河北省唐山市路北區(qū)唐山一中2026屆高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

河北省唐山市路北區(qū)唐山一中2026屆高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．設(shè)斜率為2的直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)（）的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則拋物線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列中，，，是的前n項(xiàng)和，則（）A. B.C. D.4．為發(fā)揮我市“示范性高中”的輻射帶動(dòng)作用，促進(jìn)教育的均衡發(fā)展，共享優(yōu)質(zhì)教育資源．現(xiàn)分派我市“示范性高中”的5名教師到，，三所薄弱學(xué)校支教，開(kāi)展送教下鄉(xiāng)活動(dòng)，每所學(xué)校至少分派一人，其中教師甲不能到學(xué)校，則不同分派方案的種數(shù)是（）A.150 B.136C.124 D.1005．已知雙曲線(xiàn)離心率為2，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.6．已知點(diǎn)P是圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離的最大值為（）A.2 B.C. D.7．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，若存在使得，則稱(chēng)是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”.下列選項(xiàng)中沒(méi)有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是()A. B.C. D.9．命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)﹐它的絕對(duì)值不是正數(shù).則下列結(jié)論正確的是（）A.：任意實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)，為假命題B.：任意實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)，為假命題C.：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)，為真命題D.：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是負(fù)數(shù)，為真命題10．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，且的導(dǎo)函數(shù)，則滿(mǎn)足的的集合為A. B.C. D.11．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)12．已知向量，，且，則的值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō):“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬再回到軍營(yíng),怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)軍營(yíng)所在平面區(qū)域?yàn)閧(x,y)|x2+y2≤},河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為x+2y-4=0.假定將軍從點(diǎn)P(,)處出發(fā),只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng),當(dāng)將軍選擇最短路程時(shí),飲馬點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為_(kāi)_____.最短總路程為_(kāi)_____14．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______15．已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)___________.16．點(diǎn)為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，如果則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為（1）求橢圓E的方程；（2）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn).求的最大值18．（12分）如圖，幾何體中，平面，，，，E是中點(diǎn)，二面角的平面角為.（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知兩點(diǎn)（1）求以線(xiàn)段為直徑的圓C的方程；（2）在（1）中，求過(guò)M點(diǎn)的圓C的切線(xiàn)方程20．（12分）近年來(lái)，我國(guó)電子商務(wù)蓬勃發(fā)展.2016年“618”期間，某網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)的銷(xiāo)售業(yè)績(jī)高達(dá)516億元人民幣，與此同時(shí)，相關(guān)管理部門(mén)推出了針對(duì)該網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)系統(tǒng).從該評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，網(wǎng)購(gòu)者對(duì)商品的滿(mǎn)意率為0.6，對(duì)服務(wù)的滿(mǎn)意率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都滿(mǎn)意的交易為80次.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購(gòu)者對(duì)商品滿(mǎn)意與對(duì)服務(wù)滿(mǎn)意之間有關(guān)系”?對(duì)服務(wù)滿(mǎn)意對(duì)服務(wù)不滿(mǎn)意合計(jì)對(duì)商品滿(mǎn)意80對(duì)商品不滿(mǎn)意10合計(jì)200（2）若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)上進(jìn)行的3次購(gòu)物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)都滿(mǎn)意的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828的觀測(cè)值：（其中）.21．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)22．（10分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線(xiàn)，，分別交拋物線(xiàn)于，，，四點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).（1）求的值；（2）求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，試求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】用向量分別表示,利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】由題意可得，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查用向量的夾角公式求異面直線(xiàn)所成的角，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的方程寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線(xiàn)的方程、點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線(xiàn)的方程為：，令，解得，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為：，因?yàn)槊娣e為4，所以有，即，，因此拋物線(xiàn)的方程為.故選：B.3、D【解析】由，得到為遞增數(shù)列，又由，得到，化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】解：由，得，又，所以，所以，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，得，即，又由是的前項(xiàng)和，則.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列求和問(wèn)題，關(guān)鍵在于由已知條件得出，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和法.4、D【解析】對(duì)甲所在組的人數(shù)分類(lèi)討論即得解.【詳解】當(dāng)甲一個(gè)人去一個(gè)學(xué)校時(shí)，有種；當(dāng)甲所在的學(xué)校有兩個(gè)老師時(shí)，有種；當(dāng)甲所在的學(xué)校有三個(gè)老師時(shí)，有種；所以共有28+48+24=100種.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：排列組合常用方法有：簡(jiǎn)單問(wèn)題直接法、小數(shù)問(wèn)題列舉法、相鄰問(wèn)題捆綁法、不相鄰問(wèn)題插空法、至少問(wèn)題間接法、復(fù)雜問(wèn)題分類(lèi)法、等概率問(wèn)題縮倍法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.5、C【解析】運(yùn)用點(diǎn)差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線(xiàn)C的方程為.設(shè)，，則兩式相減得，即.又因?yàn)辄c(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，所以，，所以直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意故選：C6、C【解析】求出圓心到直線(xiàn)的距離，由這個(gè)距離加上半徑即得【詳解】由圓，可得圓心坐標(biāo)，半徑，則圓心C到直線(xiàn)的距離為，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最大值為.