2023-2024學年廣東深圳某中學八年級（下）期中數學試題及答案

2023-2024學年廣東省深圳中學共同體八年級（下）期中數學試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）以下圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

2.（3分）下列各式從左到右的變形屬于因式分解的是（）

A.6xVX2,3B.x2+2x+1=x（x4-24--）

=23^X

C.x2-9=（x-3）（x+3）D.（x+3）（x-3）=x2-x-6

3.（3分）若a>b,則下列不等式成立的是（）

a+3b+3

A.a-5<b-5B.-2a<-2bC.———D.a20>b~0

22

4.（3分）將分式—^中的x,y的值同時擴大2倍，則分式的值（）

x+y

A.擴大2倍B.縮小到原來的;

C.保持不變D.無法確定

5.（3分）不等式組［2"+4>0的解集在數軸上表示正確的是（）

tx-1<0

第1頁（共29頁）

6.（3分）如圖，已知△48C,ABVBC,用尺規作圖的方法在8c上取一點P,使得以+尸C=8C,則下列

7.（3分）如圖，在中，/ACB=90°,則AD的長為（）

6C.2V3D.4V3

8.（3分）如圖所示，一次函數歹=左什6*,b是常數，AWO）與正比例函數（〃［是常數，〃iWO）的

圖象相交于點2）,下列判斷錯誤的是（）

A.關于x的方程〃次的解是x=\

B.關于x的不警式mxWkx+b的解集是x>1

C.當xVO時，函數y=h+b的值比函數的值大

D.關于”的方程組匕二黑二二的解是

/vx-u\y一乙

9

9.（3分）如圖，在RtZ\Z8C中，NACB=90°,NZ=3O°,BC=*將△48C繞點C順時針旋轉得到

△H夕C,其中點與點1是對應點，點8'與點8是對應點.若點夕恰好落在48邊上，則點4

到直線HC的距離等于（）

A.1B.V3C.2D.1V3

第2頁（共29頁）

10.（3分）如圖，將兩個全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子，其中48=4C=4G=R7,ZBAC=

/AGF=90°,AF、AG分別與8C交于。、￡兩點，將繞著點X順時針旋轉90°得到△48”,則下

列結論：②AD平分NHDE；③若8。=3,當。￡=2CE時，則48=|企+|遮；④若48

平分乙也。，則以"D=￥S》DE，其中正確的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）

11.（3分）把多項式4-4x分解因式的結果為.

12.（3分）若在解分式方程二=咚去分母時產生增根，則上=.

13.（3分）“綠水青山就是金山銀山”某鄉村為美化環境,計劃種植樹木1000棵.由于志愿者的加入,實

際每天植樹的棵數比原計劃增加了25%,結果提前2天完成任務.則實際每天植樹棵.

14.（3分）《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名

著，某興趣小組閱讀四大名著的人數，同時滿足以下三個條件：

①閱讀過《水滸傳》的人數等于閱讀過《西游記》的人數的整數倍；

②閱讀過《水滸傳》的人數是閱讀過《三國演義》的人數的1.5倍；

③閱讀過《三國演義》的人數多于閱讀過《西游記》的人數的1.5倍.

若閱讀過《西游記》的人數為4,則閱讀過《水滸傳》的人數的最小值為.

15.（3分）如圖，在△“6c中，Z5JC=45°,ZACB=60°,BC=5,將△月6C沿著射線6C方向平移得

到△OE尸,力與。為對應點，連結CO.在整個平移過程中，若NCZ）E=45°,則平移的距離

為.

BM

第3頁（共29頁）

三、解答題（本大題共7小題，共55分，16題8分，17題8分，18題7分，19題7分，20題8分，21

題8分，22題9分）

16.（8分）（1）因式分解：3/-6寸+3）2；

（x+3>2

（2）解不等式組：2x-l

3

17.（8分）（1）先化簡：（1一后）?晦駕土再從?中選取合適的整數代入求值.

x+1I

(2)解分式方程：---+--=1.

xx—2

18.（7分）在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，建立如圖所示的平面直角坐標系。是格

點三角形（頂點在網格線的交點上）.

