高中數學 加練 專題8　第82練　定直線問題

第82練定直線問題(分值：30分)定直線問題是指因圖形變化或點的移動而產生的動點在定直線上的問題，解決這類問題，一般可以套用求軌跡方程的通用方法，也可以根據其本身特點的獨特性采用一些特殊方法.解決定直線問題的核心在于確定定點的軌跡.主要方法有：(1)設點法：設點的軌跡，通過已知點的軌跡，消去參數，從而得到軌跡方程.(2)待定系數法：設出含參數的直線方程，待定系數法求解出系數.(3)驗證法：通過特殊點位置求出直線方程，對一般位置再進行驗證.1.(15分)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求橢圓C的方程；(5分)(2)記橢圓C的上、下頂點分別為A，B，過點(0，4)且斜率為k的直線交橢圓C于M，N兩點，證明：直線BM與AN的交點G在定直線上，并求出該定直線的方程.(10分)解(1)由橢圓過點P(2，2)，且離心率為22所以4a2故所求的橢圓C的方程為x28+y(2)由題意得A(0，2)，B(0，-2)，直線MN的方程為y=kx+4，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯立y整理得(1+2k2)x2+16kx+24=0，Δ=64k2-96>0，所以x1+x2=-16k1+2k2，x1x則kx1x2=-32(x1+x2)則直線AN的方程為y-2=y2-2x2x，直線BM的方程為y+2=得y-2y+2==kx1=12x1解得y=1，即直線BM與AN的交點G在定直線y=1上.2.(15分)已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，點E(n，2)是C上一點，且|EF|=5，記O為坐標原點，過點F的直線l1與C相交于A，B兩點.(1)求拋物線C的方程與準線l的方程；(3分)(2)求4|AF|+|BF|的最小值；(6分)(3)已知P，M分別是拋物線C與準線l上的動點，若拋物線C在點P處的切線l2交y軸于點Q，且MN=MP+MQ，試判斷點N是否在定直線上，若在，請求出定直線的方程；若不在，請說明理由.(6分)解(1)由E(n，2)是C上一點，且|EF|=5，結合拋物線定義，可得準線l的方程為y=-3，則焦點為F(0，3)，則p2=3所以拋物線C的方程x2=12y.(2)由題可得過點F的直線l1的斜率存在，設過點F的直線l1的方程為y=kx+3，將直線方程與拋物線方程聯立，可得x2=12(kx+3)，即x2-12kx-36=0，Δ=144k2+144>0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數的關系，可得x1x2=-36，則y1y2=(x1x2)2144=9，y又由拋物線定義可得4|AF|+|BF|=4(y1+3)+y2+3=4y1+y2+15≥24y1當且僅當4y1=y2，即y1=32，y2=6故4|AF|+|BF|的最小值為27.(3)設P(x0，y0)，M(x3，-3)，由x2=12y，得y=x212，則y'=則在P(x0，y0)處的切線方程為y-y0=x06(x-x0)，即x0x-6y=6y令x=0，得y=-y0，即Q(0，-y0)，設N(x4，y4)，則MN=(x4-x3，y4+3).又MP=(x0-x3，y0+3)，MQ=(-x3，-y0+