10=100A+10B=310S20=400A+20B=1220可以利用性質1求解嗎？新知探究探究

已知數列{an}的前n項和為Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r為常數，且p≠0.任取若干組p,q,r,計算a1,a2,a3,a4,a5的值(圖已給出p=1,q=2,r=0的情況)，觀察數列{an}的特點，研究它是一個怎樣的數列，并證明你的結論.多給p,q,r取幾組值，看看有什么規律？新知探究結論：

新知探究證明：

2.解：書P24練習

新知獲得1.性質1：

數列{an}是等差數列(A、B為常數,).2.性質2：

數列

是等差數列.(公差為)

等差數列{an}，其前n項的和為Sn，則有等差數列前n項和的性質：

7.書P25習題4.2

7.書P25習題4.2

(2)3.在等差數列{an}中，已知S4=6，S8=20，求S16.解法三：書P22練習可以利用性質2求解嗎？新知獲得3.性質3：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也是等差數列，公差為n2d.等差數列{an}中，a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…也成等差數列，a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…也成等差數列．

等差數列{an}，其前n項的和為Sn，則有等差數列前n項和的性質：3.在等差數列{an}中，已知S4=6，S8=20，求S16.解法四：書P22練習可以利用性質3求解嗎？應用舉例

【解析】

練P23應用舉例變式：

已知等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，

求它的前3m項和.解：210新知獲得

等差數列{an}，其前n項的和為Sn，則有等差數列前n項和的性質：4.性質4：若項數為奇數2n+1項，

；

最中間一項

證明：奇項個數÷偶項個數新知獲得

等差數列{an}，其前n項的和為Sn，則有等差數列前n項和的性質：4.性質4：若項數為偶數2n項，

；

證明：奇項中間項÷偶項中間項新知獲得5.性質5：

等差數列{an}，其前n項的和為Sn，則有等差數列前n項和的性質：證明：應用舉例5.已知一個等差數列的項數為奇數，其中所有奇數項的和為290，所有偶數項的和為261，求此數列的項數以及中間一項的值.書P22應用舉例解：

.變式

設等差數列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，

若，求的值.

課堂小結設等差數列{an}的前n項和為Sn，那么

是等差數列.性質3：在等差數列{an}中連續的n項和構成的數列Sn，

S2n－Sn,S3n－