（1）作出△/8C關于原點。成中心對稱的△力由|。1，并寫出△力18cl三個頂點坐標小（）,

5|(),Ci()；

（2）把△由勺Ci向上平移4個單位長度得到△力282c2，畫出△/2B2Q;

（3）△/282C2與△4BC成中心對稱，請直接寫出對稱中心的坐標（）.

第4頁（共29頁）

19.（7分）如圖，在△/18C中，為8C邊上的垂直平分線，與N8力。的平分線交于點E,過點E作

LAB,交力8的延長線于點足作￡G_L4C,交4c于點G.

（1）求證：BF=CG；

（2）若43=6,/C=15,求CG的長.

20.（8分）某汽車銷售公司經銷某品牌4款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降.今年5月份力

款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數量的4款汽車，去年銷售額為90萬元，今年

銷售額只有80萬元.

（1）今年5月份4款汽車每輛售價多少萬元？

（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經銷同品牌的8款汽車，已知4款汽車每輛進價為7.5萬元，

B款汽車每輛進價為6萬元，公司預計用少于105萬元且多于99萬元的資金購進這兩款汽車共15輛，

有哪幾種進貨方案？

第5頁（共29頁）

21.（8分）閱讀下面的材料：把一個分式寫成兩個分式的和叫作把這個分式表示成“部分分式”.

例：將分式罟表示成部分分式‘解：設/=長+2'將等式右邊通分’得也需詈產

[M+N)%+(N-M)，依據題意，得｛，士"解得禽二:所以署=言+三?請你適用上面

x2-l

所學到的方法,解決下面的問題:

AD

“)n(n+l)=7+汨3'“為常數）'則人，8=

（2）一個容器裝有1Z,水，按照如下要求把水倒出：第1次倒；^第2次倒出的水量是:乙的;，第3

111111

次倒出的水量是尹的了第4次倒出的水量是」氣…第〃次倒出的水量是清的而…按照這種倒水的

方法，這「的水是否能倒完？如果能，多少次能倒完？如果不能，請說明理由;

（3）按照（2）的條件，現在開始重新實驗，按照如下要求把水倒出：第1次倒出《L，第2次倒出的水

量是上3第3次倒出的水量是4乙，第4次倒出的水量是請問經過多少次操作后，杯內剩余水量

153563

能否變成原來水量的翳？試說明理由.

第6頁（共29頁）

22.（9分）如圖△48C與△力CO為正三角形，點0為射線U上的動點，作射線OM與直線8c相交于點

E,將射線0M繞點。逆時針旋轉60°,得到射線。M射線ON與直線CQ相交于點反

（1）如圖①，點。與點力重合時，點￡,〃分別在線段8C,8上，求證：△AECWAAFD；

（2）如圖②，當點。在C/1的延長線上時，E,尸分別在線段8C的延長線和線段CO的延長線上，請

寫出CECF,CO三條線段之間的數量關系，并說明理由；

（3）點O在線段4C上，若48=8,80=7,當C/=1H寸，請直接寫出8E的長.

圖①圖②備用圖

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2023-2024學年廣東省深圳中學共同體八年級（下）期中數學試卷

參考答案與試題解析

題號12345678910

答案BCBCADBBAC

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）以下圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

?B.?

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念判斷.

【解答】解：A.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

B.該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

C.該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

D.該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：B.

【點評】本題主要考查中心對彌圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部

分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合.

2.（3分）下列各式從左到右的變形屬于因式分解的是（）

A.6的尸=2??3?3B.x2+2x+l=x（x+2+^）

C.x1-9=（x-3）（x+3）D.（x+3）（x-3）=x2-x-6

【分析】將一個多項式化為幾個整式的積的形式即為因式分解，據此逐項判斷即可.

【解答】解：6.，）,=入2?3寸中等號右邊是單項式，則力不符合題意；

第8頁（共29頁）

?+2x+l=x（x+24-i）中等號右邊不是整式的積的形式，則夕不符合題意；

?-9=（x-3）（x+3）符合因式分解的定義，則C符合題意：

（x+3）（x-3）=/-x-6左右兩邊不相等且不符合因式分解的定義，則。不符合題意;

故選：C.

【點評】本題考查因式分解的意義，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

3.（3分）若。>力，則下列不等式成立的是（）

a+3b+3c

A.a-5<b-5B.-2a<-2bC.--<——D.a2>b

22

【分析】利用不等式的性質，逐個判斷得結論.

