分式【九大題型】-七年級數學下冊專項提升練（浙教版）

專題5.1分式【九大題型】

【浙教版2024]

＞題型梳理

【題型1分式的定義】...........................................................................1

【題型2根據分式有意義的條件求取值范圍】......................................................3

【題型3分式值為零的條件】....................................................................4

【題型4列代數式（分式）】.....................................................................5

【題型5求分式的值】...........................................................................7

【題型6分式的規律性問題】.....................................................................9

【題型7根據分式的值為整數求未知數的值】.....................................................11

【題型8按要求構造分式】......................................................................13

【題型9根據分式的值的正負求取值范圍】........................................................15

“舉一反三

知識點1：分式的定義

一般地，若A與B均是整式且B中含有字母，那么式子削U做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。

分式滿足的三個條件：①式子一定震的形式；②人與B一定是整式；③B中一定含有字母。

簡單理解：分母中含有字母的式子就是分式。

【題型1分式的定義】

【解題方法】觀察式子的分母是否有字母，若有則是分式，若沒有則不是。

【例1】（24-25七年級?山東淄博?階段練習）在式子過，巴，三，2號中，分式有（）個

xnx+133

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了分式的定義，掌握分式的定義是解題關鍵，注意兀不是字母，是常數.根據分母中是否

含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式，據此即可得到答案.

【詳解】解：式子§，?，京（，子中，分式有共2個，

故選:B.

【變式1?1】（24-25七年級?江蘇徐州?階段練習）下列各式二三、1已不是分式的是

yx+1nx------

【答案】-

【分析】根據分式的定義：形如34中含有字母，這樣的式子叫做分式，進行判斷即可.

D

【詳解】解?：工、今、3中：4、今、0是分式，共3個，

yx+1nxyx+1x

三分母不含字母，不是分式，是整式；

n

故答案為:

n

【點睛】本題考查分式的定義，熟練掌握分式的定義是解題的關健

【變式1-2］（24-25七年級?重慶江北?期中）下列式子是分式的是（）

A22r>X+lC1nu］

A.—x'yB.—C.—D.—Sab

3Jnx

【答案】c

【分折】本題考查分式的識別，涉及分式定義，根據分式的定義對各選項進行分析即可得到答案.熟記分式

定義是解決問題的關鍵.

【詳解】解：A、|%2y是整式，不符合題意；

B、也是整式，不符合題意；

n

C、2是分式，符合題意；

X

D、-5ab是整式，不符合題意.

故選：C.

【變式1-3】（2024七年級?全國?專題練習）在嚀，啰，吟，④鬻，⑤■石中，是分式的有_（填

序號）

［答案］???

【分析】利用分式的定義，依次判斷，其中注意乃是常數.

【詳解】解：由分式的定義知

F不是分式；己是分式；出不是分式；M是分式；7一是分式；

2ana+b5（m-n）

故分式有：M三、彳一，共3個，

aa+b5（m-n）

故答案是：②④⑤.

【點睛】本題考查r分式的定義，解題的關鍵是：理解分式的定義，判斷的依據是看分母中是否含有字母.

知識點2：分式有意義的條件

即要求分式的分母不能為0。即9中，B不為0。若分母能夠進行因式分解，現將分母進行因式分解，

讓每一個因式都不為0。

【題型2根據分式有意義的條件求取值范圍】

【解題方法】結合分母不能為0建立不等式求解，若式子中含有偶次根號，考慮被開方數大于等于0。

【例2】（24-25七年級?上海?期中）當x滿足條件______時，分式總有意義.

------2x-8

【答案】％二4

【分析】本題考查分式有意義的條件，要使分式有意義，則分式的分母不為0,據此即可解答.

【詳解】解：當2%—8,0,即工學4時，分式不有意義.

2x-8

故答案為：XH4

【變式2-1］（24-25七年級?四川絹陽?期末）已知式子工-七有意義，則》的取值范圍是________.

