小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)循環(huán)小數(shù)核心知識(shí)清單

小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)循環(huán)小數(shù)核心知識(shí)清單一、核心概念體系的建立：從“除不盡”到“循環(huán)”（一）概念的源頭：除法運(yùn)算中的“余數(shù)重復(fù)”現(xiàn)象【重要】在學(xué)習(xí)小數(shù)除法時(shí)，我們通常會(huì)遇到兩種情況：一種是除得盡，商的小數(shù)位數(shù)是有限的，這稱(chēng)為有限小數(shù)；另一種是除不盡，余數(shù)不斷重復(fù)出現(xiàn)，導(dǎo)致商的小數(shù)部分無(wú)窮無(wú)盡。循環(huán)小數(shù)的概念正是源于這后一種情況。例如，計(jì)算400÷75，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)余數(shù)總是“25”，商的小數(shù)部分總是重復(fù)出現(xiàn)“3”；同樣，計(jì)算28÷18，余數(shù)交替出現(xiàn)“10”和“10”，商的小數(shù)部分則重復(fù)出現(xiàn)“5”和“5”479。這種“余數(shù)重復(fù)”是理解循環(huán)小數(shù)本質(zhì)的關(guān)鍵切入點(diǎn)，它直接導(dǎo)致了“商的小數(shù)部分某一位起，一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)”的必然結(jié)果。（二）循環(huán)小數(shù)的精確定義【基礎(chǔ)】【高頻考點(diǎn)】一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)510。這一定義包含三個(gè)核心要素：1.無(wú)限性：它是無(wú)限小數(shù)，小數(shù)部分的位數(shù)是無(wú)限的10。2.規(guī)律性：數(shù)字的重復(fù)出現(xiàn)是“依次不斷”的，具有嚴(yán)格的周期性。3.起始點(diǎn)：重復(fù)現(xiàn)象是從小數(shù)部分的“某一位”開(kāi)始的，并非一定是從十分位開(kāi)始。（三）循環(huán)節(jié)：循環(huán)小數(shù)的“基因”【基礎(chǔ)】一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，就是這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)510。例如，5.333…的循環(huán)節(jié)是“3”；7.14545…的循環(huán)節(jié)是“45”；6.…的循環(huán)節(jié)是“416”9。識(shí)別循環(huán)節(jié)是掌握循環(huán)小數(shù)簡(jiǎn)便記法及進(jìn)行后續(xù)分類(lèi)、比較、計(jì)算的基礎(chǔ)。二、循環(huán)小數(shù)的分類(lèi)體系與精確辨析（一）按循環(huán)節(jié)起始位置分類(lèi)【重要】【難點(diǎn)】根據(jù)循環(huán)節(jié)是否從小數(shù)部分的第一位（即十分位）開(kāi)始，可以將循環(huán)小數(shù)分為兩類(lèi)：1.純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的循環(huán)小數(shù)。例如：3.666…、0.142857142857…36。2.混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的循環(huán)小數(shù)。例如：2.1666…（循環(huán)節(jié)是6，但第一位小數(shù)是1）、7.14545…（循環(huán)節(jié)是45，但第一位小數(shù)是1）56。（二）小數(shù)家族的分類(lèi)圖譜【重要】【高頻考點(diǎn)】厘清有限小數(shù)、無(wú)限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)、無(wú)限不循環(huán)小數(shù)之間的關(guān)系，是構(gòu)建完整數(shù)概念的關(guān)鍵4710。1.按小數(shù)位數(shù)分：（1）有限小數(shù)：小數(shù)部分的位數(shù)是有限的小數(shù)。如：0.9375。（2）無(wú)限小數(shù)：小數(shù)部分的位數(shù)是無(wú)限的小數(shù)。如：3.…、0.333…。2.無(wú)限小數(shù)的再分類(lèi)：（1）無(wú)限循環(huán)小數(shù)：即我們討論的循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)部分呈現(xiàn)周期性重復(fù)。如：0.666…。（2）無(wú)限不循環(huán)小數(shù)：小數(shù)部分沒(méi)有規(guī)律，數(shù)字隨機(jī)出現(xiàn)，永不重復(fù)。如：圓周率π=3.141592653…，這是中學(xué)階段將要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)。