【解答】解：。>從根據不等式的性質1,a-5>b-5,故/不成立;

0>b,根據不等式的性質3,-2a<-2b,故8成立；

a>b,根據不等式的性質1,。+3>什3,

根據不等式的性質2,等〉等，故C不成立;

Vl>-2,12<（-2）2,故。不成立.

故選：B.

【點評】本題考查了不等式的性質，掌握不等式的三個性質是解決本題的關鍵.

4.（3分）將分式三？中的x,y的值同時擴大2倍，則分式的值（）

A.擴大2倍B.縮小到原來的g

C.保持不變D.無法確定

【分析】運用分式的基本性質進行化簡、計算.

【解答】解「?濘=然=?，

2x+2y2（x+y）x+y

???將分式三？中的x,的侑同時擴大2倍，則分式的侑保持不變,

x+y

故選：C.

【點評】此題考查了分式基本性質的應用能力，關鍵是能準確理解并運用該知識進行變形、化簡.

5.（3分）不等式組2x+4>0的解集在數軸上表示正確的是（）

x-1<0

A

A.-2-10

第9頁（共29頁）

——?——?——~^>——?——?——

C.-2-101D.-2-101

【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式經的解集表示

在數軸上即可.

【解答】解：由2什4>0得-2,

由x-1W0得xW1,

解集在數軸上表示為：

-2-101,

則不等式組的解集為-2VxWl.

故選：A.

【點評】本題考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數軸上

表示出來（>,2向右畫；V,W向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示

解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集.有幾個就要幾個.在表示解集時

“2”，“W”要用實心圓點表示；“V”，要用空心圓點表示.

6.（3分）如圖，已知△48C,ABVBC,用尺規作圖的方法在3。上取一點P,使得21+PC=8C,則下列

【分析】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得以=心，根據線段垂直平分線定理的逆定理可得點P在AB

的垂直平分線上，于是可判斷。選項正確.

【解答】解：?：PB+PC=BC,

而PA+PC=BC,

:,PA=PB,

第10頁（共29頁）

???點P在力8的垂直平分線上，

即點尸為48的垂直平分線與BC的交點.

故選：D.

【點評】本題考杳了復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形

的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把

復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

7.（3分）如圖，在△/IB。中，/XC8=90°,/B=2/A,BD=2,CO是高，則月。的長為（）

A.4R.6C.2yf3D.4仃

【分析】由N4C8=90°,NB=2NA,得N8=60°,ZJ=30°,由CO是高，80=2,得CD=V^BD

=2A/3,AD=V3CD=6.

【解答】解：由N/C8=90°,NB=2/A,

得N8=60°,Z/l=30°,

由CD是高，BD=2,

得CD=CbDFC,AD=6CD=6.

故選：B.

【點評】本題主要考查了直角三角形，解題關鍵是正確找到直角三角形的邊的關系.

8.（3分）如圖所示，一次函數^=h+8（匕方是常數，k#0）與正比例函數y=〃a（/〃是常數，〃7片0）的

圖象相交于點“（1，2）,下列判斷錯誤的是（）

B.關于x的不等式〃?的解集是x>1

C.當xVO時，函數y=h+b的值比函數的值大

第11頁（共29頁）

D.關于X，y的方程組憶晨二；的解是仁;

【分析】根據條件結合圖象對各選項進行判斷即可.

【解答】解：???一次函數y=h+b（Ab是常數，kWO）與正比例函數（〃?是常數，/〃W0）的圖

象相交于點M（1,2）,

，關于x的方程的解是x=l,選項4判斷正確，不符合題意；

關于x的不等式〃狀26+力的解集是x21,選項4判斷錯誤，符合題意；

當xVO時，函數^=代助的值比函數y=〃狀的值大，選項C判斷正確，不符合題意；

關于x,y的方程組3二黑二二的解是選項O判斷正確，不符合題意：

【點評】本題考查了一次函數與二元一次方程（組），一次函數與一元一次不等式，一次函數的性質.方

程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數的值，而這一對未知數的值也同時滿足兩個相

應的一次函數式，因此方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點坐標.

9.（3分）如圖，在。中，ZJC5=9O°,ZA=3O°,"=|,將△ABC繞點C順時針旋轉得到

△4'夕C,其中點4'與點1是對應點，點8'與點8是對應點.若點夕恰好落在48邊上，則點4

到直線力'。的距離等于（）

A.IB.V3C.2D.

