安徽省部分校聯考2025-2026學年高二數學下學期3月開學考試含解析

安徽部分校聯考2025-2026學年高二數學下學期3月開學考試試卷

一、單選題

1491625

1．已知數列,,,,,，則該數列的通項公式可以為（）

23456

n12n2n2n12

A．(1)nB．(1)nC．(1)nD．(1)n

n2n2n1n1

2．在空間直角坐標系中，點P4,2,1到y軸的距離為（）

A．2B．15C．17D．3

3．已知直線x4y20，4xy20，x2的傾斜角分別為，，，則（）

A．B．C．D．

4．已知點P0,2是圓C:(x2)2(y1)2m上一點，則過點P且與圓C相切的直線l的方程為（）

A．2xy20B．2xy20C．x2y20D．x2y20

5．某質點沿直線運動，位移y（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關系為ytt22t，若質點在1t5

這段時間內的平均速度等于tt0時的瞬時速度，則t0（）

A．2B．3C．4D．5

y2x2

6．已知A是雙曲線C:1(a0,b0)的下頂點，直線yt與C交于M，N兩點，若存在t0，使

a2b2

得AMN為等邊三角形，則C的離心率的取值范圍為（）

2323

A．1,B．,C．1,2D．2,

33

7．設等差數列an的前n項和為Sn，若a7a80，a5a6a100，則滿足Sn0的n的最小值為（）

A．8B．13C．14D．15

8．橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.設

橢圓C的兩個焦點分別為F12,0，F22,0，如圖，光線由點F1發出射到橢圓C上的點P處，經反射后到

點F2，再經過x軸反射到橢圓C上的點H，最后反射回點F1，若光線經過的總路程為12，且PF22HF2，

則直線PF2的斜率為（）

4

A．3B．-2C．2D．

3

二、多選題

9．下列求導運算正確的是（）

A．若fx2x，則fx2x

B．若fxxcosx，則fxcosxxsinx

lnx1lnx

C．若fx，則fx

xx2

1

D．若fx2x1，則fx

2x1

10．如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，ABAA12，BAD60，G是棱A1D1的中

點，則（）

1

A．BGDCDADD

21

B．BGAC3

5

C．BG在平面CDD1C1內的投影向量的長度為

2

1

D．BG在AD上的投影向量為AD1

12

11．已知實數a,b滿足a2b24a4b70，則（）

ab3

A．的最小值為

434

B．aabb的最小值為322

2ab

C．的最小值為217

ab14

22

D．當m0,時，a2mbmm1的最小值為131

三、填空題

7

12．在等比數列a中，aaa，aaa7，則a________.

n12322341

13．若函數fxaexx的圖象與直線y3x2相切，則a________.

x2y2

14．在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C:1的左、右頂點分別為A，B，直線l是C的一條漸近線，

412

2π

將坐標平面以直線l為軸翻折，使得二面角AlB為，則翻折后線段AB的長度為________.

3

四、解答題

15．已知點A1,0和B3,2，圓C以AB為直徑.

(1)求圓C的方程；

(2)已知圓M:x2y22x50，求圓C與圓M的公共弦長.

16．記數列an的前n項和為Sn，已知2Snan2n2.

(1)證明：an1是等比數列；

(2)設bnnan1，求數列bn的前n項和Tn.

17．如圖，在三棱錐PABC中，PCACAB，PABC，ACAB，D，E分別為BC，PA的中點.

(1)證明：DEAC；

(2)若PCAB，AC2，求平面AED與平面CDE夾角的余弦值.

x2y22

18．已知橢圓C:1(ab0)的離心率為，A，B分別是C的上、下頂點，且AB4.

a2b22

(1)求C的方程．

(2)已知M，N是C上異于A，B的兩個不同的點．

（ⅰ）若M，N關于y軸對稱，證明：直線AM與BN的斜率之積為定值；

（ⅱ）若直線MN經過點0,1，證明：直線AN與BM的交點在定直線上.

19．已知an是一個項數有限的數列，從an中任意選出若干項，按原順序組成數列An，剩余的項按原

順序組成數列Bn，An和Bn都至少有1項，An所有項的和記為SA，Bn所有項的和記為SB.

(1)若an共有3項，a11，a22，a33，求SASB的取值集合；

(2)若an是首項為2，公比為2的等比數列，共有2026項，求SASB的最小值；

SS

(3)已知a是首項為1，公差為1的等差數列，共有m項，A有p項，求AB的最大值.（結果

nnpmp

用m表示）

參考答案

1．D

【詳解】根據分母2,3,4,5,6，可知分母為n1，

觀察數列各項，符號為正負交替，可表示為(1)n1，

分子為1,4,9,16,25,，是項數的平方，即n2，

n12

則數列的通項公式可以為(1)n.

n1

2．C

2

【詳解】點P4,2,1到y軸的距離為42117.

3．D

111

【詳解】由x4y20得yx，所以ktan，

4214

又4xy20得y4x2，所以k2tan4，

π

所以tantan，所以0，

2

π

又x2，所以，

2

所以.

