2026屆內蒙古包頭市包鋼第四中學高一數學第二學期期末復習檢測試題含解析

2026屆內蒙古包頭市包鋼第四中學高一數學第二學期期末復習檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設數列的前項和為，且，則數列的前10項的和是（）A．290 B． C． D．2．已知平面向量與的夾角為，且，則（）A． B． C． D．3．執行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出（）A．13 B．15 C．40 D．464．已知某地區中小學生人數和近視情況分別如圖1和如圖2所示，為了了解該地區中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數分別為（）A．， B．， C．， D．，5．不等式的解集是（）A． B．C． D．6．已知，則下列不等式成立的是()A． B． C． D．7．已知，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．是空氣質量的一個重要指標，我國標準采用世衛組織設定的最寬限值，即日均值在以下空氣質量為一級，在之間空氣質量為二級，在以上空氣質量為超標.如圖是某地11月1日到10日日均值（單位：）的統計數據，則下列敘述不正確的是（）A．這天中有天空氣質量為一級 B．這天中日均值最高的是11月5日C．從日到日，日均值逐漸降低 D．這天的日均值的中位數是9．已知數列且是首項為2，公差為1的等差數列，若數列是遞增數列，且滿足，則實數a的取值范圍是（）A． B．C． D．10．執行如圖所示的程序，已知的初始值為，則輸出的的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是．12．不等式的解集為_________.13．在三棱錐中，已知，，則三棱錐內切球的表面積為______.14．數列an滿足12a115．已知、的取值如表所示：01342.24.34.86.7從散點圖分析，與線性相關，且，則______．16．已知數列的前項和，那么數列的通項公式為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，底面.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的余弦值.18．某工廠要制造A種電子裝置45臺，B種電子裝置55臺，需用薄鋼板給每臺裝置配一個外殼，已知薄鋼板的面積有兩種規格：甲種薄鋼板每張面積2m2，可做A、B的外殼分別為3個和5個，乙種薄鋼板每張面積3m2，可做A、B的外殼分別為6個和6個，求兩種薄鋼板各用多少張，才能使總的面積最小．19．如圖，在平面直角坐標系中，點為單位圓與軸正半軸的交點，點為單位圓上的一點，且，點沿單位圓按逆時針方向旋轉角后到點（1）當時，求的值；（2）設，求的取值范圍．20．在中，內角的對邊分別為，且.（1）求角；（2）若，，求的值.21．為了加強“平安校園”建設，有效遏制涉校案件的發生，保障師生安全，某校決定在學校門口利用一側原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務室．由于此警務室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計14400元．設屋子的左右兩面墻的長度均為x米(3≤x≤6)．（Ⅰ）當左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價．（Ⅱ）現有乙工程隊也要參與此警務室的建造競標，其給出的整體報價為1800a(1+x)x元(a>0)，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，試求a

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由得為等差數列，求得，得利用裂項相消求解即可【詳解】由得，當時，，整理得，所以是公差為4的等差數列，又，所以，從而，所以，數列的前10項的和.故選.【點睛】本題考查遞推關系求通項公式，等差數列的通項及求和公式，裂項相消求和，熟記公式，準確得是等差數列是本題關鍵，是中檔題2、A【解析】

根據平面向量數量積的運算法則，將平方運算可得結果．【詳解】∵，∴，∴cos=4，∴，故選A.【點睛】本題考查了利用平面向量的數量積求模的應用問題，考查了數量積與模之間的轉化，是基礎題目．3、A【解析】

模擬程序運行即可．【詳解】程序運行循環時，變量值為，不滿足；，不滿足；，滿足，結束循環，輸出．故選A．【點睛】本題考查程序框圖，考查循環結構．解題時可模擬程序運行，觀察變量值的變化，判斷是否符合循環條件即可．4、B【解析】