故選：C7、B【解析】以為空間的一個(gè)基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設(shè)與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B8、C【解析】利用新定義：存在使得，則稱(chēng)是的一個(gè)“巧點(diǎn)”，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)進(jìn)行一一的判斷即可【詳解】對(duì)于A，，則，令，解得或，即有解，故選項(xiàng)A的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意；對(duì)于B，，則，令，令，則g(x)在x＞0時(shí)為增函數(shù)，∵(1)，(e)，由零點(diǎn)的存在性定理可得，在上存在唯一零點(diǎn)，即方程有解，故選項(xiàng)B的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意；對(duì)于C，，則，令，故方程無(wú)解，故選項(xiàng)C的函數(shù)沒(méi)有“巧值點(diǎn)”，符合題意；對(duì)于D，，則，令，則.∴方程有解，故選項(xiàng)D的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意故選：C9、A【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱(chēng)量詞命題判斷，再利用特殊值判斷命題的真假；【詳解】解：因?yàn)槊}p“存在一個(gè)實(shí)數(shù)﹐它的絕對(duì)值不是正數(shù)”為存在量詞命題，其否定為“任意實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)”，因?yàn)椋詾榧倜}；故選：A10、B【解析】利用2f(x)<x＋1構(gòu)造函數(shù)g(x)＝2f(x)－x－1，進(jìn)而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的單調(diào)性結(jié)合g(1)＝0即可解出【詳解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因?yàn)閒′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)單調(diào)增函數(shù)因?yàn)閒(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考察導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性解不等式．屬于中檔題11、B【解析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號(hào)成立條件，再根據(jù)題設(shè)不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【詳解】由題設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故選：B.12、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚裕驗(yàn)椋裕獾茫海蔬x：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】求出P(,)關(guān)于直線(xiàn)x+2y4=0對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'的坐標(biāo)，再求出線(xiàn)段OP'與直線(xiàn)x+2y-4=0的交點(diǎn)A,再利用圓的幾何性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)P(,)關(guān)于直線(xiàn)x+2y4=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'(m,n),則解得因?yàn)閺狞c(diǎn)P到軍營(yíng)總路程最短,所以A為線(xiàn)段OP'與直線(xiàn)x+2y4=0的交點(diǎn),聯(lián)立得y=(42y),解得y=.所以“將軍飲馬”的最短總路程為=，故答案為，.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)稱(chēng)問(wèn)題以及圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.解析幾何中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，主要有以下三種題型：（1）點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，利用，且點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，列方程組求解即可；（2）直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，利用已知直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)以及直線(xiàn)上特殊點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（利用（1）求解），兩點(diǎn)式求對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)方程；（3）曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，結(jié)合方法（1）利用逆代法求解.14、【解析】由題可得，即求.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，則，解得.故答案為：.15、【解析】設(shè)，表示出，消去y，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】設(shè)，則.所以當(dāng)x=1時(shí)，最小.故答案為：.16、【解析】利用雙曲線(xiàn)的定義、離心率的計(jì)算公式、兩角和差的正弦公式即可得出.【詳解】由可得，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得：，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用代入法，結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)、橢圓中的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線(xiàn)l是否存在斜率分類(lèi)討論，結(jié)合一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】依題意：，解得，，∴橢圓E的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)，，由得由得．由，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，，∴的最大值為18、（1）證明見(jiàn)解答；（2）【解析】（1）平面，可得，是二面角的平面角，由余弦定理可得，，從而可證平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個(gè)法向量與的方向向量，利用向量法可求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值【小問(wèn)1詳解】證明：取中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，，，平面，平面，，平面，是二面角的平面角，，又，，在中，由余弦定理有，可得，又是中點(diǎn)，，平面，，又，平面，平面.【小問(wèn)2詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，1，，1，，，0，，，1，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，令，則，，平面的一個(gè)法向量為，，，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為19、（1）；（2）.【解析】（1）求出圓心和半徑即可得到答案；（2）根據(jù)題意先求出切線(xiàn)的斜率，進(jìn)而通過(guò)點(diǎn)斜式求出切線(xiàn)方程.【小問(wèn)1詳解】由題意，圓心，半徑，則圓C的方程為：.【小問(wèn)2詳解】由題意，，則切線(xiàn)斜率為-1，所以切線(xiàn)方程為：.20、（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，能有；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】（1）利用數(shù)據(jù)直接填寫(xiě)聯(lián)列表即可，求出，即可回答是否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購(gòu)者對(duì)商品滿(mǎn)意與對(duì)服務(wù)滿(mǎn)意之間有關(guān)系；（2）由題意可得的可能值為0，1，2，3，分別可求其概率，可得分布列，進(jìn)而可得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）服務(wù)滿(mǎn)意對(duì)服務(wù)不滿(mǎn)意合計(jì)對(duì)商品滿(mǎn)意8040120對(duì)商品不滿(mǎn)意701080合計(jì)15050200，因?yàn)椋阅苡械陌盐照J(rèn)為“網(wǎng)購(gòu)者對(duì)商品滿(mǎn)意與對(duì)服務(wù)滿(mǎn)意之間有關(guān)系”（2）每次購(gòu)物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)都滿(mǎn)意的概率為，且的取值可以是0，1，2，3.；；；.的分布列為：0123所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立檢驗(yàn)以及離散性隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題.21、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點(diǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，易知定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，x正0