4．A

【詳解】因為點P0,2在圓C:(x2)2(y1)2m上，

所以(02)2(21)2m，解得m5，即圓C的方程為(x2)2(y1)25，

211

則圓心(2,1)，所以直線CP的斜率k，

10(2)2

則過點P與圓C相切的直線l的斜率為2，

所以直線l的方程為y22(x0)，即2xy20.

5．B

【詳解】由題意得：y13,y5522535，

y5y135332

所以質點在1t5這段時間內的平均速度為：8，

51514

又yt2t2，所以yt02t028，解得t03.

6．B

【詳解】存在t0，AMN為等邊三角形，

則OAMOAN30，

即過點A0,a，且斜率為3的直線與雙曲線上支有交點，

可設lAN:y3xa，

y3xa

2222

y2x2，3bax23abx0，

1

a2b2

23ab2

解得x0或x，

3b2a2

23ab26ab2

當x時，y3xaaa，

3b2a23b2a2

3b2b21

即1，故3b2a20，解得，

3b2a2a23

cb2123

e11,

aa233

23

則C的離心率的取值范圍為,．

3

7．C

【詳解】由題意得a5a10a7a8，a6a82a7，所以a5a6a10a6a7a83a70，

所以a70，又a7a80，所以a80，故數列是遞增的等差數列，

14a1a14

所以S1313a70，S，因為a7a8a1a14，

142

14a1a1414a7a8

所以S7aa0，S1515a80，

142278

又a1a2a70a8a9，所以滿足Sn0的n的最小值為14.

8．A

【詳解】由題可知PF1PF2HF1HF22a2a4a12，

所以a3，

設HF2m，則PF22m，PF12a2m62m,HF12am6m,

根據反射規律可知：PF2F1HF2x，所以PF2F1HF2F1，

所以cosPF2F1cosHF2F1，

(2m)242(62m)2m242(6m)2

所以，

22m42m4

5

整理并化簡得m，

4

(2m)242(62m)21

所以cosPF2F1，

22m42

π2

因為PF2F1(0,)，所以DPFF=，所以PF2x，

2133

2

所以tanPF2xtan3，所以直線PF的斜率為

323

9．BD

【詳解】對于A：若fx2x，則fx2xln2，故A錯誤；

對于B：若fxxcosx，則fxcosxxsinx，故B正確；

1

lnxxlnx

對于C：若fx，則x1lnx，故C錯誤；

xfx

x2x2

1

11

對于D：若fx2x1，則fx(2x1)2(2x1)，故D正確.

22x1

10．BCD

【詳解】以DA,DC,DD1為空間向量的一組基底，根據題意，DADC22cos1202，

DADD1DCDD10.

1

1

對A：BGDGDBDD1DADADCDCDADD1，故A錯誤；

22

對B：因為ACDCDA，

1

所以BGACDCDADD1DCDA

2

2112

DCDADCDADDDCDDDA

2211

11

424004123，故B正確；

22

1

對C：取AB的中點F，連接DF，則DFDADC.

2

1121

因為DFDCDADCDCDADCDC240，

222

11

DFDD1DADCDD1DADD1DCDD1000，

22

所以DFDC，DFDD1，

又DC,DD1平面CDD1C1，DCDD1D，所以DF平面CDD1C1.

所以DF是平面CDD1C1的法向量，且DF3.

又

2

21222

1，

BGDADCDD1DADCDD1DADCDADD12DCDD11442007

24

所以BG7.

因為

11125121513

BGDFDADCDD1DADCDADADCDC424.

222422422

3

BGDF3

所以BG在DF上的投影為：2，

DF32

2

2

BGDF35

BG在平面CDD1C1內的投影向量的長度為BG7.故C正確；

42

DF

對D：因為AD1DD1DA，且AD122，

122

11

BGAD1DADCDD1DD1DADADCDADD14244，

222

BGAD41

1

所以在上的投影向量為2AD1AD1AD1，故D正確.

BGAD182

AD1

11．ACD

22

【詳解】對a2b24a4b70配方得，a2b21，

即點a,b在以C2,2為圓心，1為半徑的圓上.

ab

選項A：設z，即3a4b12z0，

43

可得z的最值對應直線與圓有交點時的截距最值，即圓心C到直線的距離d1.

324212z1412z1412z

又d，所以1，即1412z5，

324255

3193

解得z，故最小值為，選項A正確.

4124

選項B：根據圓的位置（第一象限）可知，a0，b0，故aabba2b2，

表示圓上的點到原點的距離的平方，最值對應的點位于過原點與圓心C的直線與圓的交點上.

2

222

故最小值為20201221942，選項B錯誤.

a2abak1

選項C：令k（b0），則112，

bababk1k1

2ab1a

因此求的最小值等價于求的最大值，即求k的最小值.

abk1b

a

又k表示圓上的點與原點連線的斜率，可設過原點的直線為akb，即akb0.

b

22k

122

又該直線與圓有交點，所以圓心C到直線的距離d1，即2，即22k1k，

12k

4747

整理得3k28k30，解得k.

