4.4+數學歸納法（第一課時）課件-2025-2026學年高二上學期數學人教A版選擇性必修第二冊

4.4數學歸納法(第一課時)拼搏、奮斗、持之以恒人教A版選擇性必修二第四章

數列一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：1.

(歸納奠基)證明當

時命題成立；(歸納遞推)以“當_

時命題成立”為條件，推出“當時命題也成立”。2.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從no開始的所有正整數n

都成立，這種

證明方法稱為3.

用數學歸納法證明“凸n邊形的內角和等于(n-2)π”

時，歸納奠基中n?

的取

值

應為

(

)A.1B.2C.3

D.44.

用數學歸納法證明等式時

，

第

一步

驗

證n=1

時

，

左

邊

應

取

的

項

是(

)A.1

B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4拼搏、奮斗、持之以恒

檢查預習人教A版選擇性必修二第四章數列在數列的學習過程中，我們已經用歸納的方法得出

了一些結論，例如等差數列{a。的通項公式a=a?+(n-1)d等，但并沒有給出嚴格的數學證明.那么,對于這類與

正整數n有關的命題，我們怎樣證明它對每一個正整數n

都成立呢?本節我們就來介紹一種重要的證明方法——數學歸

納法.

引入課題人教A版選擇性必修二第四章

數列拼搏、奮斗、持之以恒已知數列{a}

滿足a?=1,an+1=(n∈N),

計算a?,a?,a?,

猜想其通項公式，并證明你的猜想.計算可得a?=1,a?=1,a?=1.再結合a?=1,由此猜想：

a?=1(n∈N)如何證明這個猜想呢?我們自然會想到從n=5

開始一個個往下驗證.一般來說，與正整數n

有關的命題，當n比較小時可以逐個驗證，但當n

較大時，驗證起來會很麻煩.特別是證明n

取所有正整數都成立的命題時，逐一驗證是不可能的.

因此，我們需要另辟蹊徑，

尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明取所有正整數n時命題都成立.

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數列拼搏、奮斗、持之以恒我們先從多米諾骨牌游戲說起.碼放骨牌時，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌倒下.這樣，只要推倒第1塊骨牌，就可導致

第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導致第3塊骨牌倒下；

…

總之，不論

有多少塊骨牌，都能全部倒下.思考在這個游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么?

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數列拼搏、奮斗、持之以恒(1)第

一

塊骨牌倒下；(2)任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.思考你認為條件(2)的作用是什么?如何用數學語言描述它?可以看出，使所有骨牌都能倒

下的條件有兩個：

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數列拼搏、奮斗、持之以恒假設有無限多塊多米諾骨牌，我們可以想象前

一塊推倒后一塊的動作將

永遠進行下去.拼搏、奮斗、持之以恒這樣，只要第1塊骨牌倒下，其他所有的骨

牌就能夠相繼倒下.事實上，無論有多少塊骨牌，

只要保證(1)

(2)成立，那么所有的骨牌一定

可以全部倒下.可以看出，條件(2)實際上是給出了一個遞推關系：第k塊骨牌倒下

→

第k+1塊骨牌倒下.

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數列思考你認為證明前面的猜想“數列的通項公式是an=1(n∈N*)”與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎?你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎?顯然，如果能得到一個類似于“第k

塊骨牌倒下→

第k+1塊骨牌倒下”的遞推關系，那么猜想的正確性也就得到證明了.為此，我們先回顧一下猜想的獲得過程：由a?=1,利用遞推關系，推出a?=1;由a?=1,利用遞推關系，推出a?=1;由a?=1,利用遞推關系，推出a?=1;

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數列拼搏、奮斗、持之以恒歸納上述過程的共性，你能得出推理的一般結構嗎?我們發現，上述過程蘊含著一個與多米諾骨牌游戲的條件(2)類似的遞推結構：以ac=1

成立為條件，推出ak+1=1也成立.它相當于命題：當n=k時猜想成立，則n=k+1時猜想也成立.只要能夠證明這個命題，我們就可以在a?=1

的條件下，由這個命題得到：對任意正整數n,an=1成立

.即當n=k+1

時，猜想也成立.思考

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數列拼搏、奮斗、持之以恒這樣，對于猜想“an=1”,由

n=1成立，就有n=2成立；由n=2成立，就有n=3

成立；

……所以，對于任意正整數n,

猜想都成立，即數列{a}的通項公式是

an=1(n∈N).拼搏、奮斗、持之以恒歸納上述過程的共性，你能得出推理的一般結構嗎?事實上，如果n=k時猜想成立，即ak=1,

那么?

思考

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數列一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列

步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n=n。(n?

∈N)時命題成立；(2)(歸納遞推)以“當n=k(k∈N,k≥n?)時命題成立”為條件，推出“當n=k+1

時命題也成立”.思考數學歸納法中的兩個步驟之間有什么關系?只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n?

開始的所有正整數n

都成立，這種證明方法稱為數學歸納法

(mathematical

induction).

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數列拼搏、奮斗、持之以恒在數學歸納法的兩步中，第一步驗證(或證明)了當n=n。時結論成立，即命題P(n)為真；第二步是證明一種遞推關系，實際上是要證明一個新命題：若P(k)為真，則P(k+1)也為真.條件：(1)

P(n。)為真；(2)若P(k)(k∈N,k≥n?)為真，則P(k+1)也為真結論：P(n)

為真.拼搏、奮斗、持之以恒記P(n)是一個關于正整數n

的命題.我們可以把用數學歸納法證明的形式改寫如下：完成這兩步，就有P(n?)

真，P(n?+1)真……

P(k)

真

，P(k+1)真……從而完成證明.

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數列例1

:

用數學歸納法證明：如果{a}是一個公差為d

的等差數列，那么

a?=a?+(n-1)d①對任何n∈N

都成立分析：因為等差數列的通項公式涉及全體正整數，所以用數學歸納法證明的第一步應證明當n=1

時命題成立.第二步要明確證明的目標，即要證明一個新命題：如果

當n=k時①式是正確的，那么當n=k+1時①式也是正確的.證明：(1)當n=1時，左邊=a?,右邊=a?+0×d=a?,①

式成立.(

2

)

假

設

當n=k(k∈N)

時，①式成立，即a=a?+(k-1)d,

根據等差數列的定義，有ak+1-ac=d,

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數列拼搏、奮斗、持之以恒證明：于是ak+1=ak+d

即當n=k+1時，①式也成立.=a?+[(k-1)+1]d由(1)、(2)可知，①式對任何n∈N都成立.=a+[(k+1)-1]d,例1:用數學歸納法證明：如果{a}是一個公差為d的等差數列，那么

a?=a?+(n-1)d

①對

任何n∈N

都成立分析：因為等差數列的通項公式涉及全體正整數，所以用數學歸納法證明的第一步應證明當n=1

時命題成立.第二步要明確證明的目標，即要證明一個新命題：如果

當n=k時①式是正確的，那么當n=k+1時①式也是正確的.

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數列拼搏、奮斗、持之以恒用數學歸納法證明等式：1.用數學歸納法證明：1×4+2×7+3×10+…+n?n+1)=nn+1)2

,其中n∈N.

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數列拼搏、奮斗、持之以恒2.

設Sn

為數列{a}的前n項和，且對于n∈N,都有S成

立

.(

1

)

求a?,a?,a?;(2)猜測數列{an}

的通項公式并用數學歸納法證明.拼搏、奮斗、持之以恒

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