2026《金版教程》高考復習方案數學提升版-第3講 導數與函數的極值、最值

第四章導數及其應用第3講

導數與函數的極值、最值1.借助函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件.2.能利用導數求某些函數的極大值、極小值以及給定閉區間上不超過三次的多項式函數的最大值、最小值，體會導數與單調性、極值、最大(小)值的關系．基礎知識整合核心考向突破課時作業目錄基礎知識整合條件f′(x0)＝0x0附近的左側f′(x)__0，右側f′(x)__0x0附近的左側f′(x)__0，右側f′(x)___0圖象極值f(x0)為極____值f(x0)為極____值極值點x0為極___值點x0為極___值點1．導數與函數的極值><<>大小大小2.導數與函數的最值(1)函數f(x)在[a，b]上有最值的條件如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條__________的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟①求函數y＝f(x)在(a，b)上的_____；②將函數y＝f(x)的各極值與_______________________比較，其中_____的一個是最大值，_____的一個是最小值．連續不斷極值端點處的函數值f(a)，f(b)最大最小1．對于可導函數f(x)，f′(x0)＝0是函數f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．2．若函數f(x)在開區間(a，b)內只有一個極值點，則該極值點一定是函數的最值點．3．極值有可能是最值，但最值只要不在區間端點處取得，就必定是極值．1．下列四個函數中，在x＝0處取得極值的是(

)①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.A．①②B．②③C．③④ D．①③2．函數f(x)＝lnx－x在區間(0，e]上的最大值為(

)A．1－e B．－1C．－e D．0解析：f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，當x∈[0，2)時，f′(x)<0，當x∈(2，3]時，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上是減函數，在(2，3]上是增函數．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.45．(人教B選擇性必修第三冊6.2.2練習AT3改編)若函數f(x)＝ex＋ax在x＝2處取得極值，則a＝________．解析：∵f(x)＝ex＋ax在x＝2處取得極值，∴f′(2)＝e2＋a＝0，解得a＝－e2，經檢驗，符合題意．－e2核心考向突破角度1知圖判斷函數極值情況

設函數f(x)在R上可導，其導函數為f′(x)，且函數y＝(x－1)3f′(x)的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是(

)A．函數f(x)有極大值f(－3)和f(3) B．函數f(x)有極小值f(－3)和f(3) C．函數f(x)有極小值f(3)和極大值f(－3) D．函數f(x)有極小值f(－3)和極大值f(3)考向一

導數與函數的極值解析：當x＜－3時，(x－1)3f′(x)＞0且x－1＜0，可得f′(x)＜0，則f(x)單調遞減；當x＝－3時，(x－1)3f′(x)＝0，可得f′(x)＝0；當－3＜x＜1時，(x－1)3f′(x)＜0且x－1＜0，可得f′(x)＞0，則f(x)單調遞增；當x＝1時，(x－1)3f′(x)＝0，但是f′(x)是否等于0，不能確定；當1＜x＜3時，(x－1)3f′(x)＞0且x－1＞0，可得f′(x)＞0，則f(x)單調遞增；當x＝3時，(x－1)3f′(x)＝0，可得f′(x)＝0；當x＞3時，(x－1)3f′(x)＜0且x－1＞0，可得f′(x)＜0，則f(x)單調遞減．故f(x)有極小值f(－3)和極大值f(3)．故選D.

由圖象判斷函數y＝f(x)的極值要抓住的兩點(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點，可得函數y＝f(x)的可能極值點．(2)由導函數y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負，從而可得函數y＝f(x)的單調性．兩者結合可得極值點．(多選)(2025·江蘇徐州模擬)已知f′(x)是函數f(x)的導函數，f′(x)的圖象如圖，則下列說法正確的是(

)A．函數f(x)在(－∞，1)上單調遞減B．函數f(x)在x＝1處取得極小值C．f′(－1)＝0D．函數f(x)在x＝2處取得極小值解析：由已知，當x<1時，f′(x)≤0(只有f′(－1)＝0)，因此f(x)在(－∞，1)上單調遞減，A，C正確；f′(1)≠0，且x＝1兩側的導數都是負數，所以f(1)不是極值，B錯誤；因為f′(2)＝0，當x<2時，f′(x)≤0，f(x)單調遞減，當x>2時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，所以f(2)是極小值，D正確．故選ACD.角度2求函數的極值或極值點(2)(多選)(2025·江蘇淮安模擬)已知函數f(x)＝xcosx－sinx－x的定義域為[－2π，2π]，則函數f(x)(

