高中數學 加練 專題3　第28練　極值點偏移(二)

第28練極值點偏移(二)(分值：30分)極值點偏移問題的常用求解方法(1)在證明過程中出現的形式不符合和、積型結構時，通過換元構造新函數然后再進行證明.(2)比值代換法：通過代數變形，將所證的雙變量不等式通過代換t=x1x2，1.(15分)已知函數f(x)=x2lnx，若方程f(x)=m有兩個不相等的實根x1，x2，求證：x12+x2證明令a=x12，b=x22，則f(x1)=即x12lnx1=x22ln所以x12lnx12=所以alna=blnb，設函數g(x)=xlnx，x>0，則g(a)=g(b)，g'(x)=lnx+1，所以g'(x)>0?x>1g'(x)<0?0<x<1所以g(x)在0，1e上單調遞減，在求證x12+x22>2e，即證不妨設a<b，則0<a<1e<b則2e-a>令h(x)=g(x)-g2e-x，由h'(x)=g'(x)+g'2e-x=lnx+1+ln2=ln-x-所以h(x)在0，1e上單調遞減，h(x)>h所以g(a)>g2e-a，即g(b又g(x)在1e，所以b>2e-a，即a+b>故x12+x222.(15分)若函數f(x)對其定義域內任意x1，x2(x1≠x2)滿足：當f(x1)=f(x2)時，恒有x1x2=m，其中m為常數，則稱函數f(x)具有性質V(m).(1)若函數g(x)=2x+1x具有性質V(m)，求m；(4分(2)設函數h(x)=x-lnx，h(x1)=h(x2)(x2>x1>0)，①判斷函數h(x)是否具有性質V(m)，若具有，求出m，若不具有，請說明理由；(5分)②證明：x1x22<2.(6(1)解g(x)=2x+1x的定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)對任意的x1，x2∈(-∞，0)∪(0，+∞)且x1≠x2，有2x1+1x1=2x2即2x1-2x2+1x1-1x2=2(x1-x2)+x2-x1x1x因為x1≠x2，所以x1-x2≠0，故1x1故x1x2=12，故m=(2)①解h(x)不具有性質V(m)，理由如下：h(x)=x-lnx的定義域為(0，+∞)，h'(x)=1-1x=當0<x<1時，h'(x)<0；當x>1時，h'(x)>0，故h(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，+∞)上單調遞增，且當x→0時，h(x)→+∞，當x→+∞時，h(x)→+∞，又x2>x1，故0<x1<1<x2，假設函數h(x)具有性質V(m)，即x1x2=m，所以x2=m因為x1-lnx1=x2-lnx2，所以x1-lnx1=mx1-lnmx1=mx1-ln故x1-mx1-2lnx1+lnm=0對于任意的x1∈(0，1)即x1-mx1-2lnx1+lnm恒為0，顯然不可能，故假設不成立，故h(x)不具有性質V(m②證明因為x1-lnx1=x2-lnx2，所以lnx2-lnx1=x2-x1，即x2-下面證明x2-即證x2-x1x1x2>ln令x2x1=t>1，則x2x1-x1x2>lnx2x1?t-1令p(t)=t-1t-2lnt，t>1則p'(t)=1+1t2-2t=t2故p(t)=t-1t-2lnt在(1，+∞)上單調遞增故p(t)>p(1)=0，t-1t-2lnt>0所以x2-x1lnx2-lnx1>x當1<x2≤2時，x1x22=x1x2·x2當x2>2時，h(x1)-h2x22=h(x2)-h2x22=x2-lnx=x2-lnx2-2x22+ln2-2lnx2=x2-3lnx2-2x令q(x)=x-3lnx-2x2+ln2，xq'(x)=1-3x+4x3=x3故q(x)=x-3lnx-2x2+ln2在(2，+∞)又q(2)=32-2ln2=lne32-ln4，其中e3-16>0，故所以q(2)>0，