五年(2021-2025)中考數(shù)學(xué)真題分類匯編(山西專用)02：代數(shù)式與整式（教師版）

專題02代數(shù)式與整式（解析版）考點(diǎn)1整式的混合運(yùn)算1．（2025·山西·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、完全平方公式、積的乘方等運(yùn)算法則，根據(jù)相應(yīng)法則，逐一進(jìn)行計(jì)算判斷即可．【詳解】A．中的和不是同類項(xiàng)，無法合并，故錯(cuò)誤．B．，正確．C．應(yīng)展開為，選項(xiàng)漏掉，故錯(cuò)誤．D．，選項(xiàng)中結(jié)果為，計(jì)算錯(cuò)誤．故選：B．2．（2024·山西·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查的是合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法與除法，冪的乘方與積的乘方，根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法與除法法則，冪的乘方與積的乘方法則對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一計(jì)算即可．【詳解】解：A、和不是同類項(xiàng)，不能合并，故此選項(xiàng)不合題意；B、，故此選項(xiàng)不合題意；C、，故此選項(xiàng)不合題意；D、，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．3．（2023·山西·中考真題）下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘除法法則、積的乘方及冪的乘方法則逐一計(jì)算即可得答案．【詳解】A．，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，B．，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，C．，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，D．，故該選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪乘除法、積的乘方及冪的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．（2021·山西·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C．D．【答案】A【分析】根據(jù)積的乘方、冪的乘方、同類項(xiàng)定義、完全平方公式、整式的除法的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)正確；B、和不屬于同類項(xiàng)，不能相加，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查積的乘方、冪的乘方、同類項(xiàng)定義、完全平方公式、整式的除法的運(yùn)算法則等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)正確計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)的值是解題關(guān)鍵．5．（2020·山西·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式除法、冪的乘方、單項(xiàng)式乘法的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：A.，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，故C選項(xiàng)正確；D.，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故答案為C．【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式除法、積的乘方、單項(xiàng)式乘法等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)運(yùn)算法則是解答此類題的關(guān)鍵．6．（2023·山西·中考真題）（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：．【答案】（1）1；（2）【分析】（1）分別計(jì)算絕對(duì)值、乘方、加法及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再計(jì)算有理數(shù)的乘法與減法即可；（2）分別利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方公式展開后，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，涉及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值、多項(xiàng)式的乘法、完全平方公式等知識(shí)，掌握運(yùn)算順序、多項(xiàng)式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2規(guī)律探索問題1．（2023·山西·中考真題）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的圓片組成．第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，…依此規(guī)律，第n個(gè)圖案中有個(gè)白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）

【答案】【分析】由于第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，，可得第個(gè)圖案中有白色圓片的總數(shù)為．【詳解】解：第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，，∴第個(gè)圖案中有個(gè)白色圓片．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．解題關(guān)鍵是總結(jié)歸納出圖形的變化規(guī)律．2．（2020·山西·中考真題）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相等的正三角形組合而成，第個(gè)圖案有個(gè)三角形，第個(gè)圖案有個(gè)三角形，第個(gè)圖案有個(gè)三角形按此規(guī)律擺下去，第個(gè)圖案有個(gè)三角形（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】由圖形可知第1個(gè)圖案有3+1=4個(gè)三角形，第2個(gè)圖案有3×2+1=7個(gè)三角形，第3個(gè)圖案有3×3+1=10個(gè)三角形...