2026屆江蘇省南京市示范名校數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2026屆江蘇省南京市示范名校數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若非零實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．2．下面一段程序執(zhí)行后的結(jié)果是（）A．6 B．4 C．8 D．103．函數(shù)的圖像大致為（）A． B． C． D．4．函數(shù)是().A．周期為的偶函數(shù) B．周期為的奇函數(shù)C．周期為的偶函數(shù) D．周期為奇函數(shù)5．已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若，則該三角形的形狀是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形6．某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員5場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示，已知甲得分的極差為32，乙得分的平均值為24，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．B．甲得分的方差是736C．乙得分的中位數(shù)和眾數(shù)都為26D．乙得分的方差小于甲得分的方差7．若不等式對(duì)實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A．或 B．C． D．8．點(diǎn)、、、在同一個(gè)球的球面上，，.若四面體的體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)的部分圖象如圖，則的值為()A． B． C． D．10．在中，已知角的對(duì)邊分別為，若，，，，且，則的最小角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，的最大值為_(kāi)____.12．將邊長(zhǎng)為1的正方形(及其內(nèi)部)繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,點(diǎn)?分別是圓和圓上的點(diǎn),長(zhǎng)為,長(zhǎng)為,且與在平面的同側(cè),則與所成角的大小為_(kāi)_____.13．如圖，正方體中，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，為棱上一點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為_(kāi)_________．14．已知，，，，則______．15．?dāng)?shù)列中，如果存在使得“，且”成立（其中，），則稱為的一個(gè)“谷值”。若且存在“谷值”則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．16．在中，若，則____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知夾角為，且，，求：（1）；（2）與的夾角．18．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓與直線相切。求圓的方程；若圓上有兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且，求直線的方程；19．解關(guān)于x的不等式20．在△ABC中，已知BC=7，AB=3，∠A=60°．（1）求cos∠C的值；（2）求△ABC的面積．21．已知為等差數(shù)列，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，求正整數(shù)的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

對(duì)每一個(gè)不等式逐一分析判斷得解.【詳解】A,不一定小于0，所以該選項(xiàng)不一定成立；B,如果a＜0，b＜0時(shí)，不成立，所以該選項(xiàng)不一定成立；C,，所以，所以該不等式成立；D,不一定小于0，所以該選項(xiàng)不一定成立.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式性質(zhì)和比較法比較實(shí)數(shù)的大小，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.2、A【解析】

根據(jù)題中的程序語(yǔ)句，直接按照順序結(jié)構(gòu)的功能即可求出。【詳解】由題意可得：，，，所以輸出為6，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查順序結(jié)構(gòu)的程序框圖的理解，理解語(yǔ)句的含義是解題關(guān)鍵。3、A【解析】

先判斷函數(shù)為偶函數(shù)排除；再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，排除得到答案.【詳解】，偶函數(shù)，排除；當(dāng)時(shí)，，排除故選：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，通過(guò)函數(shù)的奇偶性和特殊函數(shù)點(diǎn)可以排除選項(xiàng)快速得到答案.4、B【解析】因，故是奇函數(shù)，且最小正周期是，即，應(yīng)選答案B．點(diǎn)睛：解答本題時(shí)充分運(yùn)用題設(shè)條件，先借助二倍角的余弦公式的變形，將函數(shù)的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再驗(yàn)證函數(shù)的奇偶性與周期性，從而獲得問(wèn)題的答案．5、B【解析】

利用三角形的內(nèi)角關(guān)系及三角變換公式得到，從而得到，此三角形的形狀可判斷.【詳解】因?yàn)椋剩淼玫剑裕颍约矗蕿榈妊切危蔬xB.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和、差的正弦，屬于基礎(chǔ)題，注意角的范圍的討論.6、B【解析】

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)，綜合即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，甲得分的極差為32，30+x﹣6=32，解得：x=8，A正確，對(duì)于B，甲得分的平均值為，其方差為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，乙的數(shù)據(jù)為：12、25、26、26、31，其中位數(shù)、眾數(shù)都是26，C正確，對(duì)于D，乙得分比較集中，則乙得分的方差小于甲得分的方差，D正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及數(shù)據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

對(duì)m分m≠0和m=0兩種情況討論分析得解.【詳解】由題得時(shí)，x＜0，與已知不符，所以m≠0.當(dāng)m≠0時(shí)，，所以.綜合得m的取值范圍為.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8、D【解析】

根據(jù)幾何體的特征，小圓的圓心為，若四面體的體積取最大值，由于底面積不變，高最大時(shí)體積最大，可得與面垂直時(shí)體積最大，從而求出球的半徑，即可求出球的表面積．【詳解】根據(jù)題意知，、、三點(diǎn)均在球心的表面上，且，，，則的外接圓半徑為，的面積為，小圓的圓心為，若四面體的體積取最大值，由于底面積不變，高最大時(shí)體積最大，所以，當(dāng)與面垂直時(shí)體積最大，最大值為，，設(shè)球的半徑為，則在直角中，，即，解得，因此，球的表面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體體積取最大值，是解答的關(guān)鍵．9、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的部分圖象求出、、和的值，寫出的解析式，再計(jì)算的值．【詳解】根據(jù)函數(shù)，，的部分圖象知，，，，解得；由五點(diǎn)法畫圖知，，解得；，．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式以及利用兩角和的正弦公式求三角函數(shù)的值．10、D【解析】

