安徽省蚌埠市2025-2026學年高一下學期期末考試數學試卷（含解析）

安徽蚌埠市聯考2025-2026學年第二學期期末學業水平監測高一數學一、單選題1．已知是虛數單位，復數，則的虛部為（

）A．1 B． C． D．-12．若向量，則實數（

）A．-1 B．1 C．-3 D．33．利用斜二測畫法作邊長為2的正三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（

）A． B． C． D．4．已知正四棱臺的上、下底面邊長分別是、，高為，則該四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．5．將函數的圖象向右平移個單位長度得到余弦曲線，則的解析式為（

）A． B．C． D．6．已知一個圓錐的底面半徑為1，體積為，則其側面積為（

）A． B． C． D．7．設，角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．8．如圖，在圓心為的半圓中，，，，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．設，則（

）A． B． C． D．10．如圖，在長方體中，，，點是棱上的動點（不含端點），過點作長方體的截面，將長方體分成上下兩部分，體積分別為，則（

）A．對任意點，四邊形是平行四邊形B．對任意點，C．存在點，使截面為菱形D．存在點，使是直角三角形11．在中，分別是中線、角平分線和高，其中均在上，則（

）A． B． C． D．三、填空題12．已知向量，，若，則___________．13．已知都是銳角，，則______14．設函數.若對任意實數a，均有，則k的最小值為________.四、解答題15．已知向量和，且與的夾角為．(1)求；(2)求的值；(3)求與的夾角的余弦值．16．已知函數的部分圖象如圖所示，其中點與點關于直線對稱．(1)寫出點的坐標并求函數的解析式；(2)當，時，求的值域．17．如圖，在正方體中，．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)求點到平面的距離．18．在銳角三角形中，角所對的邊分別為，且，(1)求證：；(2)求角的取值范圍；(3)求的取值范圍．19．如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，分別為，的中點．(1)證明：平面；(2)若平面平面，直線與直線所成角的余弦值為．（i）求邊的長；（ii）求四棱錐外接球的體積．參考答案1．A【詳解】，所以的虛部為1.故選：A2．D【詳解】因為向量，所以，解得.3．A【詳解】根據斜二測畫法的特征，可得底不變，為2，高為，所以直觀圖的面積是.4．C【詳解】由題意可知，該正四棱臺的體積為.5．B【詳解】由題意，,將替換為，可得：,AC錯誤；由，對變形：，C正確，D錯誤.6．D【詳解】∵圓錐底面半徑，體積，由圓錐體積公式，代入得，∴.∴圓錐母線長，∴圓錐側面積.7．C【詳解】∵角的終邊經過點，且，根據任意角的正切函數定義由二倍角公式，代入得又，因此有化簡得，結合同角三角函數平方關系，代入得：，整理為，解一元二次方程得.∵，故，且，舍去負根（小于，不符合余弦值域），因此.8．A【詳解】取線段的中點，連接，由垂徑定理可知，則，同理可得，因為，即，所以，所以.9．BD【詳解】，A錯誤；，B正確；，C錯誤；，D正確.10．ABC【詳解】如圖所示，以A為原點建立空間直角坐標系，設，，則截面與棱的交點，則且等長；且等長.故四邊形是平行四邊形，A正確；長方體體積，截面的對角線與交于長方體中心，即截面過幾何中心.因此截面將長方體平分為兩個全等部分，故，B正確；，令其相等解得，此時，滿足，四邊形是平行四邊形且鄰邊相等，故截面是菱形，C正確；三邊平方為：，若，則，不符合；若或，解得，不符合.故無滿足條件的點，使是直角三角形，D錯誤.11．ACD【詳解】設，已知，根據三角形三邊關系有：，成立，，，.根據余弦定理：，，所以，代入得：，由，根據均值不等式，，時取等號，又，，當時，，，則，A正確；是中線，則，在和中分別使用余弦定理：在中：，在中：，，，將上述兩式相加得：，又，，又，，B錯誤；，利用二倍角公式化簡左邊得：，由，，又，，C正確；是高，面積，同時，，聯立解得，令，則，當時，，當時，，，D正確.12．【詳解】已知，則，計算得：.13．【詳解】因為都是銳角，所以，又因為，所以，，因此，因為是銳角，所以.14．16【詳解】由條件知，當且僅當時，取到最大值.根據條件，知任意一個長為1的開區間至少包含一個最大值點.從而，.反之，當時，任意一個開區間均包含的一個完整周期，此時，.綜上，k的最小值為，其中，表示不超過實數x的最大整數.15．(1)(2)(3)【詳解】（1）已知，由數量積的定義可得：．（2），所以．（3）因為，16．(1)，(2)【詳解】（1）依題意，點和點關于直線對稱，所以點的坐標為．由圖象易得，所以，又函數的圖象過點，則，可得，因為，故，而，可得，所以，解得，設函數的最小正周期為，由圖可知，則，故，故，，所以．（2）當時，則，因為，則，當時，，所以在上單調遞減，而，，所以；當時，，且，則，由可得，由可得，此時函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又因為，，則，綜上所述，函數的值域為．17．(1)在正方體中，連結，由平面平面，所以，又，平面，且，因此平面，又平面，因此，同理，，又平面，且，平面．(2)(3)【詳解】（1）略（2）設，的交點為，連接，由（1）知平面，，故為二面角的平面角,因為，所以，即二面角的正弦值為．（3）顯然，設到平面的距離為．由得，，解得．即點到平面的距離為.18．(1)因，由正弦定理得，整理得，即，，故，因為為銳角三角形，則，，所以，即.(2)(3)【詳解】（1）略（2）因為是銳角三角形，則，解得，所以角的取值范圍為．（3）由（1）及正弦定理得令，則，因此，因為在區間上單調遞增，故，即，所以的取值范圍為．19．(1)證明：取中點，連接，，如圖所示：是中點，，且，又，且，故平行且相等，即四邊形是平行四邊形，，又平面平面，故平面．(2)（i）或；（ii）或【詳解】（1）略（2）（i）因為正方形，所以且，因為平面平面，平面平面，所以平面，所以，因為，易知，由（1）知，所以為直線與直線所成角，即．在中，由余弦定理得，即，化簡得，解得，或，若，因為，所以；若，由，,解得．綜上，或．（ii）①當時，兩兩相互垂直，且，故四棱錐的外接球即以