2026屆黑龍江省鶴崗一中高一數學第二學期期末聯考試題含解析

2026屆黑龍江省鶴崗一中高一數學第二學期期末聯考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．甲、乙、丙、丁四名運動員參加奧運會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示，從這四個人中選擇一人參加奧運會射擊項目比賽，最佳人選是（）人數據甲乙丙丁平均數8.68.98.98.2方差3.53.52.15.6A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．已知平面向量，，，，在下列命題中：①存在唯一的實數，使得；②為單位向量，且，則；③；④與共線，與共線，則與共線；⑤若且，則.正確命題的序號是()A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③3．在空間四邊形中，，，，分別是，的中點，，則異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．4．對任意實數x，表示不超過x的最大整數，如，，關于函數，有下列命題：①是周期函數；②是偶函數；③函數的值域為；④函數在區間內有兩個不同的零點，其中正確的命題為()A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④5．已知函數圖象的一條對稱軸是，則函數的最大值為（）A．5 B．3 C． D．6．設直線l與平面平行，直線m在平面上，那么（）A．直線l不平行于直線m B．直線l與直線m異面C．直線l與直線m沒有公共點 D．直線l與直線m不垂直7．已知，，且，則向量在向量上的投影等于（）A．-4 B．4 C． D．8．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，給出以下四個結論：①D1C∥平面A1ABB1②A1D1與平面BCD1相交③AD⊥平面D1DB④平面BCD1⊥平面A1ABB1正確的結論個數是（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知a,b,,且,,則()A． B． C． D．10．直線上的點到圓上點的最近距離為（）A． B． C． D．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線平面，，那么在平面內過點P與直線m平行的直線有________條.12．函數，的值域為________13．在各項均為正數的等比數列中，，，則___________.14．若實數滿足，，則__________．15．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸的概率為________.16．設為數列的前項和，若，則數列的通項公式為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．為了解人們對某種食材營養價值的認識程度，某檔健康養生電視節目組織名營養專家和名現場觀眾各組成一個評分小組，給食材的營養價值打分（十分制）．下面是兩個小組的打分數據：第一小組第二小組（1）求第一小組數據的中位數與平均數，用這兩個數字特征中的哪一種來描述第一小組打分的情況更合適？說明你的理由．（2）你能否判斷第一小組與第二小組哪一個更像是由營養專家組成的嗎？請比較數字特征并說明理由．（3）節目組收集了烹飪該食材的加熱時間：（單位：）與其營養成分保留百分比的有關數據：食材的加熱時間（單位：）營養成分保留百分比在答題卡上畫出散點圖，求關于的線性回歸方程（系數精確到），并說明回歸方程中斜率的含義．附注：參考數據：，.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．18．設銳角三角形ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,（Ⅰ）求B的大小;（Ⅱ）若,求的取值范圍.19．土筍凍是閩南種廣受歡迎的特色傳統風味小吃某小區超市銷售一款土筍凍，進價為每個15元，售價為每個20元.銷售的方案是當天進貨，當天銷售,未售出的全部由廠家以每個10元的價格回購處理.根據該小區以往的銷售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖:(1)估算該小區土筍凍日需求量的平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)；(2)已知該超市某天購進了150個土筍凍，假設當天的需求量為個銷售利潤為元.(i)求關于的函數關系式;(ii)結合上述頻率分布直方圖，以額率估計概率的思想,估計當天利潤不小于650元的概率.20．某超市為了解端午節期間粽子的銷售量，對其所在銷售范圍內的1000名消費者在端午節期間的粽子購買量（單位：g）進行了問卷調查，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）求這1000名消費者的棕子購買量在600g～1400g的人數；（Ⅲ）求這1000名消費者的人均粽子購買量（頻率分布直方圖中同一組的數據用該組區間的中點值作代表）．21．如圖所示，在直三棱柱中，，，M、N分別為、的中點．求證：平面；求證：平面．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

