專題04 排列組合二項式定理（期末復習講義）原卷版

1/3專題04排列組合二項式定理（期末復習講義）核心考點復習目標考情規律1：兩大計數原理（排列組合基礎核心）1.能通過關鍵詞（“或”“且”）快速判斷計數場景適用的原理；2.熟練應用兩大原理解決無復雜限制的基礎計數問題（如“選課程、分任務”）；3.建立“先判斷原理，再列式計算”的解題習慣，杜絕重復或遺漏計數.1.題型：以選擇題、填空題為主（占該考點考查頻次的90%以上）；2.難度：基礎題（占比80%），極少涉及難題；3.命題特點：常結合生活場景（如選課、購票、分配任務），直接考查原理應用，不與其他模型復雜結合.2：排列與組合的定義及計算（排列組合核心工具）1.牢記排列數、組合數公式及組合數性質，無需推導直接快速計算；2.能根據“是否有序”準確判斷用排列或組合列式；3.熟練運用組合數性質化簡計算（如），提升解題效率.1.題型：選擇題、填空題為主（占比70%），部分解答題第一問涉及（占比30%）；2.難度：基礎題（60%）、中檔題（40%）；3.命題特點：直接考查公式計算（如“計算的值”）或性質化簡（如“化簡求k”），極少設置復雜背景.3：常見計數模型（排列組合高頻應用題）1.能通過題干關鍵詞（“相鄰”“不相鄰”“平均分配”“甲不站XX位”）快速識別對應模型；2.掌握各模型解題步驟（如捆綁法“先捆后排”、插空法“先排無限制再插空”），能獨立列式求解；3.突破均勻分組重復計算的易錯點（記住“均勻分組需除以組數階乘”）.1.題型：選擇題、填空題（占比50%），解答題（占比50%）；2.難度：中檔題（占比80%），少量基礎題（20%）；3.命題特點：常結合排隊、分配任務、選代表等場景，單個模型考查（如純捆綁問題）或兩個模型簡單綜合（如“部分人相鄰+部分人不相鄰”），不涉及三個及以上模型疊加.4：排列組合綜合應用（排列組合能力提升）1.能解決“先選后排”的混合計算問題（如“從6人中選4人排成一列，有多少種排法”）；2.掌握“排列組合求基本事件數，再算概率”的解題邏輯；3.能處理含1-2個簡單限制條件的綜合題（如“選3人排成一排，甲不站末位，求排法數”）.1.題型：解答題為主（占比70%），少量填空題（30%）；2.難度：中檔題（占比90%），極少難題（10%）；3.命題特點：部分地區期末考查，常以“概率背景”呈現（如“從5件正品2件次品中選2件，求恰好1件次品的概率”），核心是排列組合計算基本事件數.5：二項式定理的展開式（二項式基礎核心）1.熟練默寫二項式展開式核心公式及通項公式；2.明確通項公式中“k的含義”（從0開始），避免“第m項”與“k值”的對應錯誤（如第3項對應k=2）；3.能根據通項公式快速寫出任意指定項的表達式.1.題型：選擇題、填空題為主（占比80%）；2.難度：基礎題（占比70%）、中檔題（30%）；3.命題特點：直接考查通項公式書寫（如“寫出的第2項”）或展開式前3項展開（如“展開的前3項”），下標對應是高頻易錯點考查.6：二項式系數與項的系數（二項式高頻區分點）1.能通過定義快速區分“二項式系數”與“項的系數”（如中，第2項的二項式系數是，項的系數是）；2.牢記二項式系數之和的結論，能直接應用計算；3.避免“二項式系數之和”與“項的系數之和”的混淆.1.題型：選擇題、填空題（占比100%）；2.難度：基礎題（60%）、中檔題（40%）；3.命題特點：高頻考查“區分與計算”（如“求中第3項的二項式系數和項的系數”），二項式系數之和常結合賦值法間接考查.7：特定項求解（二項式期末必考題）1.掌握“通項公式+指數方程”的解題邏輯（如求常數項：令通項中x的指數=0，解k值，再計算系數）；2.能快速求解常數項、指定次數項的系數，準確判斷有理項的個數；3.熟練處理含分式、根式的二項式特定項問題（如求有理項）.1.題型：選擇題、填空題（占比60%），解答題（占比40%）；2.難度：中檔題（占比90%）；3.命題特點：期末必考題，背景簡潔（多為、形式），核心是通項公式的應用，計算量不大但需細心.8：賦值法的應用（二項式系數和核心方法）1.掌握賦值法的核心邏輯（通過代入特殊值簡化展開式，快速求系數和）；2.能根據所求“系數和類型”選擇對應賦值（如求全項系數和用）；3.能解決含負號、系數的二項式系數和問題（如的所有項系數和）.1.題型：選擇題、填空題（占比100%）；2.難度：中檔題（占比80%）；3.命題特點：高頻考點，常直接設問（如“求的所有項系數和”），偶爾結合二項式系數和綜合考查（如“求的奇數項系數和”）.知識點1：兩大計數原理（排列組合基礎核心）基礎知識：解決計數問題的根本方法，區分“獨立選擇”與“連續操作”場景.核心概念：1.分類加法計數原理：完成一件事有類互斥方案，每類有種方法，總方法數為各類方法數之和（“或”關系，互斥無重疊）；2.分步乘法計數原理：完成一件事需個關聯步驟，每步有種方法，總方法數為各步方法數之積（“且”關系，步驟連貫）.核心公式：分類加法：分步乘法：易錯點：1.