【分析】作力〃_UfC于〃，根據含30°角的直角三角形的性質得N4=60°,力。=摯，再根據旋轉的

性質可得乙4C〃=NBC￡=60°,從而得出答案.

【解答】解：作/〃，4‘C于",

第12頁（共29頁）

2

VZ/fC5=90°,N力=30°,BC=

??.N4=60°,力。=竽，

??,將△48c繞點C順時針旋轉得到△49C,

：,CB=CB',NACB，=NACB=90°,

，乙B一乙CB'B-60°,

AZBC5'=60°,

:?NACH=NBCB'=60。,

?；N力HC=90°,

；?NC4H=30°,

/.AH=ACXcos30°=攣乂卓=1,

JL

???點<到直線4c的距離等于1,

【點評】本題主要考查了旋轉的性質，含30°角的直角三角形的性質等知識，熟練掌握旋轉的性質是解

題的關鍵.

10.（3分）如圖，將兩個全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子，其中48=/C=4G=FG,ZBAC=

N4G/=90°,AF、4G分別與8c交于。、E兩點,將△/（7￡繞著點4順時針旋轉90°得到

則下列結論：①BH工BC；②/。平分N，。邑③若80=3,當。E=2CF時，則4或

④若平分NH/O,貝IJS~!M=苧S^DE，其中正確的個數有（）

A

F

第13頁（共29頁）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得△48〃和全等，根據全等

三角形對應角相等可得/比然后求出N4歹=45°,判斷出①正確；通過證明

ADE,根據全等三角形的性質可得。//=。七，NADH=NADE,判斷出②正確：利用勾股定理得到③錯

誤；根據角的度數得到然后利用“角角邊”證明△力月力和△4CE全等，杈據三角形面

積公式即可求得，判斷出④正確.

【解答】解：'：AB=AC=AG=FG,

ZBAC=ZAGF,=90°,

AZABC=ZC=ZFAG=45°,

BC=y/2AB,

由旋轉性質可知△44"且△4CE,

AZABH=ZACE=45°,BH=CE,

4H=AE,NBAH=/CAE,

ZHBD=ZABH+ZABC=450+45°=90°,

:?BH【BC,故①正確；

VZBAH=ZCAE,

AZBAH+ZBAD=ZCAE+ZBAD=ABAC-ZFAG=45<>，

即N￡UH=45°,

:?NDAH=ND4E,

在△力力〃和中，

AD=AD

^DAH=/.DAE,

AH=AE

：./XADH^AADE(SAS),

：.DH=DE,N4DH=NADE,

??"。平分故②正確；

在RSDH中，BD2+BH2=DH2,

?：BH=CE,DH=DE,

：.BD1+CE2=DE2,

當80=3,Z)E=2CE時,

第14頁(共29頁)

根據勾股定理得：32+C/=4CE2,

解得：CE=6,

：.DE=2^3,

，BC=BD+DE+CE=3+36,

，：BC=&AB,

??.46=嗎還，故③錯誤；

???/〃平分/，/。，

；?NHAB=NDAB,

VZABD=ZABH=45°,AB=AB,

:?△ABH妾4ADB(ASA),

:?BH=BD,

是等腰直角三角形，

:?DH=&BD,

*：DE=y/2BD,

設力到AC邊距離為爪

S,MBD=；xBDXh，SMDE=gxDExh,

.S^ABD_￡￡_它

S^ADEDE2'

*'?S"BD=竽S△加用，故④正確；

綜上①②④正確.

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，以及勾股定理,

熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵.

二、填空題(共5小題，每小題3分，共15分)

11.(3分)把多項式x3-4x分解因式的結果為x(x+2)(x-2).

【分析】先提取公因式x,然后再利用平方差公式進行二次分解.

【解答】解：x3-4x,

=x(x2-4),

=x(x+2)(x-2).

第15頁(共29頁)

【點評】本題主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，關鍵在于要進行二次分解因式.

12.（3分）若在解分式方程二=咚去分母時產生增根，則k=-3.

x+2x+2

【分析1分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程L算即可求出

k的值.

【解答】解.：分式方程去分母得：x-1=鼠

由分式方程有增根，得到x+2=0,即x=-2,

把x=-2代入整式方程得：k--2-I=-3.