依此類推即可解答．【詳解】解：由圖形可知：第1個(gè)圖案有3+1=4個(gè)三角形，第2個(gè)圖案有3×2+1=7個(gè)三角形，第3個(gè)圖案有3×3+1=10個(gè)三角形，...第n個(gè)圖案有3×n+1=（3n+1）個(gè)三角形．故答案為（3n+1）．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的排列、歸納圖形的變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3列代數(shù)式/因式分解1．（2025·山西·中考真題）近年來，我省依托鄉(xiāng)村e(cuò)鎮(zhèn)建設(shè)，打造農(nóng)村電商新產(chǎn)業(yè)，提高了農(nóng)民收入．某農(nóng)戶通過網(wǎng)上銷售傳統(tǒng)手工藝品布老虎，利潤由原來的每個(gè)20元增加到80元．該農(nóng)戶通過網(wǎng)上售出a個(gè)布老虎，則他的利潤增加了元（用含a的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】本題考查了列代數(shù)式，正確理解題意是關(guān)鍵；求出售出一個(gè)布老虎增加的利潤，即可求出售出a個(gè)布老虎增加的利潤．【詳解】解：售出一個(gè)布老虎增加的利潤為（元），則售出a個(gè)布老虎增加的利潤為．故答案為：．2．（2025·山西·中考真題）因式分解：．【答案】【分析】本題考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；由平方差公式分解即可．【詳解】解：；故答案為：．一、單選題1．（2025·山西·模擬預(yù)測）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查整式的運(yùn)算．根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪相乘、積的乘方、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)的正確性．【詳解】解：A、與不是同類項(xiàng)，無法合并，本選項(xiàng)不符合題意；B、，本選項(xiàng)不符合題意；C、，本選項(xiàng)不符合題意；D、，本選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．（2025·山西·模擬預(yù)測）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法計(jì)算，完全平方公式，積的乘方計(jì)算，合并同類項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)計(jì)算法則求出對(duì)應(yīng)選項(xiàng)中式子的結(jié)果即可得到答案．【詳解】解：A、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、，原式計(jì)算正確，符合題意；故選：D．3．（2025·山西大同·三模）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了整式的加減，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式以及平方差公式，根據(jù)以上運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：A.，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；B.，故該選項(xiàng)不正確，符合題意；C.，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

D.，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：B．4．（2025·山西晉中·三模）下列運(yùn)算正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)，積的乘方，完全平方公式，平方差公式；根據(jù)以上運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：A.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；B.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：A．5．（2025·山西運(yùn)城·二模）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查的是零次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，積的乘方運(yùn)算，合并同類項(xiàng)，根據(jù)以上運(yùn)算法則逐一分析即可．【詳解】解：，故A不符合題意；，故B符合題意；，故C不符合題意；，故D不符合題意；故選：B6．（2025·山西大同·一模）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了整式的加法、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算和完全平方公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)整式加法法則計(jì)算即可判定A；根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可判定B、C；根據(jù)完全平方公式即可判定D．【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，故此選項(xiàng)符合題意；D、，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．7．（2025·山西朔州·三模）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，平方差公式，合并同類項(xiàng)，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵在于正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則．根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則計(jì)算判斷，即可解題．【詳解】解：A.，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B.，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C.，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D.，原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；故選：D．8．（2025·山西朔州·三模）如圖所示的圖形可以驗(yàn)證乘法公式，這種根據(jù)圖形驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，簡稱為“無字證明”，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）