【★特別注意】循環(huán)小數(shù)一定是無(wú)限小數(shù)，但無(wú)限小數(shù)不一定是循環(huán)小數(shù)（還可能是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)）。三、循環(huán)小數(shù)的表示法與讀寫(xiě)規(guī)則（一）普通記法在寫(xiě)出商之后加上省略號(hào)，表示后面還有無(wú)窮無(wú)盡的重復(fù)數(shù)字。例如：2÷3=0.666…，29÷22=1.31818…4。這種方法直觀(guān)易懂，適合初學(xué)階段和概念闡述。（二）簡(jiǎn)便記法（循環(huán)點(diǎn)記法）【重點(diǎn)考點(diǎn)】寫(xiě)循環(huán)小數(shù)時(shí)，可以只寫(xiě)第一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首位和末位數(shù)字上面各記一個(gè)圓點(diǎn)（循環(huán)點(diǎn)）510。1.純循環(huán)小數(shù)的簡(jiǎn)便記法：（1）一個(gè)數(shù)字循環(huán)：如5.333…寫(xiě)作5.\dot{3}7。（2）兩個(gè)數(shù)字循環(huán)：如7.14545…寫(xiě)作7.1\dot{4}\dot{5}7。（3）多個(gè)數(shù)字循環(huán)：如6.…寫(xiě)作6.\dot{4}1\dot{6}或6.\dot{4}\dot{1}\dot{6}9。2.混循環(huán)小數(shù)的簡(jiǎn)便記法：（1）如2.1666…，循環(huán)節(jié)是6，應(yīng)寫(xiě)作2.1\dot{6}。（2）如0.03737…，循環(huán)節(jié)是37，應(yīng)寫(xiě)作0.0\dot{3}\dot{7}9。【★易錯(cuò)警示】循環(huán)點(diǎn)必須點(diǎn)在循環(huán)節(jié)的首位和末位，如果循環(huán)節(jié)只有一個(gè)數(shù)字，則只點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。例如，0.666…的簡(jiǎn)便記法是0.\dot{6}，而不是0.\dot{6}\dot{6}。四、循環(huán)小數(shù)的比較與近似值（一）循環(huán)小數(shù)的大小比較【難點(diǎn)】比較循環(huán)小數(shù)大小時(shí)，需要先把它們改寫(xiě)成普通記法，寫(xiě)出相同數(shù)位上的數(shù)字，再按照小數(shù)大小比較的方法（先看整數(shù)部分，再看十分位、百分位……）進(jìn)行比較3。【解題步驟】：1.統(tǒng)一形式：將簡(jiǎn)便記法的循環(huán)小數(shù)還原，多寫(xiě)出幾位（通常寫(xiě)到能比較出大小為止）。2.數(shù)位對(duì)齊：從高位開(kāi)始，逐位比較對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字。3.得出結(jié)論：根據(jù)比較規(guī)則確定大小關(guān)系。【典型例題】比較0.94、0.\dot{9}4、0.9\dot{4}的大小3。解：0.94=0.94000…0.\dot{9}4表示0.…0.9\dot{4}表示0.…因此，0.\dot{9}4>0.9\dot{4}>0.94。（二）求循環(huán)小數(shù)的近似值（四舍五入法）【高頻考點(diǎn)】在實(shí)際應(yīng)用中，往往需要根據(jù)要求取循環(huán)小數(shù)的近似值。方法與求小數(shù)乘法的積的近似值一樣，使用“四舍五入”法410。【解題步驟】：1.確定精度：明確題目要求保留幾位小數(shù)（如保留兩位小數(shù)、精確到百分位等）。2.多除一位：在除法計(jì)算中，除到比需要保留的小數(shù)位數(shù)多一位（即千分位）1。3.四舍五入：看多除出來(lái)的那一位上的數(shù)字，如果大于或等于5，則向前一位進(jìn)一；如果小于5，則舍去。【典型例題】1.29090…（即1.2\dot{9}\dot{0}）保留三位小數(shù)。解：1.29090…小數(shù)點(diǎn)后第四位是9（因?yàn)榈谌皇?，第四位是9），9≥5，所以向第三位進(jìn)一，第三位0變成1，因此近似值為1.2919。五、循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的內(nèi)在聯(lián)系（拓展與深化）（一）循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)【難點(diǎn)】【競(jìng)賽考點(diǎn)】循環(huán)小數(shù)屬于有理數(shù)，都可以化成分?jǐn)?shù)5。這一轉(zhuǎn)化過(guò)程溝通了分?jǐn)?shù)與小數(shù)的深層聯(lián)系。1.純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：（1）法則：將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子；分母的各位數(shù)字都是9，9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同256。