利用余弦定理求出和的表達(dá)式，由，結(jié)合正弦定理得出的表達(dá)式，利用余弦定理得出的表達(dá)式，可解出的值，于此確定三邊長(zhǎng)，再利用大邊對(duì)大角定理得出為最小角，從而求出．【詳解】，由正弦定理，即，，，，解得，由大邊對(duì)大角定理可知角是最小角，所以，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查大邊對(duì)大角定理，在解題時(shí)，要充分結(jié)合題中的已知條件選擇正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

化簡(jiǎn)，再利用基本不等式以及輔助角公式求出的最大值，即可得到的最大值【詳解】由題可得：由于，，所以，由基本不等式可得：由于，所以所以，即的最大值為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的最值問(wèn)題，涉及二倍角公式、基本不等式、輔助角公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題。12、【解析】

畫出幾何體示意圖，將平移至于直線相交，在三角形中求解角度.【詳解】根據(jù)題意，過(guò)B點(diǎn)作BH//交弧于點(diǎn)H，作圖如下：因?yàn)锽H//，故即為所求異面直線的夾角，在中，，在中，因?yàn)椋试撊切螢榈冗吶切危矗海谥校夷妇€BH垂直于底面，故：，又異面直線夾角范圍為，故，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線的夾角求解，一般解決方法為平移至直線相交，在三角形中求角.13、【解析】

根據(jù)題意得到直線MP運(yùn)動(dòng)起來(lái)構(gòu)成平面，可得到面，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)O連接，，根據(jù)題意可得到直線MP是一條動(dòng)直線，當(dāng)點(diǎn)P變動(dòng)時(shí)直線就構(gòu)成了平面，因?yàn)镸O均為線段的中點(diǎn)，故得到，四邊形為平行四邊形，面，故得到，又面，進(jìn)而得到.故夾角為.故答案為.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是異面直線的夾角的求法；常見(jiàn)方法有：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)化為平面角的問(wèn)題；或者證明線面垂直進(jìn)而得到面面垂直，這種方法適用于異面直線垂直的時(shí)候.14、【解析】

先求出的平方值，再開(kāi)方得到所求結(jié)果．【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查求解復(fù)合向量模長(zhǎng)的問(wèn)題，求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是先求模長(zhǎng)的平方，將其轉(zhuǎn)化為已知向量運(yùn)算的問(wèn)題．15、【解析】

求出,,,當(dāng),遞減,遞增,分別討論,,是否存在“谷值”,注意運(yùn)用單調(diào)性即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí),有,,當(dāng),遞減,遞增,且.若時(shí),有,則不存在“谷值”；若時(shí),,則不存在“谷值”；若時(shí),①,則不存在"谷值"；②,則不存在"谷值"；③,存在"谷值"且為.綜上所述,的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查新定義及運(yùn)用,考查數(shù)列的單調(diào)性和運(yùn)用,正確理解新定義是迅速解題的關(guān)鍵,是一道中檔題.16、2【解析】

根據(jù)正弦定理角化邊可得答案.【詳解】由正弦定理可得.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理角化邊，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】試題分析：（1）先求模的平方將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問(wèn)題．（2）根據(jù)數(shù)量積公式即可求得兩向量的夾角．（1），，所以．（2）設(shè)與的夾角為．則，因?yàn)椋裕键c(diǎn)：1向量的數(shù)量積；2向量的模長(zhǎng)．18、（1）（2）或【解析】

（1）直接利用點(diǎn)到直線的距離公式求出半徑，即可得出答案。（2）設(shè)出直線，求出圓心到直線的距離，利用半弦長(zhǎng)直角三角形解出即可。【詳解】解（1），所以圓的方程為（2）由題意，可設(shè)直線的方程為則圓心到直線的距離則，即所以直線的方程為或【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。19、見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）討論的取值，分為，兩種情形，求出對(duì)應(yīng)不等式的解集即可.試題解析：當(dāng)a=0時(shí)，原不等式化為x+10，解得;當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得；綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.點(diǎn)睛：本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，元二次不等式的核心還是求一元二次方程的根，然后在結(jié)合圖象判定其區(qū)間解題時(shí)應(yīng)用分類討論的思想，是中檔題目；常見(jiàn)的討論形式有：1、對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行討論；2、相對(duì)應(yīng)的方程是否有根進(jìn)行討論；3、對(duì)應(yīng)根的大小進(jìn)行討論.20、（1）（2）【解析】

（1）由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大邊對(duì)大角可求C為銳角，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC的值．（2）利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinB的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解．【詳解】（1）由題意，BC=7，AB=3，∠A=60°．∴由正弦定理可得：sinC=∵BC＞AB，∴C為銳角，∴cosC===，（2）因?yàn)锳+B+C=π，A=60°，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+=，∴S△ABC=BC?AB?sinB=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，大邊對(duì)大角，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．21、：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差等于d，則由題意可得，解得a1=1，d=1，從而得