A．統(tǒng)計(jì)思想 B．分類思想 C．函數(shù)思想 D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式的證明，掌握根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想．根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想．【詳解】解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，故選：D．9．（2025·山西臨汾·一模）在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，“智慧小組”將邊長為的正方形紙片剪去一個(gè)邊長為的小正方形（），剩余部分沿虛線剪開，拼成一個(gè)平行四邊形．如圖所示，通過表示圖中幾何圖形面積的方法進(jìn)行推導(dǎo)和驗(yàn)證平方差公式，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀，這種方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 B．分類討論思想 C．方程思想 D．統(tǒng)計(jì)思想【答案】A【分析】本題考查了平方差公式的推導(dǎo)以及數(shù)學(xué)思想，根據(jù)圖形中的等量關(guān)系推導(dǎo)出平方差公式，屬于數(shù)形結(jié)合思想．結(jié)合圖象可以知道前后兩個(gè)圖形的面積相等，即兩種不同的面積表示方式，根據(jù)面積相等即可推導(dǎo)出平方差公式，屬于數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．【詳解】解：根據(jù)圖形面積的兩種不同的表示方式得出等式，從而推導(dǎo)出平方差公式，屬于數(shù)形結(jié)合思想．故選：A．10．（2025·山西呂梁·一模）當(dāng)，時(shí)，的值為（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】本題考查了整式的化簡求值，因式分解，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，涵蓋二次根式的加減乘除、平方差公式應(yīng)用．解題關(guān)鍵是通過因式分解簡化表達(dá)式，再利用實(shí)數(shù)運(yùn)算法則（尤其二次根式運(yùn)算）逐步求值，體現(xiàn)了實(shí)數(shù)運(yùn)算中“先化簡再計(jì)算”的策略．先對(duì)因式分解，提取公因式得，再用平方差公式進(jìn)一步分解為．接著代入，分別計(jì)算的值，最后相乘得出結(jié)果．【詳解】解：，，當(dāng)，時(shí)，，原式=，故選；．11．（2025·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)對(duì)復(fù)雜多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，蘇老師示范了如下例題：因式分解：．解：設(shè)，原式．例題中體現(xiàn)的主要思想方法是（

）A．函數(shù)思想 B．整體思想C．分類討論思想 D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想【答案】B【分析】本題主要考查了分解因式，對(duì)解答的過程進(jìn)行分析，結(jié)合相應(yīng)的思想方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)分解因式的過程可知，把看做一個(gè)整體，通過多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)后利用完全平方公式分解因式，體現(xiàn)的主要思想方法是整體思想，故選：B．12．（2025·山西陽泉·一模）如圖，小明在學(xué)習(xí)因式分解時(shí)，從不同角度分別表示大矩形的面積，再根據(jù)面積相等將多項(xiàng)式因式分解成．這種方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．?dāng)?shù)形結(jié)合 B．分類討論 C．公理化 D．由一般到特殊【答案】A【分析】本題考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，根據(jù)圖形中的等量關(guān)系推導(dǎo)出因式分解，屬于數(shù)形結(jié)合思想．【詳解】解：根據(jù)圖形面積的兩種不同的表示方式得出等式，從而推導(dǎo)出，屬于數(shù)形結(jié)合思想．故選A．二、填空題13．（2025·山西太原·一模）如圖是用若干個(gè)相同的小正方形拼成的圖案．第1個(gè)圖案中有4個(gè)小正方形，第2個(gè)圖案中有7個(gè)小正方形，第3個(gè)圖案中有10個(gè)小正方形，······，依此規(guī)律，第n個(gè)圖案中小正方形的個(gè)數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律、列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律．根據(jù)圖形的變化規(guī)律可知，從第二個(gè)圖形起每個(gè)圖形都比前一個(gè)多3個(gè)小正方形，以此即可找到圖形規(guī)律．【詳解】解：第1個(gè)圖案有4個(gè)正方形，即，第2個(gè)圖案有7個(gè)正方形，即，第3個(gè)圖案有10個(gè)正方形，即，……以此類推，第個(gè)圖案有個(gè)正方形，故答案為：．14．（2025·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測）（代數(shù)推理）觀察下列點(diǎn)陣：第1個(gè)點(diǎn)陣對(duì)應(yīng)的等式為；第2個(gè)點(diǎn)陣對(duì)應(yīng)的等式為；第3個(gè)點(diǎn)陣對(duì)應(yīng)的等式為；第4個(gè)點(diǎn)陣對(duì)應(yīng)的等式為；?請(qǐng)按以上規(guī)律寫出第n個(gè)點(diǎn)陣對(duì)應(yīng)的等式：（用含n的等式表示）．