Xx-1

（答案】X*0且匯豐1

【分析】本題考杳了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件：分母不為0是解決此題的關鍵.利用使分

式有意義的條件求解即可.

【詳解】解.：由題意，得且

解得不豐1且%*0.

故答案為:%工1■且4工0.

【變式2-2］（24-25七年級?廣東汩頭?期末）當％=-1時，下列分式沒有意義的是（）

A.—B.—C.—D.—

Xx-1XX+1

【答案】D

【分析】本題考杳了分式無意義的條件，根據分式無意義的條件進行判斷即可，解題的關鍵是理解分母為零

即為分式無意義的條件.

【詳解】解:當％=—1時，x+l=0,

???當》=-1時，分式會沒有意義，

X+1

故選：D.

【變式2-3］（24-25七年級?河南鄭州?期末）若分式已有意義，請寫出一個滿足要求的x的值一

【答案】0（答案不唯一）

【分析】本題考查分式有意義的條件.根據分母不為零的條件進行解題即可.

【詳解】解：要使分式有意義，

即/一1工0,

則x工±1.

故《=0時分式有意義.

故答案為：0（答案不唯一）.

知識點3：分式值為零的條件

分式的值為0的條件為要求分子必須為0,同時要求分母不為0。即[中，A=o,6加。

D

對能分解因式的分子分母進行因式分解，讓分子里面的所有因式的值等于0,讓分母里面所有因式的值不等

于0o

【題型3分式值為零的條件】

【解題方法】利用分子的式子等于0,分母的式子不等于0建立方程與不等式進行計算即可。

【例3】（24-25七年級?甘肅定西?期末）己知某個分式，當％=-1時，分式無意義，當％=2時，分式的值為

0,則該分式可能是（）

八x+2八

A..—x-2B.—C.x—+2D-.—x-2

x+lX+lX-lX-1

【答案】A

【分析】本題考查了分式無意義，分式求值，解題的關鍵掌握分式代值的計算方法.先根據當《=-1時，分

式無意義，排除選項C、D,然后把X=2代入A、B選項計算即可判斷.

【詳解】解：當=一1時，"1=0,則分式號，詈無意義；一=_2=。，則分式等皆有意義,

故排除選項C、D,

當％=2時，三=0，e=：，故選項A符合題意，選項B不符合題意，

x+lx+l3

故選：A.

【變式3-1]（24-25七年級?廣東茂名?期末）若分式，的值為零,則根=

【答案】-2

【分析】根據分式的值為零的條件（分子為零、分母不為零）可以求出m的值.

【詳解】解：根據題意，得

TH4-2=0,且m-200、m+3。0；

解得m=-2；

故答案是：-2.

【點睛】本題考查了分式的值為零的條件.若分式的值為零，需同時具備兩個條件：①分子為0；②分母不

為0.這兩個條件缺一不可，熟記分式值為。的條件是解題的關鍵.

【變式3?2】（24-25七年級?安徽合肥?期末）當％=3時，下列分式中，值為0的是（）

廠】

A，X-3D2X-6cX+3

AHB.77rC,—D,—

【答案】B

【分析】本題考查求分式的值，將I=3分別代入各個選項，進行運算，即可求解.；理解分式無意義，正確計

算是解題的關鍵.

【詳解】解:A.當％=3時，分式無意義，結論錯誤，不符合題意；

B.當％=3時，笨=巖=0,結論正確，符合題意；

C.當％=3時，分式無意義，結論錯誤，不符合題意；

D.當工=3時，詈=|^=|工結論正確，符合題意；

故選:B.

【變式3-3］（24-25七年級?湖北襄陽?期末）當x=_時，分式六三的值為零.

--X2-2X+1

【答案】-1

【分析】本題考查了分式的值為零的條件，完全平方公式.熟練掌握分式的分子為零且分母不為零時，分式

的值為零是解題的關鍵.

由題意知既|一1=0,x2-2x+l=（x-l）2^0,計算求解.，然后作答即可.