故答案為：-3.

【點評】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把

增根代入整式方程即可求得相關字母的值.

13.（3分）“綠水青山就是金山銀山”某鄉村為美化環境，計戈?種植樹木1000棵.由于志愿者的加入，實

際每天植樹的棵數比原計劃增加了25%,結果提前2天完成任務.則實際每天植樹125棵.

【分析】設原計劃每天植樹x棵，則實際每天植樹3+25%）/棵，根據工作時間=工作總量+工作效率,

結合實際比原計劃提前2天完成任務,列出分式方程，解之經檢驗后即可得出x的值，再將其代入（1+25%）

x中即可求出結論.

【解答】解：設原計劃每天植樹，棵，則實際每天植樹（1+25%）x棵,

……小10001000

依題意得：下一正或反=2,

解得x=100,

經檢驗，x=100是原方程的解.，且符合題意,

:.（1+25%）x=125,

即實際每天植樹125棵，

故答案為：125.

【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵.

14.（3分）《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名

著，某興趣小組閱讀四大名著的人數，同時滿足以下三個條件：

①閱讀過《水滸傳》的人數等于閱讀過《西游記》的人數的整數倍；

②閱讀過《水滸傳》的人數是閱讀過《三國演義》的人數的1.5倍；

③閱讀過《三國演義》的人數多于閱讀過《西游記》的人數的L5倍.

第16頁（共29頁）

若閱讀過《西游記》的人數為4,則閱讀過《水滸傳》的人數的最小值為12

【分析】設閱讀過《三國演義》的人數為x,則閱讀過《水滸傳》的人數為L5x,根據“閱讀過《水滸

傳》的人數等于閱讀過《西游記》的人數的整數倍，且閱讀過《三國演義》的人數多于閱讀過《西游記》

的人數的1.5倍”，可列出關于x的一元一次方程及一元一次不等式，解之可得出4〃>9,結合〃為正整

數，可得出〃的最小值，再將其代入1.5x=4〃中，即可求出結論.

【解答】解：設閱讀過《三國演義》的人數為x,則閱讀過《水滸傳》的人數為1.5x,

根據題意得：］言

.*.4/7>l,5X4X1.5=9,

又???〃為正整數，

???〃的最小值為3,

的最小值為12,

即閱讀過《水滸傳》的人數的最小值為12.

故答案為：12.

【點評】本題考查了一元一次方程的應用以及一元一次不等式的應該，根據各數量之間的關系，正確列

出一元一次不等式（或一元一次方程）是解題的關鍵.

15.（3分）如圖，在△力8C中，ZBAC=45°,N4C8=60°,BC=5,將△/8C沿著射線8。方向平移得

到△。匹凡/與。為對應點，連結CD.在整個平移過程中，若/CZ>E=45°,則平移的距離為5+5V3.

【分析】根據△力8C的平移過程，分為了點E在8C上和點E在8c外兩種情況，根據平移的性質得到

根據平行線的性質得到和ZCDE和264。之間的等量關系，列出方程求解即可.

【解答】解：過8作于〃，

AZAHB=ZCHB=90<>,

%C8=60°,

：.C//=^BC=^,

VZA=450,

第17頁（共29頁）

：.AH=BH=等c等

：.AC=AH+CH=S+y,

第一種情況：當點E在AC上時，?:NCDE=NCAE=45°,4與。為對應點,

，點￡與8重合，（不合題意舍去）

第二種情況：當點￡在6c的延長線，時，

???/XDEF由4ABC平移得到，

/.Z￡Z）F=ZJ=45O,NDFC=N4CB=60。,DF=AC=EF=BC=5,

?；NCDE=45°,

:?NCDF=900,

：.CF=2DF=5+5y/3,

???平移的距離為5+56,

故答案為：5+5VS.

【點評】本題主要考查了平移的性質，直角三角形的性質，熟練掌握平移前后對應線段相等是解題的關

健.

三、解答題（本大題共7小題，共55分，16題8分，17題8分，18題7分，19題7分，20題8分，21

題8分，22題9分）

16.（8分）（1）因式分解：3入’-6町葉3）2；

（%+3>2

（2）解不等式組：|2x-l=[

【分析】（1）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；

（2）解各不等式后即可求得不等式組的解集.