（2）示例：0.\dot{1}\dot{2}\dot{3}=\frac{123}{999}=\frac{41}{333}。2.混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：（1）法則：分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)，減去不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)所得的差；分母的頭幾位數(shù)字是9，9的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是0，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同256。（2）示例：0.1\dot{2}\dot{3}=\frac{1231}{990}=\frac{122}{990}=\frac{61}{495}。（二）分?jǐn)?shù)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法【重要】【競(jìng)賽考點(diǎn)】一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，能否化成有限小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)還是混循環(huán)小數(shù)，完全由其分母的質(zhì)因數(shù)決定26。1.化為有限小數(shù)：一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有質(zhì)因數(shù)2和5，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成有限小數(shù)。2.化為純循環(huán)小數(shù)：一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)（即不含2和5），那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成純循環(huán)小數(shù)。3.化為混循環(huán)小數(shù)：一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2或5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成混循環(huán)小數(shù)。六、典型題型、解題步驟與易錯(cuò)點(diǎn)剖析（一）判斷與辨識(shí)類(lèi)題型1.判斷是否是循環(huán)小數(shù)：【易錯(cuò)點(diǎn)】要注意循環(huán)小數(shù)必須是無(wú)限小數(shù)，且要有“依次不斷重復(fù)”的規(guī)律。如0.8888（雖然是重復(fù)的8，但沒(méi)有省略號(hào)，是有限小數(shù)）就不是循環(huán)小數(shù)9。像3.…這樣的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，也不是循環(huán)小數(shù)4。2.指出循環(huán)節(jié)：【解題關(guān)鍵】準(zhǔn)確找出小數(shù)部分“依次不斷重復(fù)出現(xiàn)”的最短數(shù)字組合。如3.09090…的循環(huán)節(jié)是“09”，而不是“90”或“090”3。（二）簡(jiǎn)便記法與改寫(xiě)題型1.將普通形式改寫(xiě)為簡(jiǎn)便形式：【易錯(cuò)點(diǎn)】注意循環(huán)點(diǎn)的位置。如5.32727…應(yīng)寫(xiě)作5.3\dot{2}\dot{7}，而不是5.\dot{3}\dot{2}\dot{7}3。2.將簡(jiǎn)便形式還原為普通形式：【解題步驟】明確循環(huán)節(jié)，將其重復(fù)書(shū)寫(xiě)至少兩次以上并加省略號(hào)。如5.3\dot{2}\dot{7}還原為5.…。（三）比較大小與近似值題型1.循環(huán)小數(shù)比較大小：【解題步驟】如前所述，先展開(kāi)再逐位比較。【典型例題】在8.36、8.\dot{3}\dot{6}、8.3\dot{6}、8.36\dot{0}中，哪個(gè)最大？3解：展開(kāi)比較，8.\dot{3}\dot{6}=8.…，8.3\dot{6}=8.3666…，8.36\dot{0}=8.36000…，因此最大的是8.3\dot{6}。2.求近似值：【易錯(cuò)點(diǎn)】求近似值時(shí)，要看清楚是“保留幾位小數(shù)”還是“精確到哪一位”。例如，求0.\dot{5}的近似值，保留一位小數(shù)是0.6，因?yàn)榈诙皇?，需向前進(jìn)一。（四）周期規(guī)律（循環(huán)節(jié)）探究題型【難點(diǎn)】【熱點(diǎn)】這類(lèi)題目考查對(duì)循環(huán)節(jié)周期的深刻理解，常出現(xiàn)在填空、選擇或解決問(wèn)題中。1.求小數(shù)點(diǎn)后第n位上的數(shù)字：【解題步驟】8（1）確定循環(huán)節(jié)及其長(zhǎng)度（位數(shù)）。