［詳解］解：由題意知，|x|-1=0,x2-2%4-1=（x-I）20,

解得，X=±1,XH1,

/.X=—1>

故答案為：—1.

【題型4列代數式（分式）】

【例4】（24-25七年級?廣西賀州?期末）春秋季節，是病毒活躍期，某學校為了做好病毒消殺工作，從市場

上購買了w瓶消毒液，原計劃每天用m瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用J'幾瓶消毒液，則這些消毒液

提前幾天用完？？（)

A.—B.上c.D.---

in+nmmm+nm+nm

【答案】C

【分析】本題考杳列代數式（分式），解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的代數式.求出原計劃用的天

數，再求出實際用的天數，作差即可.

【詳解】解：由題意得，原計劃用的天數為史天，實際用的天數為上天,

m+n

.?.這些消毒液提前e—荒）天用完?

故選:C.

【變式4-1]（24-25七年級.山西晉城.階段練習）已知A、8兩地相距50km,甲、乙兩人分別從A、8兩地

同時出發，相向而行，速度分別為xkm/h、ykm/h,當甲、乙兩人第二次相距a（aV50）km時，行駛時間為

h.

【答案】籌

【分析】本題主要考查了列分式，解題的關鍵是理解題意，根據速度、路程和時間的關系，列出分式即可.

【詳解】解：根據題意可知，甲、乙兩人第二次相距akm時，兩人所行駛的路程之和為（50+Q）km,

???兩人的速度之和為（x+y）km/h,

???行駛的時間為"h.

x4-y

故答案為：器

【變式4-2]（24-25七年級?河北衡水?期中）在一次數學測驗中，甲班有。個人，平均分是切分，乙班有。

個人，平均分是〃分，則這兩個班的總平均成績為（）

、am+bn八

A.巴里分B.尤分C.竺也分D.--------分

a+bm+n

【答案】C

【分析】先求出兩班的總分，再運用求平均數公式即可求出平均成績.

【詳解】解：???甲班有〃個人，平均分是/〃分，乙班有〃個人，平均分是〃分,

???兩班在這次測驗中的總分為：（血。+/b）分,

???兩班在這次測驗中的總平均分是巴竺也

a+b

故選:c.

【點睛】本題考查的是加權平均數的求法.熟記公式是解決本題的關鍵.

【變式4-3]（24-25七年級?河南鄭州.期末）某班組織了綠博園一日游活動，他們共X人租了一輛大巴車，

租金為1000元.出發時又增加了兩人，如果租金不變，那么實際平均每人需分攤的車費比計劃平均每人需

分推的車費少元.

【答案】（哼-物

【分析】本題考杳列分式，根據題意列出代數式可求得結果，準確埋解題意是解題的關鍵.

【詳解】解：計劃平均每人需分攤的車費是：U竺元，

X

當增加了兩人時，實際平均每人需分攤的車費是：當元，

x+2

則實際平均每人需分攤的車費比計劃平均每人需分攤的車費少：（與臺-翳）元，

故答案為：（干一黑）.

【題型5求分式的值】

【解題方法】根據已知條件變形，或用一個字母來表示所有的字母然后帶入求解。

【例5】（24-25七年級?貴州畢節?期末）已知m2-3m-2=0,則2m2-3加+吃值為（）

m2

A.10B.11C.15D.16

【答案】c

【分析】本題主要考查了分式的求值，根據已知變形得到m2一3m=2,進而可得m-N=3,求出巾2+2=

m

13,再將所求代數式變形得到即可答案.

【詳解】解：???m2—3m—2=0,且根據題意有：mH0,

2即

An-3m=2,m—3=—m,

/.-§=32=9,

An2-4+^=9,

2

Am+m2=13,

.*.2TH2—3m+-^7

m2

?c24

=m"-3m+m”H----r

=2+13

=15.

故選：C.

【變式5-1](24-25七年級?遼寧大連?期末)已知彳=5=：，則￡*二.

234yz-------

【答案】；

6

【分析】設;=g=：=k，則有x=2k,產3k,z=4鼠代入即可求解.