混淆“分類”與“分步”（關鍵詞“或”→分類，“且”→分步）；2.分類時出現重疊（如“選男生或班干部”，男生與班干部有交集）；3.分步時遺漏關鍵步驟（如“從到再到”，忽略某段路線的選擇）.常考結論：1.若問題既有分類又有分步，先分類再對每類分步計算；2.互斥場景必用分類加法，連續操作必用分步乘法.知識點2：排列與組合的定義及計算（排列組合核心工具）基礎知識：從個不同元素中選取個元素的兩種基本形式，核心區別“有序與否”.核心概念：1.排列：從個不同元素中選個（），按一定順序排成一列（有序，如“排隊”“排序”）；2.組合：從個不同元素中選個（），不考慮順序組成一組（無序，如“選代表”“選物品”）.核心公式：排列數：（規定）組合數：組合數性質：①對稱性：；②遞推性：；③特殊值：，，。易錯點：1.未判斷“有序/無序”直接套用公式（如“選3人排成一排”是排列，“選3人參加活動”是組合）；2.組合數性質應用錯誤（如誤將算成）；3.階乘計算失誤（如，而非）.常考結論：1.（排列=組合×排序）；2.當時，用簡化計算（如）；3.（組合數之和，后續二項式定理會深化）.知識點3：常見計數模型（排列組合高頻應用題）基礎知識：針對特定場景（相鄰、不相鄰、分組等）的標準化解題模板.核心概念：1.捆綁法：解決“相鄰問題”，將相鄰元素視為一個整體參與排列；2.插空法：解決“不相鄰問題”，先排無限制元素，再在間隙中插入受限元素；3.分組分配：將個元素分成若干組（均勻/非均勻），再分配到對應位置；4.特殊元素/位置優先：優先安排有約束條件的元素（如“甲不站首位”）或位置.核心公式/步驟：捆綁法：①捆（相鄰元素內部排列：）；②排（整體與其他元素排列：）；總方法數：；插空法：①排無限制元素（）；②插空（個元素形成個間隙，選個插入：）；總方法數：；分組分配：①非均勻分組（各組元素數不同）：直接分（）；②均勻分組（部分組元素數相同）：分后除重（，為均勻組數）；③分配到位置：分組后×全排列（，為位置數）.易錯點：1.捆綁法忘記計算相鄰元素內部的排列（如“3人相鄰排隊”，僅算整體排列，忽略3人內部順序）；2.插空法先排相鄰元素（導致間隙數計算錯誤）；3.均勻分組未除重（如“6人平均分成3組”，誤算為，正確應為）；4.特殊元素優先時，遺漏其他約束條件（如“甲不站首位，乙不站末位”，僅排除甲站首位，未考慮甲站末位時乙的限制）.常考結論：1.相鄰問題必用捆綁法，不相鄰問題必用插空法（兩者不可混淆）；2.分組問題先判斷“均勻與否”，再決定是否除重；3.多約束條件（如“甲不站首、乙不站末”）優先用“直接法”或“間接法”（總排法?不符合條件排法）.知識點4：排列組合綜合應用（排列組合能力提升）基礎知識：融合排列、組合及概率的復合型問題，核心是“計數為基礎，應用為目標”.核心概念：1.先選后排：先通過組合選取元素，再通過排列安排順序（如“選3人排成一排”）；2.計數求概率：用排列組合計算基本事件總數及目標事件數，再套用概率公式.核心公式：先選后排：；概率計算：（超幾何分布模型，如“從件產品中選件，含件次品”）.易錯點：1.先排后選導致重復計數（如“選2人排前后位”，誤算為，實際直接用即可）；2.概率計算時混淆“有序”與“無序”（基本事件總數與目標事件數需保持一致，均有序或均無序）；3.忽略“不放回”與“放回”的區別（如“摸球問題”，不放回用排列/組合，放回用分步乘法）.常考結論：1.“先選后排”是排列組合混合問題的核心思路；2.與概率結合時，優先明確“基本事件是否有序”，再計算總數與目標數；3.常見場景（選產品、選代表、摸球）多為“不放回”模型，需用組合數計算.知識點5：二項式定理的展開式（二項式基礎核心）基礎知識：的代數展開規律，是二項式相關問題的核心依據.核心概念：1.二項式定理：（），右側為展開式，共項；2.通項公式：第項（從0開始計數），是求解特定項的關鍵工具.核心公式：展開式：；通項公式：（）。易錯點：1.通項公式下標錯誤（誤將第項當作，正確應為）；2.忽略的取值范圍（必須滿足，否則二項式系數為0）；3.展開式項數錯誤（誤將的展開式項數記為項，實際為項）.常考結論：1.通項公式是解決二項式特定項問題的唯一核心工具，必須牢記；2.展開式中各項的的次數從遞減到0，的次數從0遞增到，各項次數和均為；3.當或為負數時，展開式中奇數項為正，偶數項為負（如的展開式第項符號為）.知識點6：二項式系數與項的系數（二項式高頻區分點）基礎知識：二項式展開式中兩類系數的明確區分，是期末高頻考查的基礎知識點.核心概念：1.二項式系數：僅指展開式中各項的（與a、b的系數無關，僅由n、k決定）；2.項的系數：該項中未知數前的數字因數（二項式系數與a、b本身系數的乘積，如中第項的系數為）.核心公式/結論：二項式系數之和：（令）；奇數項二項式系數之和=偶數項二項式系數之和：（令）；項的系數之和：令（若a、b含系數，需代入對應值，如的項的系數之和為）.易錯點：1.混淆二項式系數與項的系數（如中第3項的二項式系數是，項的系數是）；2.