試題分析：由題意知，樣本容量為，其中高中生人數為，高中生的近視人數為，故選B.【考點定位】本題考查分層抽樣與統計圖，屬于中等題.5、D【解析】

把不等式，化簡為不等式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，不等式，可化為，即，解得或，所以不等式的解集為.故選：D.【點睛】本題主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟記分式不等式的解法，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.6、D【解析】

依次判斷每個選項得出答案.【詳解】A.，取，不滿足，排除B.，取，不滿足，排除C.，當時，不滿足，排除D.，不等式兩邊同時除以不為0的正數，成立故答案選D【點睛】本題考查了不等式的性質，意在考查學生的基礎知識.7、D【解析】

根據所給等式，用表示出，代入中化簡，令并構造函數，結合函數的圖像與性質即可求得的取值范圍.【詳解】因為，所以，由解得，因為，所以，則由可得，令，.所以畫出，的圖像如下圖所示：由圖像可知，函數在內的值域為，即的取值范圍為，故選：D.【點睛】本題考查了由等式求整式的取值范圍問題，打勾函數的圖像與性質應用，注意若使用基本不等式，注意等號成立條件及自變量取值范圍影響，屬于中檔題.8、D【解析】

由折線圖逐一判斷各選項即可.【詳解】由圖易知：第3,8,9,10天空氣質量為一級，故A正確，11月5日日均值為82，顯然最大，故B正確，從日到日，日均值分別為：82,73,58,34,30，逐漸降到，故C正確，中位數是，所以D不正確，故選D.【點睛】本題考查了頻數折線圖，考查讀圖，識圖，用圖的能力，考查中位數的概念，屬于基礎題.9、D【解析】

根據等差數列和等比數列的定義可確定是以為首項，為公比的等比數列，根據等比數列通項公式，進而求得；由數列的單調性可知；分別在和兩種情況下討論可得的取值范圍.【詳解】由題意得：，，是以為首項，為公比的等比數列為遞增數列，即①當時，，，即只需即可滿足②當時，，，即只需即可滿足綜上所述：實數的取值范圍為故選：【點睛】本題考查根據數列的單調性求解參數范圍的問題，涉及到等差和等比數列定義的應用、等比數列通項公式的求解、對數運算法則的應用等知識；解題關鍵是能夠根據單調性得到關于變量和的關系式，進而通過分離變量的方式將問題轉化為變量與關于的式子的最值的大小關系問題.10、C【解析】

第一次運行：，滿足循環條件因而繼續循環；接下來繼續寫出第二次、第三次運算，直至，然后輸出的值.【詳解】初始值第一次運行：，滿足循環條件因而繼續循環；第二次運行：，滿足循環條件因而繼續循環；第三次運行：，不滿足循環條件因而繼續循環，跳出循環；此時.故選：C【點睛】本題是一道關于循環結構的問題，需要借助循環結構的相關知識進行解答，需掌握循環結構的兩種形式，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、5【解析】試題分析：易得.設，則消去得：，所以點P在以AB為直徑的圓上，，所以，.法二、因為兩直線的斜率互為負倒數，所以，點P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點定位】1、直線與圓；2、重要不等式.12、【解析】

利用兩個數的商是正數等價于兩個數同號；將已知的分式不等式轉化為整式不等式，求出解集．【詳解】同解于解得或故答案為：【點睛】本題考查解分式不等式，利用等價變形轉化為整式不等式是解題的關鍵．13、【解析】

先計算出三棱錐的體積，利用等體積法求出三棱錐的內切球的半徑，再求出內切球的表面積。【詳解】取CD中點為E，并連接AE、BE在中，由等腰三角形的性質可得,同理則在中點A到邊BE的距離即為點A到平面BCD的距離h,在中，【點睛】本題綜合考查了三棱錐的體積、三棱錐內切圓的求法、球的表面積，屬于中檔題.14、14,n=1【解析】