【詳解】設;=;=：=k,根據題意有，心0,

則有x=2鼠尸3匕z=4k,

Biixy-x2_(2M)(3/c)-3)2_6k2Tk2_1

'yz~(3/c)(4/c)-12k2-6’

故答案為：

6

【點睛】本題考查為了分式的求值，設;=9=;=k是解答本題的關鍵.

【變式5-2](24-25七年級?福建廈門?期末)已知非零實數K,y滿足y=E，則型吆空的值等于

【答案】5

【分析】本題考查分式的求值，根據、二六，得到無+y=2xy,整體代入法求出分式的值即可.

2X—1

【詳解】解：???y=E，

/2x-l

.*.x+y=2xy,

.2x+xy+2y_2(*+y)+xy_4xy+xy_

??——=5c;

xyxyxy

故答案為：5.

【變式5-3](24-25七年級?山東Fl照?期末)若工+%=3,則-()

Xx4+zz+l

A.8B.1C.8或:D.無法確定

【答案】B

【分析】由工+%=3可得/+吃=7,再把變形為二二一，再整體代入計算即可.

XX2x4+x2+lx2+^+l

【詳解】解：??叱+%=3,

X

.?.(+)2=*

整理得，/+以=7,

故選：B

【點睛】本題主要考查了分式的基本性質及求代數式值，把：+%=3和47T進行正確變形是解答本題的關

鍵.

【題型6分式的規律性問題】

【例6】（24-25七年級?貴州銅仁?期末）按一定規律排列的一列分式依次為：一，前一小焉……（Q工0），

按此規律排列下去，第〃個分式是.（〃為正整數）

【答案】（一1尸船

【分析】本題考杳分式的規律性問題，根據前四個分式總結出規律是解題關鍵.根據題意寫出前四個分式的

變形分別為（一1）1、焉匕，（一1）2、部，（—1）3X品，（—1）4X*，即得出規律，從而得出第

n個分式.

【詳解】解：第1個數為一；=（一D】x就匕，

第2個數為捺=（—l）2x尋，

第3個數為一%二（-1）“*，

第4個數為M=（—l）4x豁，

工第〃個數為（一1尸京懸?

故答案為：7篇.

【變式6-1］（24-25七年級?天津?期末）觀察給定的分式，探索規律：

（I）：，盤,盤,g■,…其中第6個分式是；

（2）一馬，?一芍，…其中第6個分式是________；

yyAy>y1

（3）-y,一提，號，…其中第〃個分式是（n為正整數）.

【答案】梟-黃（T）〃詈

【分析】（1）分子是連續正整數，分母是以x為底，指數是連續正整數，第六個分式的分子是6,分母是x6

（2）分子是以x為底，指數是連續偶數，分母是以y為底，指數是連續奇數，第奇數個分式符號是正，第

偶數個分式符號為負，第六個分式是負號，分子是x%分母是y",

（3）分子是以b為底，第一個指數是2,以后依次加3,所以第n個指數是3n-l；分母是以a為底，指數是

連續正整數，第奇數個分式符號是負，第偶數個分式符號為正，第〃個分式的符號是（-1）",分子是心一，

分母是an,

【詳解】解：（1）分子是連續正整數，分母是以x為底，指數是連續正整數，所以，第六個分式是二，

X6

（2）分子是以x為底，指數是連續偶數，分母是以y為底，指數是連續奇數，第奇數個分式符號是正，第

偶數個分式符號為負，所以，第六個分式是-卑，

y11

<3）分子是以b為底，第一個指數是2,以后依次加3,所以第n個指數是3n-l；分母是以a為底，指數是

連續正整數，第奇數個分式符號是負，第偶數個分式符號為正，第n個符號為（-1）%所以，第六個分式

是（T）審

【點睛】本題考查了數字之間的規律，連續正整數、奇數、偶數和依次遞增3的數字規律，包括符號依次變

化規律，熟練掌握特殊數字之間的規律是解題關鍵

【變式6-2］（24-25七年級?黑龍江哈爾濱?期末）觀察下列一組分式：E，T■一黑，?…根據你的

b3。，5D-57b”

發現，第8個分式是,

【答案】8a

15b8

【分析】本題考查代數式規律，對于分式規律，從三個方面：符號、分子和分母分別尋找，最終得到這組分

式的規律是（-1）"】清而，當〃=8時，代入求解即可得到答案，準確找準分式的規律是解決問題的關鍵.