【答案】【分析】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類：通過從一些特殊的圖形變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．根據(jù)前面的等式的規(guī)律得到第n個(gè)點(diǎn)陣圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有個(gè)，它有從1開始的n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，即可得出結(jié)論．【詳解】解：第n個(gè)點(diǎn)陣對(duì)應(yīng)的等式：．故答案為：．15．（2025·山西長治·模擬預(yù)測）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由大小相同的“<>”組成的，第1個(gè)圖案中有3個(gè)“”，第2個(gè)圖案中有9個(gè)“”，第3個(gè)圖案中有18個(gè)“”……按此規(guī)律，第n個(gè)圖案中有個(gè)“”．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】【分析】本題主要考查列代數(shù)式，根據(jù)圖案規(guī)律，寫出第n個(gè)圖案中圖形的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖案找出規(guī)律即可．【詳解】解：第1個(gè)圖案中有：個(gè)，第2個(gè)圖案中有：個(gè)，第3個(gè)圖案中有：個(gè)，第4個(gè)圖案中有：個(gè)，……∴第n個(gè)圖案中有個(gè)；故答案為：16．（2025·山西呂梁·模擬預(yù)測）用正三角形、正四邊形和正六邊形按如圖所示的規(guī)律拼圖案．第1個(gè)圖案有6個(gè)正三角形，第2個(gè)圖案有10個(gè)正三角形，第3個(gè)圖案有14個(gè)正三角形……按此規(guī)律擺下去，則第個(gè)圖案有個(gè)正三角形．（用含的代數(shù)式表示）【答案】【分析】此題考查了圖形類規(guī)律的探索問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形正確求得前幾圖形中正三角形的個(gè)數(shù)，總結(jié)出規(guī)律即可求解．先求出前四個(gè)圖形的正三角形個(gè)數(shù)，總結(jié)出規(guī)律即可求解．【詳解】解：第一個(gè)圖形，正三角形的個(gè)數(shù)為，第二個(gè)圖形，正三角形的個(gè)數(shù)為第三個(gè)圖形，正三角形的個(gè)數(shù)為，第四個(gè)圖形，正三角形的個(gè)數(shù)為，……則第個(gè)圖形，正三角形的個(gè)數(shù)為：故答案為：．17．（2025·山西晉中·二模）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動(dòng)、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（當(dāng)碳原子數(shù)目超過10個(gè)時(shí)即用漢字?jǐn)?shù)字表示，如十一烷、十二烷…）等．其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，其中黑球代表碳原子，灰球代表氫原子，甲烷有4個(gè)氫原子，乙烷有6個(gè)氫原子，丙烷有8個(gè)氫原子，．．．依此規(guī)律，十三烷的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是個(gè)．【答案】28【分析】本題考查了圖形類規(guī)律題，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)氫原子的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律，即可求解．【詳解】解：甲烷有4個(gè)氫原子，，乙烷有6個(gè)氫原子，，丙烷有8個(gè)氫原子，，以此類推，則十三烷的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)：，故答案為：28．18．（2025·山西長治·二模）下圖是一組有規(guī)律的圖案組成的“小魚”圖形，它由若干根火柴棒組成．第1個(gè)圖案由8根火柴棒組成，第2個(gè)圖案由14根火柴棒組成，第3個(gè)圖案由20根火柴棒組成，第4個(gè)圖案由26根火柴棒組成…依此規(guī)律，第n個(gè)圖案由根火柴棒組成（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】/【分析】根據(jù)題意，第1個(gè)圖案由根火柴棒組成，第2個(gè)圖案由根火柴棒組成，第3個(gè)圖案由根火柴棒組成，第4個(gè)圖案由，依此規(guī)律，得到第n個(gè)圖形中火柴根數(shù)為．本題考查了整式的加減中規(guī)律探索，熟練掌握規(guī)律探索的基本方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意，得第1個(gè)圖案由根火柴棒組成，第2個(gè)圖案由根火柴棒組成，第3個(gè)圖案由根火柴棒組成，第4個(gè)圖案由，依此規(guī)律，故第n個(gè)圖形中火柴根數(shù)為．故答案為：．19．（2025·山西陽泉·二模）在日歷上，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一些規(guī)律．如圖是2024年元月份的日歷，我們隨機(jī)選擇圖中所示的方框部分，設(shè)左上角的數(shù)字為，則方框內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和用代數(shù)式可表示為．【答案】【分析】本題考查列代數(shù)式，整式的加減．通過觀察分析，得出圖中數(shù)的規(guī)律為：下一行數(shù)比同列上一行數(shù)大7，右列的數(shù)比同行左列的數(shù)大1，據(jù)此列式即可．【詳解】解：由圖可知：這四個(gè)數(shù)分別為：x，，，，∴這四個(gè)數(shù)的和．故答案為：．20．（2025·山西·模擬預(yù)測）分解因式：．【答案】/【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、分解因式，先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，最后利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：，故答案為：．21．（2025·山西晉城·一模）分解因式：．【答案】/【分析】本題主要考查了分解因式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)，最后根據(jù)完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：，故答案為：．