2027屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)突破復(fù)習(xí)+統(tǒng)計(jì)與概率的綜合問題

2027屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)突破復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率的綜合問題多元視角·拓展教材開放式拓展

實(shí)現(xiàn)一個(gè)“廣”視角一統(tǒng)計(jì)圖表與概率的綜合問題例1(2026·濰坊模擬)某地區(qū)從高一年級的物理測試中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的物理成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計(jì)該地區(qū)本次物理測試的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)；(2)該地區(qū)某學(xué)校建議此次物理測試成績在本地區(qū)前60%的學(xué)生選科報(bào)物理方向，試估計(jì)報(bào)物理方向的學(xué)生本次成績不低于多少分？(結(jié)果保留整數(shù))(3)從成績位于區(qū)間[80，90)和[90，100]的答卷中，采用分層抽樣隨機(jī)抽取7份，再從這7份中隨機(jī)抽取3份，設(shè)成績在[90，100]的答卷份數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解析：(1)由題意10×(0.005＋0.010×2＋0.020＋0.025＋a)＝1，解得a＝0.030，則平均分＝45×0.005×10＋55×0.01×10＋65×0.02×10＋75×0.03×10＋85×0.025×10＋95×0.01×10＝74，所以該地區(qū)本次物理測試的平均分為74分．(2)成績在[90，100]的頻率為0.1，在[80，90)的頻率為0.25，在[70，80)的頻率為0.3，因?yàn)?.1＋0.25＝0.35，0.1＋0.25＋0.3＝0.65，所以選報(bào)物理方向的最低分x在[70，80)內(nèi)，則(80－x)×0.03＋0.25＋0.1＝0.6，解得x≈72，所以估計(jì)報(bào)物理方向的學(xué)生本次成績不低于72分．

X012P學(xué)霸筆記：(1)正確識(shí)讀統(tǒng)計(jì)圖表，從圖表中提取有效信息及樣本數(shù)據(jù)．(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)原理即用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體的思想，結(jié)合樣本中各統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系構(gòu)造數(shù)學(xué)模型(函數(shù)模型、不等式模型、二項(xiàng)分布模型、超幾何分布模型或正態(tài)分布模型等).(3)正確進(jìn)行運(yùn)算，求出樣本數(shù)據(jù)中能夠說明問題的特征值，從而用此數(shù)據(jù)估計(jì)總體或作出科學(xué)的決策與判斷．跟蹤訓(xùn)練某科技公司研發(fā)了一種新型的AI模型，用于圖象識(shí)別任務(wù)．為了測試該模型的性能，對其進(jìn)行了1000次試驗(yàn)，并記錄了每次試驗(yàn)中模型正確識(shí)別圖象的數(shù)量，得到如圖所示的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖．(1)估計(jì)這1000次試驗(yàn)中該AI模型正確識(shí)別圖象數(shù)量的均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)以頻率估計(jì)概率，隨機(jī)對該模型進(jìn)行4次試驗(yàn)，用X表示這4次試驗(yàn)中正確識(shí)別圖象數(shù)量不少于20個(gè)的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

X01234P0.00810.07560.26460.41160.2401視角二回歸分析與概率的綜合問題例2

(2026·西安模擬)當(dāng)下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡(luò)游戲，極大地毒害了青少年的身體健康．為了引導(dǎo)青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測時(shí)收集了玩家對每一關(guān)的平均過關(guān)時(shí)間，如下表：關(guān)卡x123456平均過關(guān)時(shí)間y(單位：秒)5078124121137352(1)若用模型y＝aebx擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)甲參加一場闖關(guān)游戲，比賽共有5局，甲每局比賽獲勝的概率為p，且每局比賽相互獨(dú)立，記甲恰好獲勝3次的概率為f(p)，求f(p)的最大值，并求出相應(yīng)的概率p0.學(xué)霸筆記：(1)此類問題的特點(diǎn)為：同一生活實(shí)踐情境下設(shè)計(jì)兩類問題，即：①求經(jīng)驗(yàn)回歸方程(預(yù)測)；②求某隨機(jī)變量的概率(范圍)、均值、方差等．(2)充分利用題目中提供的成對樣本數(shù)據(jù)(散點(diǎn)圖)作出判斷，確定是線性問題還是非線性問題，求解時(shí)要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用變形公式，以達(dá)到快速準(zhǔn)確運(yùn)算的目的．(3)明確所求問題所屬事件的類型，準(zhǔn)確構(gòu)建概率模型．跟蹤訓(xùn)練

(2026·滄州模擬)糧食是一個(gè)國家發(fā)展的基石，保障糧食安全是維護(hù)社會(huì)穩(wěn)定的重要因素．小麥?zhǔn)俏覈鴥纱罂诩Z作物之一，其自身的穩(wěn)定供應(yīng)保障了數(shù)億人口的食物需求，并通過產(chǎn)業(yè)鏈延伸帶動(dòng)了相關(guān)產(chǎn)業(yè)發(fā)展，促進(jìn)了我國北方地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展．我國于2020年打贏了脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，其中小麥發(fā)揮了重大作用．以2020年為第1年，我國連續(xù)5年小麥產(chǎn)量如下：年份12345產(chǎn)量/千萬噸13.413.713.813.614.0(1)求樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，5)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(2)現(xiàn)從這5年中隨機(jī)抽取2年，記這2年中共有X年的小麥產(chǎn)量不低于13.7千萬噸，求X的分布列與期望．故樣本相關(guān)系數(shù)

X012P視角三獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率綜合問題例3

(2026·深圳模擬)某學(xué)校號召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)，為調(diào)查學(xué)生課后體育鍛煉的情況，學(xué)校采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取80名學(xué)生，得到了表中數(shù)據(jù)：