求項的系數之和時，未代入a、b的實際系數（如誤算為，正確應為）；3.認為“二項式系數之和=項的系數之和”（僅當時成立，若a、b含系數則不成立）.常考結論：1.二項式系數僅與“項的位置”有關，項的系數與“a、b的系數+項的位置”都有關；2.求各類系數和必用賦值法，關鍵是根據所求目標選擇合適的賦值（1或-1）；3.二項式系數的最大值：當為偶數時，中間項（第項）的二項式系數最大；當為奇數時，中間兩項（第項和第項）的二項式系數相等且最大.知識點7：特定項求解（二項式期末必考題）基礎知識：利用二項式通項公式，根據目標項的特征（常數、指定次數等）求解，是二項式定理的核心應用.核心概念：1.常數項：展開式中不含未知數的項（未知數的指數為0）；2.指定次數項：未知數的指數為特定值的項（如項、項）；3.有理項：未知數的指數為整數的項（含常數項）；無理項：未知數的指數為非整數的項.核心公式/步驟：1.寫出通項公式：；2.化簡通項中未知數的指數：設、（含系數需保留），則未知數指數為；3.根據目標項特征列方程.常數項：，解出整數（）；指定次數項：（為目標次數），解出整數；有理項：，找出所有滿足條件的整數；4.代入值計算目標項的系數或具體項.易錯點：1.化簡未知數指數時出錯（如中，，誤寫為）；2.解方程后未驗證是否為整數或是否在范圍內（如時，解出需舍去）；3.計算項的系數時遺漏a、b的系數（如中，常數項系數誤算為，忽略）.常考結論：1.特定項求解的核心是“通項公式+指數方程”，步驟固定，需熟練掌握；2.含分式、根式的二項式（如、），先統一未知數的指數形式（化為負指數或分數指數）再列方程；3.常數項存在的條件：指數方程有整數解，且（如，指數方程，即，需是3的倍數）.知識點8：賦值法的應用（二項式系數和核心方法）基礎知識：通過代入特殊值（如1、-1、0）簡化二項式展開式，快速求解各類系數和，是期末高頻技巧.核心概念：1.全項系數和：展開式中所有項的系數之和（含常數項）；2.奇數項/偶數項系數和：展開式中奇數位置項（第1、3、5…項）或偶數位置項（第2、4、6…項）的系數之和；3.特定字母系數和：僅含某一字母的項的系數之和（如中含的項的系數之和）.核心公式/賦值方式： 所求目標賦值方式計算結果全項系數和令（a、b含系數需代入）如：奇數項系數和-偶數項系數和令如：奇數項系數和（全項系數和+上述結果）÷2如：偶數項系數和（全項系數和-上述結果）÷2如：常數項令未知數=0（如）如：易錯點：1.賦值時忽略a、b本身的系數（如求全項系數和，誤令得，正確）；2.混淆“奇數項系數和”與“奇數項二項式系數和”（前者需考慮a、b系數，后者僅為）；3.求含負號的二項式系數和時，符號錯誤（如令，誤算為，正確為）.常考結論：1.賦值法的本質是“特殊值代入法”，核心是利用、交替變號的性質簡化計算；2.若二項式含多個字母（如），可固定一個字母，對其他字母賦值（如求含的項的系數之和，令，轉化為中的系數）；3.常數項可通過“賦值法”或“特定項求解”兩種方式驗證，期末常考兩種方法的交叉應用.知識點9：楊輝三角（二項式系數的直觀表示）基礎知識：二項式系數的幾何排列形式，直觀反映組合數的遞推關系，是銜接組合數與二項式定理的橋梁.核心概念：1.行數定義：第行（從0開始計數）對應的二項式系數（如第0行對應，系數為；第1行對應，系數為）；2.遞推特征：從第2行起，每個數字等于上方兩個相鄰數字之和（對應組合數性質）；3.對稱特征：每行數字左右對稱（對應組合數對稱性）.核心特征：1.第行共有個數字；2.第行所有數字之和為（對應二項式系數之和）；3.第行數字的最大值：當為偶數時，中間1個數字最大；當為奇數時，中間2個數字相等且最大.易錯點：1.行數與二項式次數對應錯誤（誤將第3行當作的系數，實際第行對應）；2.遞推關系應用錯誤（如第行第個數字，誤寫為，順序顛倒）；3.忽略“行數從0開始”的規則（如求的系數，需查第5行，而非第6行）.常考結論：1.楊輝三角可快速查找低次二項式的系數（如的系數直接查第4行：）；2.利用遞推性可快速計算組合數（如，對應楊輝三角第6行第4個數字）；3.期末僅考查基礎應用（查找系數、驗證組合數性質），不涉及復雜的楊輝三角規律（如質數行、斐波那契數列關聯等）.題型一分類計數問題（“或”關系，互斥場景）解｜題｜技｜巧典型例題：從3名男生和2名女生中選1人參加活動，有多少種選法？答題模板：1.識別特征：問題含“或”“要么…要么…”，類別互斥無重疊；2.劃分類別：按統一標準分類（如“男生”“女生”兩類）；3.計算每類方法數：第1類，第2類，…，第類；4.求和得總方法數：.套用示例：男生3種+女生2種=5種.【典例1】（25-26高二上·上海·期中）將各位數字之和為的三位數叫“幸運數”，比如，，則所有“幸運數”的個數為．【典例2】（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）某影城有一些電影新上映，其中有3部科幻片?2部文藝片?3部喜劇片，小華從中任選1部電影觀看，則不同的選法種數有（

