《分析力學(全2冊)》-10

10.1運動穩定性和小振動理論由Poincare和.TISIHyHOR創立的運動穩定性理論廣泛應用于陀螺力學、自動控制、機器的運轉、電力的傳輸、飛行器姿態動力學等諸多方面。小振動是發生在系統穩定平衡位置附近的微小振動。10.1.1平衡條件及平衡位置的穩定性一般完整力學系統的Lagrange方程有形式(8.3.13)，即下一頁返回10.1運動穩定性和小振動理論

定理1(Lagrange-Dirichlet)如果在保守系統的某個平衡位置上勢能有嚴格的極小，那么此位置是系統穩定的平衡位置。定理1的反述是指，平衡穩定，則勢能取極小。有時反述也是對的，但一般是不對的。10.1.2運動穩定性的一些概念和結論首先，介紹一些基本概念。方程(10.1.1)可化成2n個一階方程，記作上一頁下一頁返回10.1運動穩定性和小振動理論是方程(10.1.6)的一個特解，稱其為無擾運動，其他的運動yi(t)稱為受擾運動。令xi=yi(t)-fi(t)(10.1.8)并稱之為擾動，則方程(10.1.6)成為這樣，原系統的無擾運動就化成以擾動xi為變量的系統的零解，而原系統無擾運動的穩定性就相應于系統(10.1.9)的零解的穩定性。定理2(JISIHyHOR)如果對于受擾運動微分方程(10.1.9)，可以找到一個定號函數V，而由受擾運動方程求出的V是與V異號的常號函數或者恒等于零，則無擾運動xi=0(i=1,2,...,m)是穩定的。上一頁下一頁返回10.1運動穩定性和小振動理論定理3(JISIHyHOR)如果對于受擾運動微分方程(10.1.9)，可以找到一個定號函數V，它具有無窮小上界，而由于運動方程求出的V是與V異號的定號函數，則無擾運動xi=0(i=1,2,...,m)是漸近穩定的。上一頁下一頁返回10.1運動穩定性和小振動理論10.1.3保守系統的小振動小振動是自然界和工程實際中常見的一種現象。振動理論由Galilei研究擺的小振動開始，18世紀中葉由Taylor,d'Aembert,Euler和BernoulliD發展。有限自由度動力系統振動的一般理論由I,agrange給出。用分析力學的方法研究力學系統的小振動，可以得到具有極為概括的結果。研究保守系統在穩定平衡位置附近的小振動。設系統的位形由n個廣義坐標qs(s=1，2，...,n)來確定，穩定平衡位置為qs=0。系統的動能和勢能分別為上一頁下一頁返回10.1運動穩定性和小振動理論假設V(0)=0，于是在原點鄰域展開T,V，得得到小振動方程用矩陣表示為其中上一頁下一頁返回10.1運動穩定性和小振動理論主振動的表達式為

其中、稱為主頻率;非零矢量稱為與主頻率、相應的主振型矢量。將式(10.1.23)代入式(10.1.21)，得到為保證主振型矢量非零，主頻率必須滿足方程上一頁下一頁返回10.1運動穩定性和小振動理論這就是主頻率方程。為用主振動這樣的特解來構造振動系統的通解，需要找出系統所有的主頻率和所有相互獨立的主振型。定理5(展開定理)如果振動系統的頻率方程det(C-λA)=0的根λ1,λ2,...,λn互不相等，則系統的任一振動均可用主振動的線性組合來構造。10.1.4新約束對振動系統周期的影晌在主坐標qs(s=1,2,...,n)下，系統的動能和勢能表示為上一頁返回下一頁10.1運動穩定性和小振動理論假設附加約束表示為

因qs(s=1,2,...,n)是小量，函數f按qs的冪展開，可僅保留一次項，即其中As(s=1,2,...，n)為常數。由式(10.1.38)可解出qn于是有這時，動能和勢能表示為上一頁下一頁返回10.1運動穩定性和小振動理論10.1.5應用舉例例1炮彈旋轉運動的穩定性。假設炮彈質心做勻速直線運動，炮彈軸與該軸在發射的鉛垂平面上的投影之間的夾角為R，這個投影與炮彈質心軌跡之間的夾角為a，運動微分方程為

其中C,為炮彈的軸慣性矩;A為對過質心的橫軸的慣性矩;n為炮彈旋轉角速度在其對稱軸上的常量投影;。為質心和壓力中心間的距離;R為迎面阻力。這些都是常數。方程有待解

