（輔導班）2027年高考數學一輪復習精講精練 第2章 第05講 對數與對數函數 講義+隨堂檢測（原卷版）

第頁第05講對數與對數函數1、對數式的運算(1)對數的定義：一般地，如果且，那么數叫做以為底的對數，記作，讀作以為底的對數，其中叫做對數的底數，叫做真數．(2)常見對數：①一般對數：以且為底，記為，讀作以為底的對數；②常用對數：以為底，記為；③自然對數：以為底，記為；(3)對數的性質和運算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對數函數的定義及圖像(1)對數函數的定義：函數且叫做對數函數．對數函數的圖象圖象性質定義域：值域：過定點，即時，在上增函數在上是減函數當時，，當時，當時，，當時，【解題方法總結】1、對數函數常用技巧在同一坐標系內，當時，隨的增大，對數函數的圖象愈靠近軸；當時，對數函數的圖象隨的增大而遠離軸．(見下圖)題型一：對數運算及對數方程、對數不等式【例1】計算______．【變式1-1】已知，，則______．【變式1-2】方程的解集為________．【變式1-3】計算的值為______.【變式1-4】若，，用a，b表示____________【變式1-5】解關于x的不等式解集為_____．【解題方法總結】對數的有關運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數方程或對數不等式問題是要將其化為同底，利用對數單調性去掉對數符號，轉化為不含對數的問題，但這里必須注意對數的真數為正.題型二：對數函數的圖像【例2】已知函數（a，b為常數，其中且）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．，B．，C．，D．，【變式2-1】函數的圖象恒過定點（

）A． B． C． D．【變式2-2】已知函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【變式2-2】不等式的解集為__________．【解題方法總結】研究和討論題中所涉及的函數圖像是解決有關函數問題最重要的思路和方法.圖像問題是數和形結合的護體解釋.它為研究函數問題提供了思維方向.題型三：對數函數的性質（單調性、最值（值域））【例3】已知函數，若在上為減函數，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3-1】已知函數在上的最大值是2，則a等于_________【變式3-2】若函數（且）在上的最大值為2，最小值為m，函數在上是增函數，則的值是____________．【變式3-3】函數的單調遞區間為（

）A． B． C． D．【變式3-4】若函數在上單調，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題方法總結】研究和討論題中所涉及的函數性質是解決有關函數問題最重要的思路和方法.性質問題是數和形結合的護體解釋.它為研究函數問題提供了思維方向.題型四：對數函數中的恒成立問題【例4】已知函數，，若存在，任意，使得，則實數的取值范圍是___________.【變式4-1】若，不等式恒成立，則實數的取值范圍為___________.【變式4-2】已知函數，，對任意的，，有恒成立，則實數的取值范圍是___________.【變式4-3】已知，.（1）當時，求函數的值域；（2）對任意，其中常數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【解題方法總結】（1）利用數形結合思想，結合對數函數的圖像求解；（2）分離自變量與參變量，利用等價轉化思想，轉化為函數的最值問題.（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，借助同構思想構造函數，利用導數探求函數單調性、最值是解決問題的關鍵.題型五：對數函數的綜合問題【例5】已知正實數，滿足：，則的最小值為______.【變式5-1】若滿足，滿足，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式5-2】已知是方程的根，是方程的根，則的值為（

）A．2 B．3 C．6 D．10第05講對數與對數函數課后鞏固練習1．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知，，有以下命題：①；②；③；④．其中正確命題的序號是（

）A．②③ B．①③ C．①④ D．②④3．函數在區間存在零點．則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．“”是“函數在區間上單調遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．已知函數，若方程有解，則實數b的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．107.設定義在上且，則______．8.設，，，若，，則的最大值為__________．9．已知函數，若，且，則實數的取值范圍是__________．10.（1）計算；（2）已知，求實數x的值；（3）若，，用a，b，表示．11．已知函數，