第六講基礎奧數之

【第六講基礎奧數之行程與工程問題初步】各位同學，大家好。經過前五講的鋪墊，我們對數字的特性、運算的技巧以及一些基本的邏輯推理方法已有了初步的認識。從這一講開始，我們將逐步接觸到奧數中更具實際應用背景也更富挑戰性的問題類型。今天，我們來探討兩類經典的應用題：行程問題與工程問題。這兩類問題不僅在奧數中頻繁出現，其蘊含的數學思想和解題方法，對我們日后解決更復雜的實際問題也大有裨益。一、行程問題：追及與相遇的奧秘我們每天都在行走，從家到學校，從一個地方到另一個地方。行程問題，簡單來說，就是研究物體運動過程中，路程、速度和時間三者之間關系的問題。其核心公式大家務必牢記：路程=速度×時間。一切行程問題的變化，都是圍繞這個基本公式展開的。1.1相遇問題：相向而行的碰頭當兩個物體從兩地出發，沿同一條路線相向而行，最終會在途中相遇。這類問題的關鍵在于，兩者所用的時間通常是相同的（從出發到相遇），且兩者所行路程之和等于兩地之間的總路程。基本數量關系：*總路程=速度和×相遇時間*相遇時間=總路程÷速度和*速度和=總路程÷相遇時間例題解析：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發，相向而行。甲的速度是每小時5公里，乙的速度是每小時4公里，經過3小時兩人相遇。問A、B兩地相距多少公里？分析與解答：甲、乙兩人是相向而行，所以他們的相對速度是兩者速度之和，即5+4=9公里/小時。經過3小時相遇，根據“路程=速度×時間”，這里的“速度”就是速度和，“時間”就是相遇時間。因此，A、B兩地的距離為9×3=27公里。解題思路小結：對于相遇問題，首先要明確兩者運動的方向（相向），找到共同運動的時間（相遇時間），以及兩者的速度。利用速度和與相遇時間的乘積即可得到總路程。畫線段圖是幫助理解題意、找到數量關系的有效輔助手段。1.2追及問題：同向而行的追趕與相遇問題相對的是追及問題。當兩個物體沿同一方向運動，速度快的物體從后面追趕速度慢的物體，這類問題就是追及問題。其關鍵在于，兩者的路程差等于開始追及時兩者之間的距離（或者說是需要追趕的距離）。基本數量關系：*追及路程（路程差）=速度差×追及時間*追及時間=追及路程÷速度差*速度差=追及路程÷追及時間例題解析：甲、乙兩人在同一條路上同向而行，甲在前，乙在后。甲的速度是每小時3公里，乙的速度是每小時5公里。如果兩人相距6公里，乙需要多少小時才能追上甲？分析與解答：乙要追上甲，就需要比甲多走他們最初相距的6公里，這6公里就是追及路程。乙每小時比甲多走5-3=2公里，這就是速度差。根據“追及時間=追及路程÷速度差”，可得追及時間為6÷2=3小時。解題思路小結：對于追及問題，要明確兩者運動的方向（同向），找到需要追趕的初始距離（追及路程），以及兩者的速度差。利用追及路程除以速度差即可得到追及所需的時間。同樣，線段圖能清晰地展示兩者的位置關系和路程差。二、工程問題：效率與合作的藝術工程問題是研究工作總量、工作效率和工作時間之間關系的問題。它與行程問題在本質上是相通的，工作總量類似于路程，工作效率類似于速度，工作時間則對應行程問題中的時間。2.1基本數量關系核心公式：工作總量=工作效率×工作時間*工作效率=工作總量÷工作時間*工作時間=工作總量÷工作效率在工程問題中，我們常常將工作總量看作單位“1”（例如，一項工程、一份工作）。這樣，工作效率就可以表示為單位時間內完成工作總量的幾分之一。2.2單人工程問題即只涉及一個人（或一個工作單位）完成某項工程的問題。例題解析：一項工程，甲單獨做需要10天完成。那么甲每天能完成這項工程的幾分之幾？如果甲做了3天，還剩下這項工程的幾分之幾未完成？分析與解答：將這項工程的工作總量看作單位“1”。甲單獨做10天完成，根據“工作效率=工作總量÷工作時間”，甲的工作效率為1÷10=1/10。即甲每天能完成這項工程的1/10。甲做了3天，完成的工作量為1/10×3=3/10。因此，剩下未完成的工作量為1-3/10=7/10。2.3合作工程問題實際工作中，往往是多個人或多個團隊合作完成一項工程。這時，他們的工作效率可以疊加。基本數量關系：*合作工作效率=各部分工作效率之和*合作工作時間=工作總量÷合作工作效率例題解析：一項工程，甲單獨做需要10天完成，乙單獨做需要15天完成。如果甲、乙兩人合作，需要多少天才能完成這項工程？分析與解答：同樣將工作總量看作單位“1”。甲的工作效率為1/10（每天完成1/10），乙的工作效率為1/15（每天完成1/15）。甲、乙合作的工作效率為1/10+1/15。為了相加，先通分：1/10=3/30，1/15=2/30，所以合作效率為3/30+2/30=5/30=1/6。因此，合作完成這項工程需要的時間為1÷(1/6)=6天。解題思路小結：解決工程問題，關鍵在于確定工作總量（通常設為“1”）和各參與者的工作效率。對于合作問題，重點是求出合作的總效率。有時還會遇到中途有人離開或加入的情況，這時需要分段計算工作量或調整工作效率。三、本講小結與思考行程問題和工程問題，雖然背景不同，但都深刻體現了“量=率×時間”這一基本數學模型。無論是路程、速度、時間，還是工作總量、工作效率、工作時間，理解并靈活運用它們之間的關系，是解決這類問題的核心。在解題時，建議大家：1.仔細審題：明確題目中的運動方向（相向、同向）、出發時間、工作方式（單獨、合作）等關鍵信息。2.畫示意圖：特別是行程問題，線段圖能直觀地幫助我們理解路程關系。3.確定“單位1”：在工程問題以及一些復雜行程問題中，巧妙地設定單位“1”可以簡化計算。4.找等量關系：根據題目條件，列出基于核心公式的等量關系式。5.分步求解：對于復雜問題，不要急于求成，可分解為幾個簡單步驟逐步解決。這兩類問題還有許多變化形式，例如行程問題中的流水行船（考慮水速）、火車過