7.1 微分方程的概念

第七章微分方程§7.1微分方程的概念教學目的：理解微分方程、常微分方程、偏微分方程的概念理解微分方程的階的概念3.會求微分方程的階4.理解微分方程通解與特解的概念5.會判斷某個函數是否是微分方程的通解6.了解微分方程的初值問題教學重點：1.求微分方程的階2.微分方程通解與特解的概念3.判斷某個函數是否是微分方程的通解4.根據通解和初值條件求微分方程的特解教學難點：對微分方程概念的理解對通解、特解的理解判斷某個函數是否是微分方程的通解教學內容：一、微分方程的定義：1、引入引例1：求過點(1,3),且在曲線任一點M(x,y)處的切線斜率等于2x的切線方程.解：設所求曲線的方程為y=f(x).根據導數的幾何意義，可知所求曲線應滿足方程dy/dx=2x或dy=2xdx.（1）由于曲線過點(1,3),因此未知函數y=f(x)還應滿足條件對（1）式兩邊積分，得把（2）式帶入（3）式，得C=2.所以，所求曲線的方程為引例2：列車在以20m/s的速度行駛，當其制動時獲得的加速度為-0.4m/s2,問開始制動后多長時間列車才能停住？在這段時間內列車行駛了多少路程？解：把列車剎車時的時刻記為t=0.剎車后位移與時間的關系為s=s(t),由導數的物理意義可知對（4）式兩邊積分得對(5)式兩端再積分，得其中C1、C2為任意常數.由題意知代入(5)、（6）兩式，得C1=20，C2=0，因此令得t=50.所以列車制動50s后才能停車.列車所走的路程為s(50)=500m.在科學研究和生產實踐中，常常需要尋求表示客觀事物變量之間的函數關系.然而,在許多問題中,往往不能直接得到所求的函數關系，只能得到含有未知函數的導數或微分的關系式.這樣的關系式即通常所說的微分方程,通過求解微分方程可以進而得到函數關系.定義微分方程：含有未知函數的導數或微分的方程常微分方程：未知函數為一元函數的方程偏微分方程：未知函數為多元函數的方程基本概念概念：微分方程的階：微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數等都是微分方程.其中，(8)、(9)是一階微分方程，(10)是二階微分方程，（11）是五階微分方程.微分方程的解：如果把某個定義在區間D上的連續可導的函數代入微分方程中，能使該方程成為恒等式，則稱此函數為該微分方程在區間D上的一個解.如函數是微分方程dy/dx=2x的一個解；函數是微分方程的一個解.通解與特解：如果微分方程的解中含有任意常數，且其中獨立的任意常數的個數恰好等于方程的階數，則稱這個解為該方程的通解.不含任意常數的解稱為該方程的特解.例為微分方程dy/dx=2x的通解；為微分方程dy/dx=2x的特解.顯式解與隱式解：以顯函數形式表示的解稱為顯式解.以隱函數的形式表示的解稱為隱式解.例為微分方程dy/dx=?x/y的顯式解；為其隱式解.初值問題:用來確定通解中任意常數的條件稱為初始條件.問題1：求微分方程(y)?=f(x,y)滿足初始條件的特解記為稱為一階微分方程的初值問題.問題2：類似地，問題稱為二階微分方程的初值問題.積分曲線：微分方程的解的圖形是一條曲線，稱為該微分方程的積分曲線.初值問題1的幾何意義：求微分方程(y)?=f(x,y)過點(x0,y0)的那條積分曲線.初值問題2的幾何意義：求微分方程(y)?=f(x,y)過點(x0,y0)且在該點處的切線斜率為y0?的那條積分曲線.例題驗證函數y=C1e2x+C2e?2x(C1、C2為任意常數)是二階微分方程的通解，并求此微分方程滿足初始條件的特解.分析：要驗證一個函數是否是一個微分方程的通解，只需將該函數及其導數代入微分方程中，看是否使方程稱為恒等式，再看通解中所含獨立的任意常數的個數是否與方程的階數相同.要求微分方程滿足所給初始條件的特解，只要把初始條件代入通解中，定出通解中的任意常數后，便可得到所需求的特解.解：將函數y=C1e2x+C2e?2x分別求一階及二階導數，得把他們代入式（12）的左端，得所以，函數y=C1e2x+C2e?2x是所給微分方程（12）的解.又因為這個解中含有兩個獨立的任意常數，任意常數的個數與微分方程（12）的階數相同，所以它是該方程