33

1177

47177217

當k時，k14714，22，

31k11414

3

2ab

即的最小值為217，C選項正確.

ab14

2

選項D：2表示圓上的點到點的距離，記為.

a2mbmE2m,md1

2

2x

令tm（t0），點E2t,t，即拋物線y（x0）右半支上的點，

4

2

x2

故原式可表示為圓上的點到拋物線y上點E2t,t的距離.

4

而m1表示E2m,m到點0,1的距離.

22

所以a2mbmm1的最小值即為圓上的點到點0,1的距離的最小值.

22

又圓心到點0,1的距離d202113，

所以圓上的點到點0,1的距離的最小值為131，選項D正確.

故選：ACD.

1

12．/0.5

2

【詳解】設等比數列an的公比為q，

aaa7

q2342

所以aaaaqaqaqqaaa，所以，

234123123a1a2a37

2

2227

所以a1a2a3a1a1qa1qa11qqa11227a1，

2

1

所以a.

12

13．2

【詳解】根據導數的意義列方程組求解即可.

因為fxaexx，所以fxaex1.

x0

ae13x00

x0

設切點為x0,y0，由題意知，aex0y0，解得y02.

y03x02a2

所以a2.

14．13

【詳解】如圖：

因為A2,0，直線l：y3x，即3xy0，

230

過作AEl，垂足為，則AE3，

AE22

31

22

所以OEOAAE431.

過B作BFl，垂足為F，根據雙曲線的對稱性，可知BF=3，OF1，

所以EF2.

2π

將坐標平面以直線l為軸翻折，使得二面角AlB為，如圖：

3

22222π1

則ABAEBFEF2AEBFcos33423313，

32

所以AB13.

15．(1)x2y24x2y30；

(2)6.

【詳解】（1）因為圓C以AB為直徑，則圓C的方程為x1x3yy20，

即x2y24x2y30.

（2）將兩圓方程作差得xy40，

2

M:x1y26，其圓心M1,0，

1043

則圓心到直線xy40的距離為，

22

9

則兩圓的公共弦長為266.

2

16．(1)證明見解析

n

(2)3311

Tnn

4423

4

【詳解】（1）由題意得：當n1時，2Sa21243a4a，

11113

當n2時，由2Snan2n2有：2Sn1an12n12，

12

所以2SnSn1anan12，即3anan12，所以aa，

n3n13

12111

所以a1a1aa1，

n3n133n133n1

11

所以數列a1是以為公比，首項為a1的等比數列；

n313

n1n

（2）由（1）有111，

an1

333

n

所以1，

bnn

3

23n

所以1111①，

Tn123n

3333

234n1

11111②，

Tn123n

33333

由①②有：

n

11

2nn11n1n

211113311111，

Tnnn

n1

33333132233

3

n

所以3311.

Tnn

4423

17．(1)見解析

1

(2)

3

【詳解】（1）證明：設PB中點為F，連接DF,EF，

PCACAB，PABC，

PAC≌CBA，PCACAB，

ACAB，PCAC，

D,E,F分別為BC,PA,PB中點，

EF//AB,DE//PC，

ACEF,ACDF，

又EFDFF,EF,DF平面DEF，

AC平面DEF，又DE平面DEF，

DEAC；

（2）由（1）知PCAC，

又PCAB，ABACA,AB,AC平面ABC，

PC平面ABC，

故以C為原點建立如圖空間直接坐標系，過C作AB的平行線為y軸，

則A2,0,0,D1,1,0,E1,0,1，AD1,1,0,AE1,0,1，

設平面AED的一個法向量mx1,y1,z1，

mADxy0

11，不妨取，則，

x11m1,1,1

mAEx1z10

設平面CDE的一個法向量nx2,y2,z2，

nCDxy0

22，不妨取，則，

x21n1,1,1

nCEx2z20

設平面AED與平面CDE夾角為，

1111

coscosm,n，

333

1

即平面AED與平面CDE夾角的余弦值為．

3

x2y2

18．(1)1

84

(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析

【詳解】（1）AB4，2b4，解得b2，

2

cb42

離心率e11，解得a22，

aaa22

x2y2

C:1；

84

22

，x0y0

（2）（ⅰ）證明：設Mx0,y0x00，則Nx0,y0，1，

84

8x2

即y20，又A0,2,B0,2，

02

2

8x0

24

y2y2y41，

0002

kAMkBN22

x0x0x0x02

故直線AM與BN的斜率之積為定值；

（ⅱ）證明：由題可知直線MN斜率存在，

設直線方程為ykx1，Mx1,y1,Nx2,y2，

ykx1

22

x2y2，12kx4kx60，

1

84

4k6

Δ64k2240，xx，xx，

122k21122k21

y2kx3

直線AN的方程為y2x22x2①，

x2x2

y12kx11

則直線BM的方程為y