試題分析：這類問題類似于Sn=f(an)的問題處理方法，在12a1+122a2+...+1.考點：數列的通項公式.15、【解析】

根據數據表求解出，代入回歸直線，求得的值.【詳解】根據表中數據得：，又由回歸方程知回歸方程的斜率為截距本題正確結果：【點睛】本題考查利用回歸直線求實際數據，關鍵在于明確回歸直線恒過，從而可構造出關于的方程.16、【解析】

運用數列的遞推式即可得到數列通項公式．【詳解】數列的前項和，當時，得；當時，；綜上可得故答案為：【點睛】本題考查數列的通項與前項和的關系，考查分類討論思想的運用，求解時要注意把通項公式寫成分段的形式．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由底面推出，由菱形的性質推出，即可推出平面從而得到；（Ⅱ）根據已知條件先求出AB，再利用菱形的對角線垂直求出AC，由求出PC，即可求得余弦值.【詳解】（Ⅰ）證明：連接，∵底面，底面,∴.∵四邊形是菱形，∴.又∵，平面，平面，∴平面，∴.（Ⅱ）設直線AC與BD交于點O，∵底面，∴直線與平面所成角的是.設“”，由，可得，∵四邊形是菱形，在中，，則，于是，∴∴直線與平面所成角的余弦值是.【點睛】本題考查線線垂直、線面垂直的證明，菱形的性質，直線與平面所成的角，屬于基礎題.18、甲、乙兩種薄鋼板各5張，能保證制造A、B的兩種外殼的用量，同時又能使用料總面積最小．【解析】

本題可先將甲種薄鋼板設為x張，乙種薄鋼板設為y張，然后根據題意，得出兩個不等式關系，也就是3x+6y≥45、5x+6y≥55以及薄鋼板的總面積是z=2x+3y，然后通過線性規劃畫出圖像并求出總面積z=2x+3y的最小值，最后得出結果．【詳解】設甲種薄鋼板x張，乙種薄鋼板y張，則可做A種產品外殼3x+6y個，B種產品外殼5x+6y個，由題意可得3x+6y≥455x+6y≥55x≥0,y≥0，薄鋼板的總面積是可行域的陰影部分如圖所示，其中l1：3x+6y=45、l2：因目標函數z=2x+3y在可行域上的最小值在區域邊界的A5此時z的最小值為2×5+3×5=25即甲、乙兩種薄鋼板各5張，能保證制造A、【點睛】（1）利用線性規劃求目標函數最值的步驟①作圖：畫出約束條件所確定的平面區域和目標函數所表示的平面直角坐標系中的任意一條直線l；②平移：將l平行移動，以確定最優解所對應的點的位置．有時需要進行目標函數l和可行域邊界的斜率的大小比較；③求值：解有關方程組求出最優解的坐標，再代入目標函數，求出目標函數的最值．（2）用線性規劃解題時要注意z的幾何意義．19、(1)；(2)【解析】

（1）由三角函數的定義得出，通過當時，，，進而求出的值；（2）利用三角恒等變換的公式化簡得，得出，進而得到的取值范圍．【詳解】（1）由三角函數的定義，可得當時，，即，所以．（2）因為，所以，由三角恒等變換的公式，化簡可得：，因為，所以，即的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了任意角的三角函數的定義，兩角和與差的正、余弦函數的公式的應用，以及正弦函數的性質的應用，其中解答中熟記三角函數的定義與性質，以及兩角和與差的三角函數的運算公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．20、（1）（2），【解析】

（1）由正弦定理可得，求得，即可解得角；（2）由余弦定理，列出方程，即可求解.【詳解】（1）由題意知，由正弦定理可得，因為，則，所以，即，又由，所以.（2）由（1）知和，，由余弦定理，即，即，解得，所以.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應用，其中解答中熟記三角形的正弦、余弦定理，準確計算是解答的掛念，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.21、（Ⅰ）4米時，28800元；（Ⅱ）0<a<12.25．【解析】

（Ⅰ