甲，乙，丙，丁四個人中乙和丙的平均數最大且相等，甲，乙，丙，丁四個人中丙的方差最小，說明丙的成績最穩定，得到丙是最佳人選．【詳解】甲，乙，丙，丁四個人中乙和丙的平均數最大且相等，甲，乙，丙，丁四個人中丙的方差最小，說明丙的成績最穩定，綜合平均數和方差兩個方面說明丙成績即高又穩定，丙是最佳人選，故選：C．【點睛】本題考查平均數和方差的實際應用，考查數據處理能力，求解時注意方差越小數據越穩定.2、D【解析】

分別根據向量的平行、模、數量積即可解決。【詳解】當為零向量時不滿足，①錯；當為零向量時④錯，對于⑤：兩個向量相乘，等于模相乘再乘以夾角的余弦值，與有可能夾角不一樣或者的模不一樣，兩個向量相等要保證方向、模都相同才可以，因此選擇D【點睛】本題主要考查了向量的共線，零向量。屬于基礎題。3、D【解析】

平移兩條異面直線到相交，根據余弦定理求解.【詳解】如圖所示：設的中點為，連接，所以，則是所成的角或其補角，又根據余弦定理得：，所以，異面直線與所成角的為，故選D.【點睛】本題考查異面直線所成的角和余弦定理.注意異面直線所成的角的取值范圍是.4、A【解析】

根據的表達式，結合函數的周期性，奇偶性和值域分別進行判斷即可得到結論.【詳解】是周期函數，3是它的一個周期，故①正確.,結合函數的周期性可得函數的值域為，則函數不是偶函數，故②錯誤.，故在區間內有3個不同的零點，故④錯誤.故選：A【點睛】本題考查了取整函數綜合問題，考查了學習綜合分析，轉化與劃歸，數學運算的能力，屬于難題.5、B【解析】

函數圖象的一條對稱軸是，可得，解得．可得函數，再利用輔助角公式、倍角公式、三角函數的有界性即可得出．【詳解】函數圖象的一條對稱軸是，，解得．則函數當時取等號．函數的最大值為1．故選．【點睛】本題主要考查三角函數的性質應用以及利用二倍角公式和輔助角公式進行三角恒等變換．6、C【解析】

由題設條件，得到直線與直線異面或平行，進而得到答案．【詳解】由題意，因為直線與平面平行，直線在平面上，所以直線與直線異面或平行，即直線與直線沒有公共點，故選C．【點睛】本題主要考查了空間中直線與直線只見那的位置關系的判定及應用，以及直線與平面平行的應用，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題．7、A【解析】

根據公式，向量在向量上的投影等于，計算求得結果.【詳解】向量在向量上的投影等于.故選A.【點睛】本題考查了向量的投影公式，只需記住公式代入即可，屬于基礎題型.8、B【解析】

在①中，由，得到平面；在②中，由，得到平面；在③中，由，得到與平面相交但不垂直；在④中，由平面，得到平面平面，即可求解．【詳解】由正方體中，可得：在①中，因為，平面，平面，∴平面，故①正確；在②中，∵，平面，平面，∴平面，故②錯誤；在③中，∵，∴與平面相交但不垂直，故③錯誤；在④中，∵平面，平面，∴平面平面，故④正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．9、A【解析】

利用不等式的基本性質以及特殊值法，即可得到本題答案.【詳解】由不等式的基本性質有，，故A正確，B不正確；當時，，但，故C、D不正確.故選：A【點睛】本題主要考查不等式的基本性質，屬基礎題.10、C【解析】

求出圓心和半徑，求圓心到直線的距離，此距離減去半徑即得所求的結果.【詳解】將圓化為標準形式可得可得圓心為，半徑，而圓心到直線距離為，

因此圓上點到直線的最短距離為，故選：C.【點睛】本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，求圓心到直線的距離是解題的關鍵，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

利用線面平行的性質定理來進行解答.【詳解】過直線與點可確定一個平面，由于為公共點，所以兩平面相交，不妨設交線為，因為直線平面，所以，其它過點的直線都與相交，所以與也不會平行，所以過點且平行于的直線只有一條，在平面內，故答案為：1.【點睛】本題考查線面平行的性質定理，是基礎題.12、【解析】