）A．18 B．9 C．8 D．7【變式1】（24-25高二下·青海西寧·期末）在全球高鐵技術競爭中，中國站到了前沿.全國政協委員、中國鐵道科學研究院集團有限公司首席研究員趙紅衛近日透露，全球最快的高鐵列車CR450正在加緊試驗，預計將在一年后投入商業運營.小張需要乘坐某班次高鐵去北京，已知此次高鐵列車車票還剩下二等座4張，一等座10張，商務座5張，則小張的購票方案種數為（

）A．14 B．19 C．90 D．200【變式2】（2025高三·全國·專題練習）若從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字中任取三個不同的數字，則取出的這三個數字之和能被3整除的種數為（

）A．28 B．29 C．30 D．32【變式3】（2025高二·全國·專題練習）中國古代十進制的算籌計數法是數學史上一個偉大的創造，算籌由一根根同樣長短的小木棍構成，如圖所示是利用算籌表示的一種方法.例如：可表示為“”，可表示為“”.按照這種表示方法，根算籌可以表示多少個三位數？（算籌不能剩余且三位數中不含）題型二分步計數問題（“且”關系，連續操作）答｜題｜模｜板典型例題：從地到地有2條路，從地到地有3條路，從到有多少種走法？答題模板：1.識別特征：問題含“且”“先…再…”，步驟連貫缺一不可；2.拆解步驟：按操作順序分步（如“”“”兩步）；3.計算每步方法數：第1步，第2步，…，第步；4.求積得總方法數：.套用示例：種.【典例1】（25-26高三上·江蘇南京·開學考試）書架上有6本不同的書，再往書架放另外3本不同的書，要求不改變原來書架上6本書的左右順序，則不同的放法有（

）種.A．504 B．84 C．1008 D．168【典例2】（2025高二·全國·專題練習）現有3名醫生，5名護士，2名麻醉師.從這些人中選出1名醫生、1名護士和1名麻醉師組成1個醫療小組，有多少種不同的選法？【變式1】（2025高二·全國·專題練習）甲、乙、丙、丁四人各寫一張賀卡，先將賀卡集中起來，然后每人從中拿一張別人寫的賀卡，則不同的分配方式有（

）種.A． B． C． D．【變式2】（24-25高二下·全國·課后作業）把3名學生分配到某工廠的5個車間去參加社會實踐，3人均可分到相同或不同車間，共有多少種不同的分配方案？【變式3】（2025高二·全國·專題練習）8名學生爭奪4項冠軍，獲得冠軍的可能情況有（

）種．A． B． C． D．題型三分類與分步結合問題答｜題｜模｜板典型例題：從3名男生和2名女生中選1名男生和1名女生參加活動，有多少種選法？答題模板：1.先分類：按其中一類元素劃分（如“選男生”“選女生”兩類）；2.再分步：每類內部按連續操作拆解（如“選1名男生”為第1步，“選1名女生”為第2步）；3.分步求積：每類的方法數=各步方法數之積；4.分類求和：總方法數=各類方法數之和.套用示例：（3選1）×（2選1）種.【典例1】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）用四種顏色給下圖的6個區域涂色，每個區域涂一種顏色，相鄰區域不同色，共有多少種不同的涂法（

）

A．72 B．96 C．120 D．144【典例2】（2025高二·全國·專題練習）用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為，，，的個小正方形，使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標號為，，的小正方形涂相同的顏色，則共有（

）種涂法，A． B． C． D．【變式1】（2025高二·全國·專題練習）用數字，，，，，，，組成沒有重復數字且至多有一位數字是偶數的四位個數，那么這樣的四位數一共有個.【變式2】（24-25高二下·山西·期末）某公園設計了如圖所示的觀賞花壇，現有四種不同的鮮花可供擺放，要求有公共邊的區域擺放不同種類的鮮花，則擺放鮮花的不同方法種數為.

【變式3】（24-25高二下·黑龍江雞西·期中）從0、1、2、3、4這五個數字中任取三個不同的數字組成三位數，求：(1)組成的三位數偶數的個數；(2)組成的三位數中大于200的個數.題型四排列數/組合數直接計算答｜題｜模｜板典型例題：計算、.答題模板：1.區分類型：有序→排列（用），無序→組合（用）；2.確定參數：明確（總元素數）、（選取元素數）；3.代入公式：排列數：；組合數：；4.簡化計算：用組合數性質（時）.套用示例：；.【典例1】（24-25高二下·吉林·期末）若，則.【典例2】（2025高二·全國·專題練習）解關于x的方程：(1)；(2)．【變式1】（24-25高二下·廣東中山·月考）求值、解方程或解不等式(1)求值：(2)求值：；(3)解方程：(4)解方程：已知（），求(5)解關于的不等式【變式2】（24-25高二下·山西·月考）已知，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．1或3【變式3】（24-25高二下·寧夏銀川·期中）（1）計算：；（2）計算：.（3）已知：，求n.題型五組合數性質應用（化簡/求值）答｜題｜模｜板典型例題：化簡；已知，求.答題模板：1.識別性質：遞推性：；對稱性：；2.代入化簡：按性質合并或轉化表達式；3.求解結論：等式兩邊對應相等，得出結果.套用示例：；→.【典例1】【多選題】（25-26高二上·全國·單元測試）已知m，且，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【典例2】【多選題】（2025高二·全國·專題練習）（多選題）下列關于排列數、組合數的計算中，正確的是（

）．A． B．C． D．是一個常數【變式1】（24-25高二下·全國·課后作業）（1）求滿足的正整數的值．（2）計算：．【變式2】（24-25高二下·山東濟南·期末）（1）證明：，其中，；（2）化簡：，其中．【變式3】（24-25高二下·廣東深圳·期中）若，則（

）A．28 B．56 C．112 D．120題型六捆綁法（相鄰問題）答｜題｜模｜板典型例題：5人排隊，甲、乙、丙3人相鄰，有多少種排法？答題模板：1.處理相鄰元素（捆）：將相鄰元素視為1個整體，內部排列：（為相鄰元素個數）；2.處理整體與其他元素（排）：總元素數變為（為總元素數），全排列：；3.總方法數：兩步結果相乘→.套用示例：捆（3人內部）；排（整體+2人）；總排法種.【典例1】（2026高三·全國·專題練習）甲?乙等6人圍成一圈，且甲?乙兩人相鄰，則不同的排法共有（