【詳解】解：首先觀察符號：奇數項為正、偶數項為負，則符號規律是（-1尸+】

觀察分子a,2a,3a,4a,…，則分子規律為TIQ；

觀察分母瓦3爐,563,7/,…，則分母規律為（2n-1）〃；

,這組分式的規律是（-1）*】7；/*?

二當九=8時，（一1尸十】瑞^=*1）8+18a

(2X8-1)匕815匕8

故答案為:

1500

丫5y7丫9v*ll

【變式6-3】⑵-25七年級?云南文山?期末）給定一列分式：?點歹，演，即，聲，…（其中y工°），

按此規律，那么這列分式中的第〃個分式為（）

/n+iy2n-iy2n-i

A.B_____c-........D.-.........

2nyn-2nyn~1?2n-1yn2H-lyH-1

【答案】C

【分析】本題考查分式規律問題，確定分別找準分母系數和次數的規律、分子次數規律是解題的關鍵.分別

判斷系數，字母之間的關系，即可找出答案.

【詳解】解：第一個分式為：5

32X2-l

第二個分式為：熟v二y匕

第三個分式為：普二胃；

4y322y3

第四個分式為：也*2X4-1

2x5-l

第五個分式為：5v

按此規律，那么這列分式中的第N個分式為景點,

故選：C.

【題型7根據分式的值為整數求未知數的值】

【例7】（24-25七年級?江蘇揚州?期末）能使分式竽胃值為整數的整數工有（）個.

2x-3

A.0B.1C.2D.8

【答案】D

【分析】此題主要考查了分式的值，正確化簡分式是解題關鍵.將翳轉化為3+懸，進一步求解即可.

6X+216X-9+303(2X-3)+30?.30

【詳解】解:--------=-------------=-----------------=3-1--------

2x-32x-32x-32x-3

???分式的值為整數,

???昌的值為整數，

次一3

:.2%-3=±1,±2,±3,±5,±6,±10,+15,+30,

???x也是整數，

/.2x3=±1,±3,±5,±15,

解得：x=2,x=l,x=3,x=0,x=4,x=—l,x=9,x=-6：

故選D.

【變式7-1]（24-25七年級?黑龍江牡丹江?期末）若分式々的值是整數，則滿足條件的所有正整數〃?的和

m+1

等于（）

A.9B.8C.7D.5

【答案】B

【分析】本題考查了分式的值，根據分式上的值是整數得m+1=1或2或3或6,求得m的值即可求解，

m+1

根據題意得m+1=1或2或3或6是解題的關鍵.

【詳解】解：???分式白的值是整數，

m+l

???m+1是6的約數，即血+1=1或2或3或6,

解得；7n=0（含去）或1或2或5,

則滿足條件的所有正整數m的和為1+2+5=8.

故選：B.

【變式7-2]（24-25七年級?浙江寧波?期末）若》及三都是正整數，則所有滿足條件的工的值的和是.

2x+l-------

【答案】10

【分析】本題考杳了使分式值為整數時未知數的整數值，一元一次不等式的應用，根據題意建立不等式并求

解是解題關鍵.根據無為整數，且目的值也為正整數，列出不等式，求出工的取值范圍，再枚舉求出符合題

2x+l

意的”的值，即可求解.