22．（2025運(yùn)城市一模）公園里有一個(gè)長方形花壇，原來長為，寬為x，現(xiàn)在要把花壇四周均向外擴(kuò)展，擴(kuò)展后的長方形花壇的長，寬為，則擴(kuò)展后的長方形花壇的面積比擴(kuò)展前的長方形花壇的面積增加．【答案】【分析】本題主要考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．用改變后的花壇的面積減去改變前的面積，計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得：改變后花壇的長，寬，這個(gè)花壇的面積將增加：．故答案為：．23．（2025·山西大同·模擬預(yù)測）如圖是某拱形門示意圖，它是由上、下兩部分組成的．上面是半圓，半圓的直徑為；下面是長方形，寬為，長是寬的倍．這個(gè)拱形門的面積可表示為．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】本題主要考查了不規(guī)則圖形面積的計(jì)算方法，單項(xiàng)式的乘法，其中利用了“分割法”將此不規(guī)則圖形分割成一個(gè)長方形和一個(gè)半圓，再根據(jù)長方形的面積公式和半圓的面積公式進(jìn)行計(jì)算，掌握面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：這個(gè)拱形門的面積為，故答案為：．24．（2025·山西大同·一模）計(jì)算：．【答案】/【分析】本題考查整式混合運(yùn)算，熟練掌握整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：，故答案為：．25．（2025·山西·模擬預(yù)測）若，，則．【答案】5【分析】本題考查對(duì)完全平方公式的變形應(yīng)用能力，根據(jù)，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：5．26．（2025·山西長治·模擬預(yù)測）計(jì)算的結(jié)果為．【答案】2【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】，故答案為：2．27．（2025·山西晉中·一模）如圖是某校為“五四”晚會(huì)搭建的“凹”字型舞臺(tái)（圖中陰影部分），相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則這個(gè)舞臺(tái)的面積為（用含a，b的代數(shù)式表示）．【答案】/【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，掌握平方差公式是解題關(guān)鍵．用矩形的面積減去小正方形的面積列式，再化簡即可．【詳解】解：這個(gè)舞臺(tái)的面積為，故答案為：．28．（2025·山西呂梁·二模）將多項(xiàng)式因式分解可得．【答案】【分析】本題考查的是因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可.【詳解】解：；故答案為：29．（2025·山西·模擬預(yù)測）因式分解：．【答案】【分析】本題主要考查因式分解，熟練掌握提公因式以及平方差公式是解題的關(guān)鍵．先提公因式，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：，故答案為：．30．（2025·山西忻州·二模）分解因式：．【答案】【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【詳解】解：．故答案為：．31．（2025·山西·模擬預(yù)測）給多項(xiàng)式添加一個(gè)單項(xiàng)式，使得到的多項(xiàng)式能運(yùn)用完全平方公式，則這個(gè)單項(xiàng)式為．【答案】或【分析】本題主要考查了完全平方公式，根據(jù)完全平方公式的形式解答即可．【詳解】，這個(gè)單項(xiàng)式為；，這個(gè)單項(xiàng)式為．故答案為：或．32．（2025·山西大同·二模）若，則的值為．【答案】1【分析】本題考查了求代數(shù)式的值．將整理得，再整體代入即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：1．33．（2025·山西長治·模擬預(yù)測）在現(xiàn)今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時(shí)代，密碼與我們的生活已經(jīng)緊密相連，密不可分，而諸如“”、生日等簡單密碼又容易被破解，因此利用簡單方法產(chǎn)生一組容易記憶的密碼就很有必要了．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是，若取，時(shí)，則各個(gè)因式的值是：，，，把這些值從小到大排列得到，于是就可以把“”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼，對(duì)于多項(xiàng)式，取，時(shí)，請(qǐng)你寫出用上述方法產(chǎn)生的密碼．【答案】【分析】本題考查了綜合提公因式和公式法進(jìn)行因式分解．熟練掌握綜合提公因式和公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．由題意知，，然后代值求解并作答即可．【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，，，，∴密碼為，故答案為：．三、解答題34．（2025運(yùn)城市模擬）計(jì)算：(1)計(jì)算：；(2)先化簡，再求值．，其中．【答案】(1)(2)，12【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，整式加減混合運(yùn)算—化簡求值，正確掌握實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算法以及整式加減混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)有理數(shù)的乘方，算術(shù)平方根，絕對(duì)值，立方根的性質(zhì)化簡，再計(jì)算即可；（2）先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得，再代入化簡后的結(jié)果，即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：∵，∴，解得：，當(dāng)時(shí)，原式．35．（2025·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測）“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛．議一議：求代數(shù)式的值，其中．把代入后求值．