）A．6種 B．12種 C．24種 D．48種【典例2】（24-25高二下·四川瀘州·月考）三個人坐在一排5個座位上，空位相鄰的坐法有種．（用數字作答）【變式1】（25-26高三上·陜西西安·開學考試）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲、乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法種數為．【變式2】（2025高三·全國·專題練習）為了抒寫鄉村發展故事，展望鄉村振興圖景，演出民眾身邊日常，唱出百姓幸福心聲，某地組織了“美麗鄉村”節目表演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂、非遺展演六個節目，若要求歌曲和戲曲節目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節目前面演出，則節目的排列順序種數為（

）A．120 B．360 C．180 D．90【變式3】（2025高三·全國·專題練習）若有7個人排成一排，其中甲、乙必須相鄰，而丙不能站在兩端，則不同的排法共有種.題型七插空法（不相鄰問題）答｜題｜模｜板典型例題：5人排隊，甲、乙不相鄰，有多少種排法？答題模板：1.排無限制元素：先排其他無約束元素，全排列：（為無限制元素個數）；2.算間隙數：個元素形成個間隙（含兩端）；3.插受限元素：從間隙中選個插入受限元素，排列：（為受限元素個數）；4.總方法數：兩步結果相乘→.套用示例：排3人（無限制）；間隙4個，插2人；總排法種.【典例1】（25-26高二上·上海·期中）人并排站成一行，如果甲、乙兩人必須不相鄰，那么不同的排法種數是．【典例2】（25-26高三上·湖南·月考）某學校在讀書節活動中，甲，乙，丙3個班各有2名同學獲獎，現將這6人站成一排拍照，其中甲班的2名同學相鄰，且乙班的2名同學不相鄰的站法種數共有（

）A．36種 B．72種 C．144種 D．288種【變式1】（25-26高三上·廣東佛山·月考）現將2本不同的數學書、3本不同的物理書、1本化學書放在一個單層的書架上，且同類的書各不相鄰，則不同的放法有（

）A．120種 B．144種 C．96種 D．160種【變式2】（25-26高三上·江蘇南通·開學考試）3名學生和2名老師隨機排成一行，2名老師不相鄰，則不同排法的種數為．【變式3】（2025高三·全國·專題練習）在我市的一項競賽活動中，某縣的三所學校分別有1名、2名、3名學生獲獎，這6名學生排成一排合影，要求同校的任意2名學生不能相鄰，那么不同的排法有種．（用數字作答）題型八分組分配問題答｜題｜模｜板子題型3.1：非均勻分組（各組元素數不同）典型例題：6人分成1、2、3人三組，有多少種分法？答題模板：1.按組次分步選取：第1組，第2組，第3組（）；2.總方法數：各步組合數相乘→（無需除重）.套用示例：種.子題型3.2：均勻分組（部分/全部組元素數相同）典型例題：6人平均分成3組（每組2人），有多少種分法？答題模板：1.按非均勻分組計算：；2.除以均勻組數的階乘（除重）：若有組元素數相同，除以；3.總方法數：.套用示例：種.子題型3.3：分組后分配到位置典型例題：6人分成1、2、3人三組，分配到甲、乙、丙3個崗位，有多少種分法？答題模板：1.先分組：按非均勻/均勻分組規則計算分組數；2.再分配：將組分配到個位置，全排列；3.總方法數：分組數×.套用示例：分組數60（子題型3.1）×→種.【典例1】（2025高二·全國·專題練習）將6個不同的球分別按如下方式來分，寫出不同分法的種數．(1)平均分成3堆，每堆2個；(2)分給甲、乙、丙3人，每人2個；(3)分成3堆，每堆個數分別為1個、2個、3個：(4)分給甲1個、乙2個、丙3個；(5)分給3人，3人分別得到1個、2個、3個．【典例2】（25-26高二上·全國·月考）從5名學生中選擇4人對A，B兩種不同算法的加密文件進行破譯，每人選擇一種文件，每個文件2人破譯，則不同的人員安排共有（）A．40種 B．48種 C．30種 D．72種【變式1】（2025·云南昆明·模擬預測）將甲、乙等6名志愿者分配到3個社區協助開展活動，每個社區至少1人，每個人只去1個社區，且甲、乙兩人不在同1個社區，則不同的分配方法數是（

）A．540 B．504 C．408 D．390【變式2】（25-26高三上·重慶·月考）某班5名學生負責校內3個不同地段的衛生工作.每名學生都要參與且只負責某個地段的衛生工作，每個地段至少有1名學生的分配方案共有（

）A．300種 B．90種 C．240種 D．150種【變式3】（2025高三·全國·專題練習）現有10本不同的書，分給甲、乙、丙等六人，其中一人得3本、兩人得2本、三人得1本，則不同分法的種數是．（用排列數、組合數表示）題型九特殊元素/位置優先問題答｜題｜模｜板典型例題：5人排隊，甲不站首位，乙不站末位，有多少種排法？答題模板（直接法）：1.優先安排特殊元素：情況1：甲站末位→剩余4人全排列：；情況2：甲不站首、末位→甲有3種選擇，乙有3種選擇（排除末位+甲的位置），剩余3人全排列：；2.總方法數：兩類情況相加→.套用示例：種.【典例1】（24-25高二下·上海·期中）已知6位同學站成一排，若甲同學不站在兩端，則有種不同的排法.【典例2】（25-26高二上·上海奉賢·期中）某學校為了豐富同學們的寒假生活，寒假期間給同學們安排了6場線上講座，其中講座只能安排在第一或最后一場，講座和必須相鄰，問不同的安排方法共有（

）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種【變式1】（2025·廣西柳州·一模）甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之間恰好有2人，且甲不在兩端，則不同排法共有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種【變式2】（2025·廣東·模擬預測）3個男同學和3個女同學排成一列，進行遠足拉練．要求排頭和排尾必須是男同學，則不同的排法有（