【詳解】解：及^都是正整數,

.?盧工1,

2r+l

B|Jx+8>2x+1,

解得：x<7,

x+8?.7-x

故當x=1時,-----=1H--------1+舒=1+2=3,

2x+l2x+l

x+8t,7-x

當x=2時,-----=1H1+缶=1+1=2,

2x+l------2X+1

x+8_7r_.7-3_4

當％=3時,-----=1+-------=11+----=1+一,

2X+12X+16+17

7x7-4

當x=4時，x+81.-1?1J

2x+l2x+l8+13

x+87-x.7-5-.2

當x=5時，----=1H=1+=1H,

2x+l------2x+l-------10+1-------11

x+81.7-x17-61」1

當x=6時，----=1H--1+=1H,

2X+1-------2X+1-------12+113

X+8,,7-X,7-7

當x=7時，d

2x+l2X+114+1

故所有滿足條件的工的值有:1、2、7,

，所有滿足條件的工的值的和是14-2+7=10.

故答案為：10.

【變式7-3】（24-25七年級?四川成都?階段練習）已知、為整數,且分式^的值也為整數'則滿足條件的所

有為的值之和為.

【答案】0

【分析】根據x為整數，分式的意義一一分析可能成立的情況，選出工的值再求和即可.

【詳解】解：

_9X+3-10

3X+1

=3--,

3x+l

「X為整數，分式笑三的俏也為整數，

3x+l

???當X=0時，分式=-7,符合題意；

當《=-1時，分式值=8,符合題意;

當《=-2時，分式值=5,符合題意;

當x=3時，分式值=2,符合題意；

???滿足條件的工的值為0、一1、一2、3,

所有滿足條件的數的和為0-1-2+3=0,

故答案為：（）.

【點睛】本題考查了分式的值，解題的關鍵是讀懂題意能按要求分情況討論分式的值.

【題型8按要求構造分式】

【例8】（24-25七年級?上海?期中）請寫出一個同時滿足下列條件的分式:

（1）分式的值不可能為零;

（2）分式有意義時，”的取值范圍是。工-3：

（3）當。=0時,分式的值為-1.

你所寫的分式為

【答案】三（答案不唯一）

a+3

【分析】根據所滿足的條件解答即可：（1）分式的分母不為零、分子不為零；（2）分式有意義，分母不等

于零；（3）將。二。代入后，分式的分子、分母互為相反數.

【詳解】解：根據（I）分式的值不可能為零，可得分式的分子不等于零；

根據（2）分式有意義時，。的取值范圍是-3,可知當。=-3時，分式的分母等于零；

根據（3）當a=0時，分式的值為-1,可知把x=0代入后，分式的分子、分母互為相反數.

綜上可知，滿足條件的分式可以是：三，

a+3

故答案為：言（答案不唯一）.

a+3

【點睛】本題考查了分式的值、分式有意義的條件、分式的值不為零的條件等，掌握分式的分母不能為。是

解題的關鍵.

【變式8-1］（24-25七年級?江蘇南京?期中）請你寫出一個值恒為正數的分式.

【答案】47（答案不唯一）

【分析】根據條件寫出分式即可.

【詳解】解：一個值恒為正數的分式為：丸（答案不唯一）.

故答案為：大（答案不唯一）.

【點睛】本題主要考查了分式，解題的關鍵是注意兩個條件：①宜恒為正數；②是分式.

【變式8-2］（24-25七年級?上海浦東新?期末）從整式7T,2,a+3,Q-3中，任選兩個構造一個分式.

【答案】:（答案不唯一）

a+2

【分析】本題考查分式的定義.分式的定義：如果4,8表示兩個整式，且8中含有字母，貝哈稱為分式，根

據定義選取含有字母的整式作為分母即可構造分式.

【詳解】解：2和Q+3可構造分式三，答案不唯一，以Q+3或a-3為分母均可.

a+3

故答案為：j（答案不唯一）.

【變式8-3］（24-25七年級?安徽安慶?期中）有一個分式，三位同學分別說出了它的一些特點，甲；分式的

值不可能為0：乙：分式有意義時的取值范圍是洋±1：丙：當x=?2時，分式的值為1.請你寫出滿足上述

全部特點的?個分式:

3|x