把看成一個(gè)字母a，這個(gè)代數(shù)式可以簡化為(1)【問題解決】對(duì)議一議中的式子進(jìn)行化簡求值，并寫出過程；(2)【簡單應(yīng)用】已知，則的值為__________．【答案】(1)，，過程見解析(2)2【分析】本題考查的是整式的加減運(yùn)算中的化簡求值；（1）把看成整體，先合并，再代入計(jì)算即可；（2）把看成整體，先合并，再代入計(jì)算即可；【詳解】（1）解：；當(dāng)時(shí)，原式；（2）解：∵，∴．36．（2025·山西長治·模擬預(yù)測）（1）計(jì)算：；（2）化簡：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)計(jì)算解答即可；（2）利用完全平方公式展開，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解答即可．【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，算術(shù)平方根，完全平方公式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．37．（2025·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測）（1）計(jì)算：．（2）化簡：．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算．（1）先計(jì)算乘方和零指數(shù)冪，再算乘法和除法，最后算加法即可；（2）先將中括號(hào)中的式子展開后合并同類項(xiàng)，最后算除法即可．【詳解】解：（1）；（2）．38．（2025·山西陽泉·一模）閱讀與理解下面是小婷同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．2024年×月×日

星期日多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式．類比數(shù)字的除法運(yùn)算，我們可以將多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式使用豎式除法，如用如圖1所示的豎式表示：

如果是多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，可以類比圖1的過程用豎式除法嗎？經(jīng)過查閱資料，我寫出了如圖2所示的豎式，它的計(jì)算步驟如下：（1）先把被除式與除式分別按字母的降冪排列；（2）將被除式的第一項(xiàng)除以除式的第一項(xiàng)2x，即，得出商式的第一項(xiàng)3x；（3）用商的第一項(xiàng)3x與除式相乘得，寫在的下面；（4）用減去得差，寫在下面；（5）再用的第一項(xiàng)4x除以除式的第一項(xiàng)2x．即，寫在商式的第一項(xiàng)3x的后面，寫成代數(shù)和的形式；（6）以商式的第二項(xiàng)2與除式相乘，得，寫在（4）中差的下面；（7）兩式相減得0，表示剛好能除盡；（8）寫出結(jié)果：．任務(wù)：(1)材料中，由多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的豎式除法到多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的豎式除法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______；A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想

B．類比思想

C．分類討論思想

D．公理化思想(2)請(qǐng)你用豎式除法計(jì)算：；(3)若是的一個(gè)因式，則．【答案】(1)B(2)，見解析(3)11【分析】（1）找到兩種除法之間的共同點(diǎn)，是類比思想，（2）根據(jù)多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的豎式除法，即可求解，（3）多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的豎式除法，根據(jù)余數(shù)為，即可求解，本題考查了多項(xiàng)式的除法，解題的關(guān)鍵是：掌握多項(xiàng)式除多項(xiàng)式的運(yùn)算規(guī)則．【詳解】（1）解：根據(jù)由多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的豎式除法到多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的豎式除法，是類比思想，故選：B，（2）解：故答案為：，（3）解：∵余式為，，∴商式的最后一項(xiàng)為，，解得：，故答案為：．39．（2025·運(yùn)城市·三模）（1）計(jì)算：（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)的取值和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分式的化簡求值，熟練掌握銳角三角函數(shù)以及實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則，分式運(yùn)算法則即可解題．（1）代入銳角三角函數(shù)值，根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）運(yùn)用分解因式化簡分式，再代入的值即可解題．【詳解】（1）解：原式；解：原式；當(dāng)時(shí)，原式．40．（2025·山西呂梁·一模）（1）計(jì)算：（2）化簡：【答案】（1）3；（2）【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和整式的混合運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和整式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）先計(jì)算二次根式化簡、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再進(jìn)行四則運(yùn)算即可；（2）利用整式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：（1）；（2）．41．（2025·山西太原·三模）計(jì)算：(1)(2)已知多項(xiàng)式，化簡多項(xiàng)式A時(shí)，小明的結(jié)果與其他同學(xué)的不同，請(qǐng)你檢查小明同學(xué)的解題過程．在標(biāo)出的①②③中，出現(xiàn)錯(cuò)誤的是．請(qǐng)寫出正確的解答過程，當(dāng)時(shí)．求出此時(shí)多項(xiàng)式A的值．【答案】(1)(2)①和③，化簡結(jié)果為，多項(xiàng)式A的值為23【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算．掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）先計(jì)算有理數(shù)的乘方，化簡絕對(duì)值，算術(shù)平方根和零指數(shù)冪，再進(jìn)行四則運(yùn)算即可；（2）由解題步驟可知①一次項(xiàng)系數(shù)應(yīng)為4，③去括號(hào)時(shí)未變號(hào)；根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可化簡，再將整體代入化簡后的式子求值即可．【詳解】（1）解：；（2）解：①應(yīng)為，③應(yīng)為．故答案為：①和③；．當(dāng)時(shí)，原式．42．（2025·山西呂梁·一模）請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．妙用平方差公式解決問題學(xué)完平方差公式后，王老師展示了以下例題：例計(jì)算：．觀察算式發(fā)現(xiàn)：如果將乘，這時(shí)可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，為使等式恒成立，需將式子整體再乘2．解：原式．以上計(jì)算的關(guān)鍵是將原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏螅\(yùn)用平方差公式解決問題．計(jì)算符合算理，過程簡潔．這種變形來源于認(rèn)真觀察（發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)）、大膽猜想（運(yùn)用公式）、嚴(yán)格推理（恒等變形）．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要重視觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程，任務(wù)：(1)請(qǐng)仿照上述方法計(jì)算：；(2)請(qǐng)認(rèn)真觀察，計(jì)算：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算，平方差公式，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．（1）將2轉(zhuǎn)化成后，利用平方差公式和題中的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）首先根據(jù)平方差公式計(jì)算，然后計(jì)算括號(hào)內(nèi)，然后計(jì)算有理數(shù)的乘法求解即可．【詳解】（1）；（2）．43．（2025·山西晉城·一模）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)對(duì)物理學(xué)的發(fā)展起著重要的作用，物理學(xué)也對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著重要的作用，莫爾斯所說：“數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)，物理是物理，但物理可以通過數(shù)學(xué)的抽象而受益，而數(shù)學(xué)則可以通過物理的見識(shí)而受益．”以下是數(shù)學(xué)中常見的一個(gè)問題：若，則的最大值是多少？設(shè)，，則．……以下是物理中的一個(gè)問題：物理學(xué)中的電路分為串聯(lián)電路和并聯(lián)電路，已知電路中有大小分別為和的兩個(gè)電阻，串聯(lián)電路的電阻公式為，并聯(lián)電路的電阻公式為．在某一段電路上測得兩個(gè)電阻的和為．若根據(jù)實(shí)際需要把這兩個(gè)電阻并聯(lián)在一起，則并聯(lián)后總電阻的最大值是多少？任務(wù)：(1)按照上面的解題思路，完成數(shù)學(xué)問題的剩余部分．(2)若，兩數(shù)的和為定值，則，滿足______時(shí)，的值最大．(3)解決這個(gè)物理問題主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______．（填序號(hào)即可）A．統(tǒng)計(jì)思想

B．分類思想

C．模型思想(4)物理問題中并聯(lián)后總電阻的最大值是______．【答案】(1)見詳解(2)(3)C(4)3.75【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、有理數(shù)混合運(yùn)算、平方差公式等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確理解題意，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解題．（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可獲得答案；（2）令，兩數(shù)的和為定值，結(jié)合題意，可設(shè)，，易得，即可獲得答案；（3）根據(jù)題意分析即可；（4）結(jié)合以上結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)，取最大值，然后求解即可．【詳解】（1）解：按照上面的解題思路，完成數(shù)學(xué)問題的剩余部分如下：∵，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為1；（2）令，兩數(shù)的和為定值，設(shè)，，則，∴當(dāng)時(shí)，取最大值為，此時(shí)，∴若，兩數(shù)的和為定值，則，滿足時(shí)，的值最大．故答案為：；（3）解決這個(gè)物理問題主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是模型思想．故選：C；（4）由以上結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)，取最大值，∴，∴．故答案為：3.75．44．（2025·山西晉城·三模）計(jì)算：(1)；(2)分解因式：．【答案】(1)(2)【分析】（1）先分別計(jì)算絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪及括號(hào)里的有理數(shù)加法運(yùn)算，再計(jì)算有理數(shù)乘法運(yùn)算，最后由有理數(shù)加減運(yùn)算法則求解即可得到答案；（2）先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算及分解因式，涉及絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、有理數(shù)乘法運(yùn)算法則、有理數(shù)加減運(yùn)算法則、提公因式法分解因式、平方差公式分解因式等