不經(jīng)常鍛煉經(jīng)常鍛煉合計(jì)男生103040女生202040合計(jì)305080

α0.10.010.001xα2.7066.63510.828

X012P學(xué)霸筆記：此類題目以生活題材為背景，涉及獨(dú)立性檢驗(yàn)及概率問題的綜合，解決此類問題首先收集數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得χ2的值后進(jìn)行比較，其次再按照隨機(jī)變量滿足的概率模型求解．跟蹤訓(xùn)練

(2026·鄭州模擬)已知某市組建了一支300人的志愿者隊(duì)伍，并由其中200人組成“志愿模范隊(duì)”．經(jīng)過一年的實(shí)踐，全隊(duì)共有200人的周平均服務(wù)時(shí)長超過2小時(shí)，其中有150人來自“志愿模范隊(duì)”，如下表所示．

是“志愿模范隊(duì)”成員不是“志愿模范隊(duì)”成員總計(jì)周平均服務(wù)時(shí)長超過2小時(shí)150

200周平均服務(wù)時(shí)長不超過2小時(shí)

總計(jì)200

300(1)請完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答：根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“是‘志愿模范隊(duì)’成員”與“周平均服務(wù)時(shí)長超過2小時(shí)”有關(guān)系？(2)由于該市志愿者工作成效優(yōu)異，現(xiàn)向全省推廣該市經(jīng)驗(yàn)，在全省每個(gè)市縣都成立志愿者隊(duì)伍，請以該市志愿者隊(duì)伍的樣本頻率作為概率的值，在全省的志愿者隊(duì)伍中任選3人，記周平均服務(wù)時(shí)長超過2小時(shí)且不是“志愿模范隊(duì)”成員的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

P(χ2≥k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828

解析：(1)由題可得如下2×2列聯(lián)表：

是“志愿模范隊(duì)”成員不是“志愿模范隊(duì)”成員總計(jì)周平均服務(wù)時(shí)長超過2小時(shí)15050200周平均服務(wù)時(shí)長不超過2小時(shí)5050100總計(jì)200100300

X0123P1．(13分)某工廠的一個(gè)生產(chǎn)車間舉行了生產(chǎn)技能測試(滿分100分)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，全部測試成績均位于[50，100]內(nèi)，按區(qū)間[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5組，繪制頻率分布直方圖如圖，其中在[90，100]內(nèi)的人數(shù)為6.(1)求a的值，并估計(jì)參加測試的職工的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)；(2)現(xiàn)將[50，60)和[90，100]內(nèi)的所有職工的工號貼在形狀、大小和質(zhì)地均相同的小球上(每個(gè)小球貼一個(gè)工號)，并放入盒內(nèi)，從盒中隨機(jī)抽取兩個(gè)小球，若抽出的兩人成績差不小于30，稱這兩人為“黃金搭檔組”．若抽取4次，每次取出2個(gè)球，記下工號后再放回盒內(nèi)．記取得“黃金搭檔組”的次數(shù)為X，求X＝2的概率和X的數(shù)學(xué)期望．

2．(15分)某中學(xué)為了解高二年級學(xué)生對“數(shù)學(xué)建模競賽”的參與意愿與性別是否有關(guān)，現(xiàn)從學(xué)校中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別愿意參與不愿意參與合計(jì)男生302050女生252550合計(jì)5545100

P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

X0123P3．(15分)全面建成小康社會(huì)取得了偉大歷史成就，決戰(zhàn)脫貧攻堅(jiān)取得了決定性勝利，某脫貧縣實(shí)現(xiàn)脫貧奔小康的目標(biāo)，該縣經(jīng)濟(jì)委員會(huì)積極探索區(qū)域特色經(jīng)濟(jì)，引導(dǎo)商家利用多媒體的優(yōu)勢，對本地特產(chǎn)進(jìn)行廣告宣傳，取得了社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益的雙豐收．(1)該縣經(jīng)濟(jì)委員會(huì)為精準(zhǔn)了解本地特產(chǎn)廣告宣傳的導(dǎo)向作用，在購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機(jī)抽取300人進(jìn)行廣告宣傳作用的調(diào)研，對因廣告宣傳導(dǎo)向而購買該縣特產(chǎn)的客戶統(tǒng)計(jì)結(jié)果是：客戶群體中青年人約占15%，其中男性為20%；中年人約占50%，其中男性為35%；老年人約占35%，其中男性為55%.以樣本估計(jì)總體，視頻率為概率．①在所有購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機(jī)抽取一名客戶，求抽取的客戶是男性的概率；②在所有購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機(jī)抽取一名客戶是男客戶，求他是中年人的概率(精確到0.0001)；

月廣告投入x/萬元1234567月銷量y/萬件28323545495260

4.(17分)(2026·滄州模擬)“你好！我是DeepSeek，很高興見到你！我可以幫你寫代碼，讀文件，寫作各種創(chuàng)意內(nèi)容，請把你的任務(wù)交給我吧”，DeepSeek從橫空出世到與我們?nèi)粘Ｏ喟椋蔀槲覀兘鉀Q問題的“好參謀，好助手”，AI大模型正在改變著我們的工作和生活的方式．為了了解不同學(xué)歷人群對DeepSeek的使用情況，隨機(jī)調(diào)查了200人，得到如下數(shù)據(jù)：

(1)依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為DeepSeek的使用情況與學(xué)歷有關(guān)？(2)某校組織“AI模型”知識(shí)競賽，甲、乙兩名選手在決賽階段相遇，