）種．A．36 B．108 C．120 D．144【變式3】（25-26高三上·福建三明·月考）甲、乙、丙三人各自計劃暑假去重慶旅游，他們都從武隆天生三橋、長江索道、重慶動物園、白帝城這4個景區中任選一個，若甲不去重慶動物園，且甲、乙、丙三人去的景區互不相同，則這三人的不同選擇方法共有（

）A．24種 B．18種 C．12種 D．6種題型十先選后排問題答｜題｜模｜板典型例題：從6人中選4人排成一排，有多少種排法？答題模板：1.選元素：從個元素中選個，組合數；2.排順序：將選出的個元素全排列，排列數；3.總方法數：.套用示例：（或直接）.【典例1】（2025高三·上海·專題練習）第41屆全國中學生物理競賽決賽于10月24日至10月30日由華東師范大學第二附屬中學承辦.根據賽事安排，組委會欲安排589名選手和各省領隊參觀5個不同場館，分別為李政道研究所、中國商飛、上海交通大學張江高等研究院、上海科技大學和上海博物館東館.現欲將6位志愿者老師分配到5個不同場館做帶隊服務.若每個場館至少1人，則不同的分配方案的種數為.【典例2】（2025·全國·模擬預測）已知4位學生被分配到A、B、C三地學習，每地至少分配一位學生且每位學生只能去一個地方學習，則不同的分配方式有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【變式1】（2025·全國·模擬預測）2025年1月7日9時5分，西藏自治區日喀則市定日縣發生6.8級地震．現從各省共抽派7支搶險工作隊前往5個災區縣救援，要求每個受災縣至少有一個工作隊的方法種數共有（

）A．1800 B．16800 C．14280 D．25200【變式2】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）哈爾濱市開展支教活動，我校有甲，乙，丙等六名教師被隨機地分到四個不同的中學，且每個中學至少分到一名教師，共有多少種不同分法（

）A．1080 B．1560 C．2640 D．3960【變式3】（25-26高三上·陜西西安·開學考試）某校安排高一年級（1）~（5）班共5個班去A，B，C，D四個勞動教育基地進行社會實踐，每個班去一個基地，每個基地至少安排一個班，則高一（1）班被安排到A基地的排法種數為（

）A．24 B．36 C．60 D．240題型十一展開式書寫（前3項/指定項）答｜題｜模｜板典型例題：寫出的展開式前3項。答題模板：1.牢記展開式公式：；2.確定a、b、n：本題，，；3.逐項計算：從0開始，依次代入計算前3項（）；4.化簡結果：合并同類項，保留系數符號。套用示例：：；：；：；前3項：。【典例1】（25-26高二上·全國·課堂例題）求多項式的展開式.【典例2】（24-25高二·全國·課堂例題）求多項式的展開式．【變式1】（24-25高二·全國·課堂例題）求的展開式；【變式2】（24-25高三·上海·課堂例題）寫出的二項展開式.【變式3】（24-25高三·上海·隨堂練習）的二項展開式是．題型十二通項公式應用（求某一項）答｜題｜模｜板典型例題：求的第4項；求的含的項.答題模板：1.明確目標：確定求“第項”或“含的項”；2.寫出通項公式：（）；3.確定參數：明確a、b、n，若求第項，則；若求含的項，需化簡的指數；4.計算求解：第項：代入，計算系數與字母部分；含的項：令的指數等于，解出，再代入計算項；5.整理結果：保留系數符號，化簡表達式.套用示例：求第4項：→，；求含的項：，，，指數→，項為.【典例1】（2026高三·全國·專題練習）的常數項為．【典例2】（25-26高三上·上海嘉定·月考）的二項展開式中第4項是.【變式1】（25-26高三上·四川成都·期中）的展開式的中間項為．【變式2】（25-26高二上·上海奉賢·月考）的展開式中的第四項是.【變式3】（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·月考）二項式的展開式中常數項為（）A． B．540 C．15 D．題型十三二項式系數與項的系數答｜題｜模｜板子題型1：二項式系數與項的系數區分計算典型例題：求的展開式中第2項的二項式系數和項的系數答題模板：1.明確定義：二項式系數：僅（與a、b系數無關）；項的系數：的系數的系數；2.確定值：第項→；3.分別計算：二項式系數：直接取；項的系數：計算；4.對比結果：明確兩者區別，規范書寫.套用示例：第2項→，二項式系數：；項的系數：.子題型2：二項式系數最值問題典型例題：求展開式中二項式系數最大的項；求展開式中二項式系數最大的項.答題模板：1.確定的奇偶性：為偶數：中間1項（第項）二項式系數最大；為奇數：中間2項（第項、第項）二項式系數相等且最大；2.計算對應值：偶數：；奇數：和；3.代入通項求項：計算對應項的表達式（僅二項式系數，無需考慮a、b系數）.套用示例：（偶數）：第5項，，項為；（奇數）：第5、6項，和，項為、.子題型3：項的系數最值問題典型例題：求展開式中項的系數最大的項.答題模板：1.寫出通項公式：化簡項的系數表達式（含的函數）；2.設第項系數為，列不等式組：；；3.解不等式組：求出整數（）；4.驗證符號：根據的奇偶性判斷系數符號，確定最大系數項；5.計算結果：代入值求項.套用示例：通項系數：；列不等式：且，解得→；系數最大項：，項為.【典例1】（24-25高二下·貴州畢節·期末）的展開式的第7項的二項式系數是.【典例2】（25-26高三上·天津·月考）在的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中的系數為.【變式1】（2025高三·全國·專題練習）已知，二項式展開式的前三項的系數成等差數列，則展開式中二項式系數的最大值為，系數最大值為．【變式2】（24-25高二下·河南開封·月考）已知的展開式中，第5項與第3項的二項式系數之比為15：2，展開式中系數最大項是.【變式3】（2025高三·全國·專題練習）已知的展開式中各項系數的和比各二項式系數的和大992．求展開式中二項式系數最大的項及展開式中系數最大的項．題型十四特定項求解答｜題｜模｜板題型1：常數項求解典型例題：求的展開式中的常數項.答題模板：1.寫出通項公式：；2.化簡的指數：將a、b化為的冪次形式（如），合并指數；3.列方程求：令的指數為0，解出整數（需滿足）；4.計算常數項：代入值，計算系數部分（不含）；5.驗證結果：確保有效，系數計算無誤.套用示例：通項：；令→；常數項：.題型2：有理項/無理項求解典型例題：求的展開式中的有理項.答題模板：1.寫出通項公式：化簡的指數（化為分數指數）；2.定義有理項條件：的指數為整數；3.列方程求：設指數為整數，解出滿足的整數；4.列舉所有有效：逐一驗證，確保指數為整數；5.計算有理項：代入每個值，求出對應項.套用示例：通項：；有理項條件：→是6的倍數，；解得：：；：.題型3：指定指數差/系數關系問題典型例題：在的展開式中，若第3項與第6項的系數相等，求.答題模板：1.寫出對應項的系數：第項系數為（二項式系數）；2.根據題意列等式：如“第項系數=第項系數”→；3.利用組合數性質求解：對稱性：→；遞推性：結合題意化簡等式；4.驗證結果：確保為正整數，符合題意.套用示例：第3項系數，第6項系數，由→→.【典例1】（25-26高三上·天津·開學考試）在的展開式中，的系數為．【典例2】（25-26高三上·四川成都·月考）在的展開式中，的系數為（