先求的值域,再求的值域即可.【詳解】因為,故,故.故答案為：【點睛】本題主要考查了余弦函數的值域與反三角函數的值域等,屬于基礎題型.13、8【解析】

根據題中數列，結合等比數列的性質，得到，即可得出結果.【詳解】因為數列為各項均為正數的等比數列，，，所以.故答案為【點睛】本題主要考查等比數列的性質的應用，熟記等比數列的性質即可，屬于基礎題型.14、【解析】

由反正弦函數的定義求解．【詳解】∵，∴，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查反正弦函數，解題時注意反正弦函數的取值范圍是，結合誘導公式求解．15、【解析】甲、乙兩人下棋，只有三種結果，甲獲勝，乙獲勝，和棋；甲不輸，即甲獲勝或和棋，甲不輸的概率為16、，【解析】

令時，求出，再令時，求出的值，再檢驗的值是否符合，由此得出數列的通項公式.【詳解】當時，，當時，，不合適上式，當時，，不合適上式，因此，，.故答案為,.【點睛】本題考查利用前項和求數列的通項，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）中位數為，平均數為，中位數更適合描述第一小組打分的情況；（2）由可知第二小組的打分人員更像是由營養專家組成；（3）散點圖見解析；回歸直線為：；的含義：該食材烹飪時間每加熱多分鐘，則其營養成分大約會減少．【解析】

（1）將第一小組打分按從小到大排序，根據中位數和平均數的計算方法求得中位數和平均數；由于存在極端數據，可知中位數更適合描述第一小組打分情況；（2）分別計算兩組數據的方差，由可知第二小組打分相對集中，其更像是由營養專家組成；（3）由已知數據畫出散點圖；利用最小二乘法計算可得回歸直線；根據的含義，可確定斜率的含義.【詳解】（1）第一小組的打分從小到大可排序為：，，，，，，，則中位數為：平均數為：可發現第一小組中出現極端數據，會造成平均數偏低則由以上算得的兩個數字特征可知，選擇中位數更適合描述第一小組打分的情況．（2）第一小組：平均數為方差：第二小組：平均數：方差：可知，，第一小組的方差遠大于第二小組的方差第二小組的打分相對集中，故第二小組的打分人員更像是由營養專家組成的（3）由已知數據，得散點圖如下，，且，則關于的線性回歸方程為：回歸方程中斜率的含義：該食材烹飪時間每加熱多分鐘，則其營養成分大約會減少．【點睛】本題考查計算數據的中位數、平均數和方差、根據方差確定數據的波動性、回歸直線的求解問題；考查學生對于統計中的公式的掌握情況，對于學生的計算和求解能力有一定要求，屬于常考題型.18、（1）（2）【解析】

（Ⅰ）由條件利用正弦定理求得sinB的值，可得B的值（Ⅱ）使用正弦定理用sinA，sinC表示出a，c，得出a+c關于A的三角函數，根據A的范圍和正弦函數的性質得出a+c的最值．【詳解】解（Ⅰ）銳角又，，由正弦定理得，∴．

∴的取值范圍為【點睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理的應用，基本不等式的應用，屬于基礎題．19、（1）（2）(i)（）；(ii)【解析】

(1)設日需求量為，直接利用頻率分布圖中的平均數公式估算該小區土筍凍日需求量的平均數；（2）(i)分類討論得（）；(ii)由（i）可知，利潤，當且僅當日需求量，再利用互斥事件的概率和公式求解.【詳解】解：（1）設日需求量為，依題意的頻率為；的頻率為；的頻率為；的頻率為．則與的頻率為．故該小區土筍凍日需求量的平均數，．（2）（i）當時，；當時，．故（）（ii）由（i）可知，利潤，當且僅當日需求量．由頻率分布直方圖可知，日需求量的頻率約為，以頻率估計概率的思想，估計當天利潤不小于元的概率為．【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖中平均數的計算和分段函數解析式的求法，考查互斥事件的概率的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）a＝0.1（Ⅱ）2（Ⅲ）1208g【解析】

（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質，列出方程，即可求解得值；（Ⅱ）先求出粽子購買量在的頻率，由此能求出這1000名消費者的粽子購買量