)A．為奇函數B．在[0，π)上單調遞減C．恰有2個極值點D．有且僅有2個極大值點

利用導數求函數f(x)極值的一般步驟(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求導數f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函數定義域內的所有根；(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側導數值的符號；(5)求出極值．1.已知函數f(x)＝sin2x－x，x∈(0，π)，則f(x)的極大值點為________．

已知函數極值或極值點求參數的兩個要領(1)列式：根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解．(2)驗證：因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數法求解后必須驗證根的合理性．考向二導數與函數的最值

求函數f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函數f(x)在區間[a，b]上單調遞增或單調遞減，則f(a)與f(b)一個為最大值，一個為最小值．(2)若函數f(x)在區間[a，b]上有極值，則先求出函數在[a，b]上的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函數f(x)在區間(a，b)上有唯一一個極值點，這個極值點就是最值點，此結論在導數的實際應用中經常用到．2．(2025·重慶模擬)函數f(x)＝|x3－1|＋x2的值域為__________．[1，＋∞)

某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率)．(1)將V表示成r的函數V(r)，并求該函數的定義域；(2)討論函數V(r)的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．考向三

生活中的優化問題

利用導數解決生活中優化問題的方法求實際問題中的最大值或最小值時，一般是先設自變量、因變量，建立函數關系式，并確定其定義域，利用求函數的最值的方法求解，注意結果應與實際情況相結合．用導數求解實際問題中的最大(小)值時，如果函數在開區間內只有一個極值點，則該極值點就是最值點．

某種型號輪船每小時的運輸成本Q(單位：元)由可變部分成本和固定部分成本組成．其中，可變部分成本與航行速度的立方成正比，且當速度為10km/h時，其可變部分成本為每小時8元；固定部分成本為每小時128元．設該輪船的航行速度為xkm/h.(1)試將該輪船每小時的運輸成本Q表示為x的函數；(2)當該輪船的航行速度為多少時，其每千米的運輸成本y(單位：元)最低？課時作業一、單項選擇題1．(2025·內蒙古赤峰模擬)已知函數f(x)＝ex－ex，則f(x)(

)A．有最小值1，無最大值B．有最大值1，無最小值C．有最小值0，無最大值D．有最大值0，無最小值解析：因為f(x)＝ex－ex，所以f′(x)＝ex－e.當x∈(－∞，1)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，故f(x)的最小值為f(1)＝0，無最大值．故選C.2．(2025·安徽A10聯盟摸底)若1為函數f(x)＝(x－1)2(x－a)的極大值點，則實數a的取值范圍是(

)A．(－∞，0) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)二、多項選擇題9.(2025·福建三明模擬)已知函數y＝f(x)，其導函數y＝f′(x)的部分圖象如圖，則對于函數y＝f(x)的描述正確的是(

)A．在(－2，－1)上單調遞增B．在(1，2)上單調遞增C．x＝－1為極值點D．x＝1為極值點解析：由y＝f′(x)的圖象可得，當x<－3或－1<x<3時，f′(x)≥0，當－3<x<－1或x>3時，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－3)和(－1，3)上單調遞增，在(－3，－1)和(3，＋∞)上單調遞減，所以x＝－3和x＝3為極大值點，x＝－1為極小值點．所以A，D錯誤，B，C正確．故選BC.10．(2025·皖南八校摸底)設函數f(x)＝(x－a)2(x－4)，定義域為R，若關于x的不等式f(x)≥0的解集為{x|x≥4，或x＝1}，下列說法正確的是(

)A．f(x)的極大值為0B．點(2，－2)是曲線y＝f(x)的對稱中心C．直線y＝9x－4與函數f(x)的圖象相切D．若函數f(x)在區間(m，4)上存在最小值，則m的取值范圍為(0，3)11．(2023·新課標Ⅰ卷)已知函數f(x)的定義域為R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，則(

)A．f(0)＝0B．f(1)＝0C．f(x)是偶函數D．x＝0為f(x)的極小值點三、填空題12．設a∈R，若函數y＝ex＋ax，x∈R有大于零的極值點，則實數a的取值范圍是_____________．解析：由y′＝ex＋a＝0得x＝ln(－a)(a<0)，