【解答】解：（1）原式=3

=3（x-y）2；

（2）解第一個不等式得：x>-1,

第18頁（共29頁）

解第二個不等式得：xV2,

故原不等式組的解集為-1VxV2.

【點評】本題考查因式分解及解一元一次不等式組，熟練掌握因式分解及解不等式組的方法是解題的關

腱.

17.（8分）（I）先化簡：（1_焉）+.丁-4,再從-中選取合適的整數代入求值.

7幾一1m^—m

x+11

（2）解分式方程：---+--=1.

xx-2

【分析】（1）先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把小的值代入化簡后的式子

進行計算，即可解答；

（2）按照解分式方程的步驟進行計算，即可解答.

【解答】解：（1）（1_4）4

m—”丁m￡-m+

=m-1-l,^Qn-l）

2

m-1,（m-2）

_rn-2#m（7n-l）

―m-10_2）2

m

-771—2，

〃z-1W0,W0,〃2-2W0,

???#1,〃？#0,/〃#2,

，當/〃=?1時，原式=1=1：

—1一乙3

x+l1

（2）-------1---=1,

xx-2

（x+1）（x-2）+x=x（x-2）,

解得:x=1?

檢驗：當K=1時，x（X-2）于0,

*,?x=1是原方程的根.

【點評】本題考查了分式的化簡求值，解分式方程，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

18.（7分）在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，建立如圖所示的平面直角坐標系△力8C是格

點三角形（頂點在網格線的交點上）.

（1）作出△48。關于原點。成中心對稱的△48C1，并寫出△小81cl三個頂點坐標出（3,0）,

51（5,?3）,Ci（L-1）：

第19頁（共29頁）

（2）把△小勺Cl向上平移4個單位長度得到△/2&C2，畫出△力282c2；

（3）△/282C2與△48。成中心對稱，請直接寫出對稱中心的坐標（0,2）.

【分析】（1）根據中心對稱的性質作出點力、B、C的對應點由，Bi,Ci，然后順次連接即可:

（2）根據平移特點先作出點4,Bi，Ci平移后的對應點42,仍，C2,然后順次連接即可；

（3）連接兩組對稱點的交點即為對稱中心，然后根據中點坐標公式求出此點的坐標即可.

【解答】解：（1）如圖1,△4小。為所求作的三角形:

圖1

根據圖可知，A\(3,0),B\(5,-3),Ci(1,-1).

故答案為：3,0；5,-3；1>-1；

（2）如圖2,△/I282C2為所求作的三角形:

第20頁（共29頁）

圖2

（3）連接附2、CC2，則8版CC2的交點即為對稱中心，如圖3,

y

圖3

VB(-5,3),Bi(5,1),

???對稱中心的坐標為（二^地，亨）,

乙乙

即對稱中心的坐標為（0,2）.

故答案為：（0,2）.

【點評】此題考查中心對稱圖形的畫法，平移圖形的畫法，中心對稱的性質及平移的性質，對稱中心的

確定方法，正確掌握中心對稱的性質及平移的性質是解題的關鍵.

19.（7分）如圖，在△力8C中，DE為8c邊上的垂直平分線，與N比1C的平分線交于點E,過點E作瓦'

LAB,交45的延長線于點尸，作EG_L/C,交力C于點G.

（1）求證：BF=CG；

(2)若力8=6,AC-15,求CG的長.

第21頁（共29頁）

A

【分析】(1)連接BE、CE,由力上平分NA4C,EFA.AB,EG上<C得EF=EG,由。上垂直平分8c得

BE=CE,即可證明RlZ\8E/絲RtZXCEG,得BF=CG；

(2)先根據直角三角形全等的判定定理“〃乙”證明Rt△/M也跳△/EG,得彳/=/16,即可由力8+%

=AC-CG,且力8=6,力。=15求出CG的長.

【解答】(1)證明：如圖，連接8E、CE,

??"七平分N4/1C,EFLAB,EGLAC,

:.EF=EG,NF=NEGC=N.4GE=90°,

???QE垂直平分8C,

:,BE=CE,

在和Rt^CEG中

\BE=CE

VEF=EG'

；?R3EF^RtACEG(HL),

：.BF=CG.