（2）用n除以循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度，看余數(shù)。（3）如果沒(méi)有余數(shù)（整除），則第n位上的數(shù)字是循環(huán)節(jié)的最后一個(gè)數(shù)字。（4）如果有余數(shù)，余數(shù)是幾，則第n位上的數(shù)字就是循環(huán)節(jié)中的第幾個(gè)數(shù)字。【典型例題】3.7\dot{2}\dot{3}的小數(shù)點(diǎn)后面第50位上的數(shù)字是多少？解：循環(huán)節(jié)是“23”，長(zhǎng)度為2。50÷2=25，整除無(wú)余數(shù)，所以第50位上的數(shù)字是循環(huán)節(jié)的最后一個(gè)數(shù)字“3”。2.求小數(shù)點(diǎn)后若干位數(shù)字的和：【解題步驟】8（1）確定循環(huán)節(jié)及其長(zhǎng)度，并計(jì)算一個(gè)循環(huán)節(jié)內(nèi)所有數(shù)字的和。（2）用n除以循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度，得到完整循環(huán)節(jié)的組數(shù)和余數(shù)。（3）總和=組數(shù)×一個(gè)循環(huán)節(jié)的和+余下數(shù)字的和。【典型例題】求1÷7=0.\dot{1}4285\dot{7}的小數(shù)點(diǎn)后前100位數(shù)字之和。解：循環(huán)節(jié)是“”，長(zhǎng)度為6，和為1+4+2+8+5+7=27。100÷6=16（組）……4（個(gè)）。前100位數(shù)字之和=16×27+(1+4+2+8)=432+15=447。七、循環(huán)小數(shù)知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用（進(jìn)一法與去尾法）在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，求商的近似值不能機(jī)械地使用“四舍五入”法，而必須根據(jù)生活實(shí)際，靈活選擇“進(jìn)一法”或“去尾法”110。（一）進(jìn)一法【高頻考點(diǎn)】在解決問(wèn)題時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況，不管省略部分首位上的數(shù)字是多少，都向前一位進(jìn)1。用“進(jìn)一法”得到的近似數(shù)比準(zhǔn)確數(shù)大。1.適用情境：凡是涉及“需要多少個(gè)容器/車(chē)輛/箱子來(lái)裝東西”、“需要多少人/次才能完成”等問(wèn)題，通常用進(jìn)一法。因?yàn)闊o(wú)論剩下多少，都需要一個(gè)額外的容器或一次額外的人力1。2.典型例題：每個(gè)油桶最多可裝4.5kg油，裝60kg油至少需要多少個(gè)這樣的油桶？10解：60÷4.5=13.333…（個(gè)），因?yàn)?3個(gè)桶只能裝13×4.5=58.5kg，剩下的1.5kg還需要1個(gè)桶，所以需要13+1=14個(gè)油桶。（二）去尾法【高頻考點(diǎn)】在解決問(wèn)題時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況，把一個(gè)數(shù)某一位后面的數(shù)字（即使這個(gè)數(shù)字是5或比5大）全部舍去。用“去尾法”得到的近似數(shù)比準(zhǔn)確數(shù)小。1.適用情境：凡是涉及“用材料做東西”（如用布做衣服、用繩子做跳繩、用鐵皮做水桶）等問(wèn)題，通常用去尾法。因?yàn)椴粔蜃龀梢粋€(gè)完整的東西，多余的部分就必須舍去110。2.典型例題：做一根跳繩需要1.8米皮筋，25米皮筋最多可以做多少根這樣的跳繩？10解：25÷1.8=13.888…（根），因?yàn)?3根跳繩需要13×1.8=23.4米，剩下的1.6米不夠再做一根完整的跳繩，所以最多能做13根。【★核心解題思想】解此類(lèi)題的關(guān)鍵不是看余數(shù)的大小，而是看“剩下的部分是否還能獨(dú)立構(gòu)成一個(gè)單位”。能，就用進(jìn)一法；不能，就用去尾法。八、學(xué)習(xí)循環(huán)小數(shù)的數(shù)學(xué)思想與方法（一）極限思想循環(huán)小數(shù)是學(xué)生接觸到的第一個(gè)“無(wú)限”概念。通過(guò)“除不盡”的除法運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生想象“永遠(yuǎn)除下去”的場(chǎng)景，初步滲透極限的數(shù)學(xué)思想，為中學(xué)學(xué)習(xí)極限、無(wú)窮遞縮等比數(shù)列等知識(shí)埋下伏筆。（二）轉(zhuǎn)化思想循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“轉(zhuǎn)化”的強(qiáng)大力量。將一個(gè)無(wú)限的問(wèn)題（循環(huán)小數(shù)）轉(zhuǎn)化為有限的問(wèn)題（分?jǐn)?shù)）來(lái)處理，實(shí)現(xiàn)了新舊知識(shí)的聯(lián)系與統(tǒng)一，極大地簡(jiǎn)化了運(yùn)算和推理過(guò)程。（三）符號(hào)化思