高中數學 加練 專題8　第80練　定點問題

第80練定點問題(分值：30分)直線過定點的解題策略一般有以下幾種：(1)如果題設條件沒有給出這個定點，那么，我們可以這樣思考：由于這個定點對符合要求的一些特殊情況必然成立，那么我們根據特殊情況先找到這個定點，再證明這個點與變量無關.(2)直接推理、計算，找出參數之間的關系，并在計算過程中消去部分參數，將直線方程化為點斜式方程，從而得到定點.(3)若直線方程含多個參數并給出或能求出參數滿足的方程，觀察直線方程特征與參數方程滿足的方程的特征，即可找出直線所過定點的坐標，并代入直線方程進行檢驗.注意到繁難的代數運算是此類問題的特點，設而不求方法、整體思想和消元思想的運用可有效地簡化運算.1.(15分)已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為1(1)求橢圓E的方程；(5分)(2)已知A為E的左頂點，不過點A的直線l與E交于P，Q兩點，直線l，AP，AQ的斜率分別為k，k1，k2，若k(k1+k2)=-3，證明：直線l過定點.(10分)(1)解由題意可知c解得a所以橢圓E的方程為x24+y(2)證明設直線l：y=kx+m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(-2，0)，x1≠-2，x2≠-2，聯立y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0，得m2<3+4k2，x1+x2=-8km3+4k2，x1xk1=y1x1+2，k所以k1+k2=kx1=(=2=2=-24kk(k1+k2)=(-24k+12得2k2-3km+m2=0，即(k-m)(2k-m)=0，得m=k或m=2k.若m=k，則直線l：y=kx+m=k(x+1)，恒過點(-1，0)，滿足條件；若m=2k，則直線l：y=kx+m=k(x+2)，恒過點(-2，0)，與點A重合，不滿足條件，所以直線l恒過定點(-1，0).2.(15分)已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的漸近線為y=±2x，雙曲線的左頂點為P(-1，0)，直線l：y=kx+m與雙曲線C相交于A，B(1)求雙曲線C的方程；(3分)(2)若AB的中點為M(2，1)，求直線l的方程；(5分)(3)若以AB為直徑的圓恒過點P，試判斷直線l是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.(7分)解(1)雙曲線C：x2a2-y2b2=1的漸近線為y=±b而雙曲線C的左頂點為P(-1，0)，則a=1，b=2，所以雙曲線C的方程為x2-y22(2)由(1)知，雙曲線C的方程為x2-y22設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y消去y得(k2-2)x2+2kmx+m2+2=0，則k2-2≠0，Δ=(2km)2-4(k2-2)(m2+2)=8(m2+2-k2)>0，且k≠±2，x1+x2=-2km由M(2，1)為AB的中點，得2解得k=4，m=-7所以直線l的方程為y=4x-7，即4x-y-7=0.(3)由(2)知，x1+x2=-2kmx1x2=m2+2k2-2.PA=(x1+1，y1)，PB=(x則PA·PB=(x1+1)(x2+1)+y1y2=(x1+1)(x2+1)+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+(km+1)(x1+x2)+m2+1=(k2+1)m2+2k2-2+(km+1)·=3k2-2由以AB為直徑的圓恒過點P，得PA·PB=0，于是(3k+m)(k-m)=0，解得m=k或m=-3k，當m=k時，直線l：y=k