全品高考備戰2027年數學一輪學生用書03第43講直線、平面平行的判定與性質【正文】聽課手冊

第43講直線、平面平行的判定與性質【課標要求】1.從立體幾何的有關定義和基本事實出發,了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質定理與判定定理,并能夠證明相關性質定理.

2.能用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題.1.線面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與的一條直線平行,那么該直線與此平面平行

a?α,a∥α性質定理一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面,那么該直線與交線平行

a∥α,a∥b2.面面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內的兩條與另一個平面平行,那么這兩個平面平行

a?β,β∥α(續表)文字語言圖形語言符號語言性質定理兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面,那么兩條平行

α∥β,a∥b常用結論1.平行關系中的三個重要結論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.(2)垂直于同一個平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.(3)平行于同一個平面的兩個平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.2.三種平行關系的轉化:線線平行、線面平行、面面平行的相互轉化是解決與平行有關的證明題的指導思想,解題中既要注意一般的轉化規律,又要看清題目的具體條件,選擇正確的轉化方向.題組一常識題1.[教材改編]已知直線a∥平面α,P∈α,那么過點P且平行于直線a的直線有條.

2.[教材改編]下列說法中,與“直線a∥平面α”等價的是.(填序號)

①直線a上有無數個點不在平面α內;②直線a與平面α內的所有直線平行;③直線a與平面α內無數條直線不相交;④直線a與平面α內的任意一條直線都不相交.3.[教材改編]如圖,平面α∥平面β,△PAB所在的平面與α,β分別交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,則AB=.

題組二常錯題◆索引:對面面平行判定定理的條件“平面內兩條相交直線”認識不清致誤;對空間平行關系的相互轉化條件理解不夠致誤.4.下列條件中,能判斷兩個平面平行的是.(填序號)

①一個平面內的一條直線平行于另一個平面;②一個平面內的兩條直線平行于另一個平面;③一個平面內有無數條直線平行于另一個平面;④一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面.5.如圖是長方體被一平面截后得到的幾何體,四邊形EFGH為截面,則四邊形EFGH的形狀為.

6.已知兩直線m,l與平面α,請看①②兩個推理過程:①m?α,l∥m,?l∥α;②l∥m,m∥平行關系的基本問題例1(1)[2025·湖南湘西自治州調研]設α,β是兩個不同的平面,α∩β=l,m是異于l的一條直線,則“m∥l”是“m∥β且m∥α”的 ()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)[2025·江西上饒調研]設a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,則下列四個說法中正確的是 ()A.若a?α,b?β,a∥b,則α∥βB.若a∥α,b∥β,α∥β,則a∥bC.若a?α,b?α,a∥b,則a∥αD.若a∥α,b?α,則a∥b總結反思解決空間中線面、面面平行的基本問題要注意以下幾個方面:(1)判定定理與性質定理中易忽視定理成立的條件;(2)結合題意構造或繪制圖形,結合圖形進行判斷;(3)舉反例否定結論.變式題如圖是一個正方體的平面展開圖,在這個正方體中,下列結論正確的是 ()①BM∥平面ADE;②CN∥平面ABF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.A.①②③④ B.①②③C.①②④ D.②③④線面平行的判定與性質角度1直線與平面平行的判定例2如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,AB∥CD,AB=2,CD=4,E為PC的中點.求證:BE∥平面PAD.

總結反思判斷或證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的定義(無公共點).②利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α).③利用面面平行的性質(α∥β,a?α?a∥β).④利用面面平行的性質(α∥β,a?β,a∥α?a∥β).變式題[2026·寧波一模]如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,且PA=AD=2BC,E為CD的中點,F為棱PD上的點,且PF=3FD.證明:EF∥平面PAB.

角度2直線與平面平行的性質例3在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1D1的中點,過A,B1,E的平面截此正方體,得到如圖所示的多面體,F為棱CC1上的一點.若點H在棱BC上,當CH=14CB時,FH∥平面AEB1,試確定動點F在棱CC1上的位置,并說明理由

總結反思應用線面平行的性質定理的關鍵是確定交線的位置,有時需要經過已知直線作輔助平面來確定交線.變式題[2025·河南安陽模擬]如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點D在棱BB1上,且BD=23BB1,M,E分別是棱A1B1,AA1的中點,點N在棱CC1上,若MN∥平面CDE,則C1NCN=A.57 B.C.23 D.面面平行的判定與性質例4已知正方體ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示,O為AC與BD的交點.(1)求證:A1O∥平面B1CD1;(2)求證:平面A1BD∥平面B1CD1.

總結反思(1)證明面面平行的常用方法:①利用面面平行的判定定理.②利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α,l⊥β?α∥β).③利用面面平行的傳遞性,即兩個平面同時平行于第三個平面,則這兩個平面平行(α∥β,β∥γ?α∥γ).(2)當已知兩平面平行時,可以得出線面平行,如果要得出線線平行,必須是與第三個平面的交線.變式題如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,BC∥AD,BC=12AD,平面PBC∩平面PAD=l,E是PD的中點(1)求證:l∥AD.(2)若M是線段CE上的一個動點,則棱AD上是否存在點N,使MN∥平面PAB?若存在,求出點N的位置;若不存在,請說明理由.

平行關系的綜合應用例5如圖所示,在正四棱錐S-ABCD中,SA=2AB=2,P為棱SD上的動點.(1)求正四棱錐S-ABCD的表面積.(2)若直線SB∥平面ACP,求證:P為棱SD的中點.(3)若SP=3PD,棱SC上是否存在一點E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SEEC的值;若不存在,請說明理由

總結反思對于平行關系的綜合問題,經常反復利用線面平行、面面平行的判定定理與性質定理,不斷地在“線線平行”“線面平行”“面面平行”之間轉化.變式題如