下一頁上一頁返回10.1運動穩定性和小振動理論取此運動為無擾運動。為研究其穩定性，用積分組合方法構造JIRnysos函數V。將第一個方程乘以月，第二個方程乘以acos，然后相加并積分，得到第一個積分下一頁上一頁返回10.1運動穩定性和小振動理論上一頁返回10.2剛體定點轉動問題的分析動力學10.2.1簡史重剛體繞固定點運動問題是理論力學中最激起學者們好奇心的問題之一，尋求剛體動力學的精確解乃是分析力學的精華。1758年，Euler建立了剛體動力學方程并給出剛體動力學問題的一般提法。從1758年到1959年這200年間，人們得到了剛體繞定點轉動問題的12種解，其中3種為通解，9種為特解。各種解的發現沒有一般方法，主要靠研究者技巧，并且在很大程度上帶有偶然性。有關剛體定點運動動力學已有多種專著出版。剛體動力學的新成就是20世紀后半葉以蘇聯學者Xapnamos為首的一批學者的貢獻。文獻指出，如果剛體的運動被表示為角速度的動矢端圖在定矢端圖上的滾動，剛體動力學的解才稱為完全解。文獻還給出構造完全解的算法。下一頁返回10.2剛體定點轉動問題的分析動力學10.2.2Euler-Poisson方程及三種經典可積情形1)Euler-Poisson方程研究剛體在重力作用下繞固定點口的轉動問題。設剛體總質量為M，剛體質心在與剛體相固聯的軸系中的坐標為(xG,yG,zG)。鉛垂向上的單位矢量在連體軸上投影為Y,Y',Y''。假設連體軸為剛體在點口的慣性主軸，慣性主矩記作A,B,C。剛體角速度在連體軸上投影為p,q,r,Euler動力學方程為上一頁下一頁返回10.2剛體定點轉動問題的分析動力學上一頁下一頁返回10.2剛體定點轉動問題的分析動力學2)Euler-Poisson方程的三個第一積分現將Euler-Poisson方程(10.2.1)，(10.2.2)寫成形式3)Euler-Poisson方程的三種經典可積情形(1)Euler-Poinsot情形。

(2)Lagrange-Poisson情形

(3)KosanescKa情形10.2.3XapnaMoB方程及其降階問題1)專門坐標軸中的運動方程取任意直角坐標系Oξ1ξ2ξ3，軸向單位矢量e1,e2,e3固聯在剛體上，動量矩為

K=x1e1+x2e2+x3e3上一頁下一頁返回10.2剛體定點轉動問題的分析動力學角速度為w=w1e1+w2e2+w3e3因為K=w·L其中上一頁下一頁返回10.2剛體定點轉動問題的分析動力學10.2.4Euler-Poisson方程的若干特殊可積情形Euler-Poinsot情形、Lagrange-Poisson情形和Kosanescxa，情形是Euler-Poisson方程的通解。如果不僅對剛體質量分布加以限制，而且對運動的初始條件也加以限制，則找到的解為特解。從1890年到1959年，共找到9種特解。1)Hess情形(1890年)在Hess情形，對剛體質量分布的限制條件為

此時有第四個積分

條件(10.2.25)表示剛體動量矩在固定點口與質心‘的連線上的投影為零，這是對運動初始條件的限制，它是一個特殊積分。上一頁下一頁返回10.2剛體定點轉動問題的分析動力學2)Boomnes-CTeKnos情形(1896年)在此情形，對剛體質量分布的限制條件為B=2A，xG=zG=0(10.2.26)此時積分為

3)CTeKjos情形(1899年)在此情形，對剛體質量分布的限制條件為上一頁下一頁返回10.2剛體定點轉動問題的分析動力學

4)Topnues情形(1899年)在此情形，對剛體質量分布的限制條件為

此時有其中以及上一頁下一頁返回10.2剛體定點轉動問題的分析動力學5)Tattrruu情形(1904年)在此情形，對剛體質量分布的限制條件為

此時有其中上一頁下一頁返回10.2剛體定點轉動問題的分析動力學6)Kowalewski情形(1908年)在此情形，對剛體質量分布的限制條件為此時有以及其中b為常數，而上一頁下一頁返回10.2剛體定點轉動問題的分析動力學7)Iopuues-LIa-Trruu情形(1900年)在此情形，對剛體質量分布的限制條件為

此時有8)Grioli情形(1947年)在此情形，對剛體質量分布的限制條件為

此時有積分上一頁下一頁返回10.2剛體定點轉動問題的分析動力學9)Xapnamosa情形(1959年)在此情形，對剛體質量分布的限制條件為yG=0上一頁返回10.3相對運動動力學的Lagrange方程