）A．15 B．45 C．60 D．90【變式1】（25-26高三上·云南·月考）在的展開式中，含項的系數是（

）A．14 B．15 C．16 D．18【變式2】（2025高三上·廣東深圳·專題練習）一組數據按照從小到大的順序排列為0，2，4，5，6，8，記這組數據的上四分位數為，則二項式展開式的有理項共（

）項A．3 B．4 C．5 D．6【變式3】（2025高二·全國·專題練習）已知二項式.(1)求展開式的第4項；(2)求展開式中的有理項；(3)求展開式中的常數項.題型十五賦值法的應用答｜題｜模｜板題型1：全項系數和求解（完整）典型例題：求的展開式中所有項的系數之和.答題模板：1.識別目標：求所有項的系數和（含常數項、各字母項）；2.選擇賦值：令所有字母變量=1（若字母含系數，直接代入1，不改變系數）；3.計算結果：將賦值代入二項式，化簡得出數值即為系數和；4.驗證邏輯：確保賦值后所有字母項轉化為1，僅保留系數運算.套用示例：令、，系數和.題型2：奇數項/偶數項系數和求解典型例題：求的展開式中奇數項系數和、偶數項系數和.答題模板：1.設參數：設全項系數和為，奇數項系數和為，偶數項系數和為；2.求全項系數和：令所有字母=1，計算；3.求奇數項-偶數項系數和：令含字母項的系數為1，另一項為-1（如令），得；4.列方程求解：；；5.化簡結果：確保計算過程符號無誤.套用示例：全項系數和；奇數項-偶數項系數和；奇數項系數和；偶數項系數和.題型3：特定字母系數和求解典型例題：求的展開式中含的項的系數之和。答題模板：1.識別目標：僅保留含指定字母（如）的項，求其系數和；2.固定其他字母：令非指定字母=1（消除其對系數的影響）；3.轉化為二項式問題：原多項式轉化為僅含指定字母的二項式（或單項式）；4.提取指定項系數：利用二項式定理求出指定字母對應次數的系數；5.驗證結果：確保未遺漏其他字母的系數貢獻。套用示例：令、，多項式轉化為；含的項的系數為，即所求系數和為150.【典例1】（25-26高二上·上海奉賢·期中）已知，則．【典例2】（25-26高三上·重慶·期中）若，則.【變式1】【多選題】（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知，則（

）A．B．C．D．【變式2】【多選題】（25-26高二上·黑龍江綏化·期中）已知的展開式中只有第五項的二項式系數最大，則下列說法正確的是（

）A．B．展開式中偶數項的二項式系數的和為C．展開式中各項系數的和為D．展開式中奇數項的系數的和為【變式3】【多選題】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．題型十六楊輝三角答｜題｜模｜板題型1：利用楊輝三角查找二項式系數典型例題：通過楊輝三角求的展開式中二項式系數最大的項的系數；求的展開式中第3項的二項式系數.答題模板：1.明確行數規則：第行（從0開始計數）對應的二項式系數；2.繪制/回憶楊輝三角前行：第0行：[1]第1行：[1,1]第2行：[1,2,1]第3行：[1,3,3,1]第4行：[1,4,6,4,1]第5行：[1,5,10,10,5,1]3.查找目標系數：二項式系數最大項：偶數取中間列，奇數取中間兩列；第項的二項式系數：第行第列（從0開始列計數）；4.輸出結果：明確系數對應的項或直接輸出系數.套用示例：求二項式系數最大項的系數：第5行中間兩列（第2、3列），系數為10；求第3項的二項式系數：第4行第2列，系數為6.題型2：利用楊輝三角驗證組合數性質典型例題：用楊輝三角驗證；驗證.答題模板：1.明確組合數與楊輝三角的關系：第行第列的數字=；2.驗證遞推性：找到第行第列的數字；找到第行第列和第列的數字，求和驗證是否等于前者；3.驗證對稱性：找到第行第列和第列的數字，驗證是否相等；4.總結結論：明確組合數性質在楊輝三角中的直觀體現.套用示例：驗證：第6行第3列數字=20，第5行第2列=10、第3列=10，10+10=20，成立；驗證：第7行第4列=35、第3列=35，相等，成立.題型3：楊輝三角與二項式定理結合求系數典型例題：已知楊輝三角第行的數字為[1,4,6,4,1]，求的展開式中含的項的系數.答題模板：1.由楊輝三角確定：行數=數字個數-1，本題數字個數=5→；2.明確二項式系數：第行第列數字=，含的項對應，二項式系數=第4行第2列=6；3.計算項的系數：項的系數=二項式系數×的系數×的系數；4.化簡結果：代入數值計算，保留符號.套用示例：，含的項對應；項的系數=.【典例1】（2026高三·全國·專題練習）“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數在三角形數表中的一種幾何排列規律，如圖示，則下列關于“楊輝三角”的結論正確的是（