(2)解：在RtZ^"和RtZ\4￡G中，

\AE=AE

UF=EG'

：.Rt/\AEF^Rt^AEG(HL),

:?AF=<G,

：.AB+BF=AC-CG,

\3B=6,AC=\5,BF=CG,

???6+CG=15-CG,

9

:?CG=協

9

:?CG的長為3.

第22頁（共29頁）

A

G

【點評】此題重點考查角平分線的性質、線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質等知識，正

確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

20.（8分）某汽車銷售公司經銷某品牌.4款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降.今年5月份力

款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數量的4款汽車，去年銷售額為90萬元，今年

銷售額只有80萬元.

（1）今年5月份/款汽車每輛售價多少萬元？

（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經銷同品牌的8款汽車，已知力款汽車每輛進價為7.5萬元，

B款汽車每輛進價為6萬元，公司預計用少于105萬元且多于99萬元的資金購進這兩款汽車共15輛，

有哪幾種進貨方案？

【分析】（1）設今年5月份4款汽車每輛售價x萬元，根據題意可得，去年銷售額90萬元與今年銷售額

K0萬元所賣的車輛數量相等，據此列方程求解；

（2）關系式為：99V4款汽車總價+4款汽車總價V105.

【解答】解：（1）設今年5月份月款汽車每輛售價x萬元.根據題意得：

90_80

x+11%'

解得：x=8,

經檢驗知，x=8是原方程的解.

所以今年5月份彳款汽車每輛售價8萬元；

<2）設4款汽車購進y輛.則6款汽車每輛購進（15-y）輛.根據題意得:

17.5y+6（15-y）<105

（7.5y+6（15-y）>99'

解得：6VyV10,

所以有3種方案：

方案一：N款汽車購進7輛；8款汽車購進8輛；

方案二：4款汽車購進8輛；6款汽車購進7輛：

第23頁（共29頁）

方案三：力款汽車購進9輛；8款汽車購進6輛.

【點評】本題考查分式方程和一元一次不等式組的綜合應用，找到合適的等量關系及不等關系是解決問

題的關鍵.

21.(8分)閱讀下面的材料：把一個分式寫成兩個分式的和叫作把這個分式表示成“部分分式”.

例：將分式學表示成部分分式，解：設嘗=3+將等式右邊通分，得=

rz-lxz-lr+1x-1(r+l)(r-l)

叫x+L-\尸,依據題意I，N得-Me=+1廣：I解N得=-｛廠17x所L-\以學x+二1三x-T1+三.請你適用上面

所學到的方法，解決下面的問題：

1AB

(1)―—-=-+—-(A,8為常數)，則/=1,8=7；

n(n+l)nn+1

(2)一個容器裝有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出第2次倒出的水量是:L的:第3

ZLo

次倒出的水量是②的［笫4次倒出的水量是/的［??第〃次倒出的水量是乙的」；…按照這種倒水的

3445nn+l

方法，這1L的水是否能倒完？如果能，多少次能倒完？如果不能，請說明理由；

(3)按照(2)的條件，現在開始重新實驗，按照如下要求把水倒出：第1次倒出?乙，第2次倒出的水

量是二L第3次倒出的水量是士L,第4次倒出的水量是占L,請問經過多少次操作后，杯內剩余水量

153563

能否變成原來水量的瞿？試說明理由.

199

【分析】(1)根據題干提示進行通分，從而可得4+8=0,A=\,從而可得答案；

(2)根據題意先列式表示倒出的水，再求和，根據結果即可判斷；

(3)先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可.

1AB

【解答】解：(I)V———=-4--

n(n+l)nn+1

.］_45+1)Bn

**n(n+l)n(n+l)

.1Zl(n+1)+/?n

*'n(n+l)-n(n+l)'

.1_Q4+B)TI+力

**n(n+l)-n(n+l)'

：.A+B=0,A=\,

解得：A=\>B=-1；

故答案為：A=\,B=-1；

第24頁(共29頁)

1111111

2)：+-X+X-++X

---一

?22334-?

1n+

111111-

3n

-+--+------

2234+?1?nn+1

1n

1----H

n+11

n+

,這\L水永遠倒不元；

1111

J1x33x55x7(2n-l)(2n+l)

11rliJ11、

=1-2(1-3+3-5+5-7+，，，+2^-2^+1)

n+1

=