隨著科學技術的發展，對復雜系統的動力學研究變得越來越重要。這些復雜系統的運動包括載體的運動以及被載體相對于載體的運動。研究復雜系統的運動，可在慣性坐標系中進行，也可在固聯于載體上的動坐標系中進行。用分析力學的理論與方法研究力學系統的相對運動動力學，不僅在表現形式上達到統一，而且對復雜系統顯示出優越性。20世紀初，Whittaker研究了受勻速轉動約束的Lagrange方程。20世紀60年代，JIYhb。研究了完整系統的一般相對運動動力學。對非完整系統，也可研究其相對運動動力學。下一頁返回10.3相對運動動力學的Lagrange方程10.3.1被載體相對運動微分方程的一般形式研究一質點系，它由載體和被載體組成，而被載體由N個質點組成。假設載體的運動已知，需要確定被載體的運動，并且假設被載體的運動不改變載體事先給定的運動規律。上一頁下一頁返回10.3相對運動動力學的Lagrange方程上一頁下一頁返回10.3相對運動動力學的Lagrange方程下面由Lagrange方程導出相對運動動力學的Lagrange方程。將Lagrange方程表示為其中為Euler算子。做計算，得這里星號“、”表示在計算Eule:算子時對時間的導數是在與載體相固聯的坐標系中進行的。將式(10.3.9)和式(10.3.10)代入方程(10.3.8)，得上一頁下一頁返回10.3相對運動動力學的Lagrange方程下面說明方程(10.3.11)右端各項的力學意義。矢量稱為平移運動的廣義慣性力，其中V')為這些力的均勻場勢能。角速度投影的二次型為離心力勢能，而量為廣義離心力。又上一頁下一頁返回10.3相對運動動力學的Lagrange方程為廣義轉動慣性力。最后一項表示廣義Coriolis慣性力，同時也可作為廣義陀螺力其中陀螺系數為最后，將式(10.3.12),(10.3.14),(10.3.15)和(10.3.17)代入式(10.3.11),到上一頁下一頁返回10.3相對運動動力學的Lagrange方程10.3.2被載體相對運動微分方程的幾種特殊形式首先，如果載體做平移，則有其次，如果載體做定點運動，可取固定點為基點，則有

最后，如果載體做定軸勻速轉動，則再上一頁下一頁返回10.3相對運動動力學的Lagrange方程10.3.3能量方程現將廣義力Qs分成兩部分其中Qs''為有勢力而Qs'為非勢力。這樣方程(10.3.19)可寫成形式

其中，將方程(10.3.24)兩端乘以q并對s求和，得到上一頁下一頁返回10.3相對運動動力學的Lagrange方程10.3.4相對平衡是被載體的相對平衡位置。當研究被載體相對平衡時，自然要提出下述問題:①載體怎樣運動才存在相對平衡;②如何確定可能的相對平衡位置;③什么樣的相對平衡位置是穩定的，什么樣的是不穩定的。限于研究載體的這樣運動:載體上任何點的加速度，對于與載體固聯的軸系來說，其大小和方向都不改變，因此，基點的加速度和載體的角速度對載體來說大小和方向保持不變。此外，還解設方程(10.3.19)中的廣義力Qs不依賴于時間。10.3.5應用舉例上一頁返回下一頁10.3相對運動動力學的Lagrange方程例1在重力作用下，一質量為刀:的質點在半徑為a的光滑圓管中運動，此圓管以角速度、繞與其平面成a角并過圓心的固定鉛垂軸‘無勻速轉動。試建立質點的相對運動微分方程，并研究其相對平衡位置。解:問題屬于載體以勻角速度、做定軸轉動的情形。取質點離圓管最低點張角e為廣義坐標，則相對運動動能為勢能為

在圓管上固聯一坐標系Ox'y‘z‘，其中Oz‘與Oz重合，Oy與Oy'垂直且在圓管平面內，Ox'與Oy‘，Oz成右手系，如圖10.5所示。質點的相對坐標為上一頁返回下一頁10.3相對運動動力學的Lagrange方程上一頁返回10.4變質量系統的Lagrange方程由于空間技術和其他工業技術的發展，變質量系統動力學的研究日漸重要。噴氣飛機、火箭、衛星、航天器等，一般都是變質量系統。1897年，俄國學者MemepcKUUIIB(1859-1935)在他的博士學位論文《變質量質點動力學》中提出了變質量質點的動力學方程，后人稱為MemepcxHH方程。以MemepcKUu方程為基礎，可建立變質量系統的牛頓力學和Lagrange力學的基本框架。10.4.1變質量力學系統的d'Alembert-Lagrange原理研究由N個質點組成的力學系統。在瞬時t，第i個質點的質量為mi(i=1,2,...,N);在瞬時t+dt，由質點分離(或并入)的微粒的質量為dmi。對每個質點列寫下一頁返回10.4變質量系統的Lagrange方程其中Y;為點的加速度;m;為點的質量;F;為作用在點上的主動力的合力;R,`為約束力的合力;R;為反推力其中u;為由質點分離(或并入)的微粒相對質點的速度。將方程(10.4.1)兩端點乘car;，并對i求和，考慮到理想約束條件則有上一頁下一頁返回10.4變質量系統的Lagrange方程這就是變質量力學系統的d'Olembert-Lagrange原理。下面將原理(10.4.3)表示為廣義坐標形式。假設系統的位形由二個廣義坐標(1，2，...n)來確定。令為把質量當作常數時對、和對母的偏導數，令ds/dt為把質量當作常數時對時間t的導數，分別稱為凝固偏導數和凝固導數。系統的動能為由凝固偏導數的定義，有上一頁下一頁返回10.4變質量系統的Lagrange方程取凝固導數，有