）A．在第10行中第5個數最大B．第2023行中第1011個數和第1012個數相等C．D．第6行的第7個數?第7行的第7個數及第8行的第7個數之和等于第9行的第8個數【典例2】【多選題】（24-25高二下·河南信陽·期末）我國南宋數學家楊輝首先發現了二項式系數的性質，并把系數寫成一張表，后人稱為楊輝三角，如圖所示，關于楊輝三角正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高二下·黑龍江大慶·期末）“楊輝三角”是中國數學史上的一個偉大成就，激發起一批又一批數學愛好者的探究欲望.題圖為“楊輝三角”的一部分（如圖），記第n行的第i個數為，則.

【變式2】【多選題】（24-25高二下·廣東廣州·期末）我國南宋數學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的．以下關于楊輝三角的說法正確的是（

）A．第6行從左到右第4個數是20 B．第2022行的第1011個數最大C．210在楊輝三角中共出現了6次 D．記第行的第個數為，則【變式3】【多選題】（24-25高二下·重慶·期末）“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形數陣中的一種幾何排列規律，在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現，如圖所示.下列關于“楊輝三角”的說法中正確的是（

）A．B．C．D．第10行中從左往右第5個數與第6個數之比為期末基礎通關練（測試時間：30分鐘）一、單選題1．（24-25高二下·廣東廣州·期末）用數字0，1，2，3，4組成沒有重復數字的五位數，其中偶數的個數為（

）A．36 B．48 C．60 D．722．（24-25高二下·吉林長春·期末）的展開式中，的系數與常數項之差為（

）A．20 B．19 C． D．3．（24-25高二下·河北·期末）設，若，則（

）A．1 B． C．3 D．4．（24-25高二下·浙江溫州·期末）某校招聘了6名教師，現平均分配給學校的兩個校區，其中2名英語教師不能分配在同一個校區，另外3名數學教師也不能全分配在同一個校區，則不同的分配方案共有（

）A．12種 B．14種 C．24種 D．48種5．（24-25高二上·甘肅白銀·期末）已知，則（

）A．4 B．3 C．5 D．16．（23-24高二下·河南鄭州·期末）不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．（24-25高二下·廣東江門·期末）下列說法正確的是（）A．中國燈籠又統稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類，現有4名學生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有24種B．從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有5條，則從A村經過B村去C村不同的路線的條數為8C．一個兩層書架，分別放置語文類讀物4本，數學類讀物5本，每本讀物各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有20種D．從1，2，3，4，5五個數字中任選3個數字，可組成無重復數字的三位數的個數為608．（24-25高二下·廣東湛江·期末）在的展開式中，的系數是（）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高二下·黑龍江雞西·期末）有3名學生和2名教師排成一排，則下列說法正確的是（

）A．共有種不同的排法B．當2名教師相鄰時，共有24種不同的排法C．當2名教師不相鄰時，共有種不同的排法D．當2名教師不排在兩端時，共有48種不同的排法三、解答題10．（24-25高二下·河北滄州·期末）已知二項展開式．(1)求的值；(2)求的值．11．（24-25高二下·黑龍江雞西·期末）已知的二項展開式的各二項式系數之和為32.(1)求是多少？(2)求展開式中的常數項為多少？12．（24-25高二下·廣東深圳·期末）在下列三個條件中任選一個合適的條件，補充在問題中的橫線上，并解答．條件①：展開式中所有偶數項的二項式系數之和等于50；條件②：展開式中第3項的二項式系數是21；條件③：展開式中第2項與第7項的二項式系數相等．【選擇多個條件解答，則按第一個條件計分】問題：已知二項式，若_____________，求：(1)求n和展開式中二項式系數最大的項；(2)求的展開式中含的項的系數．期末重難突破練（測試時間：60分鐘）一、單選題1．（24-25高二下·山東聊城·期末）的展開式中的系數為（

）A．75 B．135 C．180 D．1952．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，則下列選項中錯誤的是（

）A．B．的最大值為C．D．3．（24-25高二下·湖北武漢·期末）在的展開式中，含項的系數是（

）A．1139 B．1140 C．1329 D．13304．（24-25高二下·北京通州·期末）設集合，集合，那么集合B中滿足的元素的個數為（

）A．72 B．54 C．24 D．125．（24-25高二下·廣東深圳·期末）將4個編號為1，2，3，4的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子中，下列說法錯誤的是（

）A．恰有一個空盒，有324種放法B．把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有12種放法C．有256種放法D．每盒至多兩球，有204種放法6．（24-25高二下·河南周口·期末）為打造特色校園文化，某學校計劃在藝術節期間舉辦“創意工坊”活動，提供陶藝、木工、剪紙、面塑、扎染5種手工體驗項目．現從8名美術老師中任選5人分別負責一個項目，且要求負責陶藝和木工的老師是男老師，已知這8名老師中有5名男老師，3名女老師，則不同的人員安排方案有（

）A．1200種