2025-2026學年高一數學下學期第三次月考卷01【全國測試范圍：人教A版必修第二冊第六章~第九章】（全解全析）

高一數學下學期第三次月考卷01（全國通用）

全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教A版必修第二冊第六章?第九章。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.若復數z=UL則彳=（）

l+i

A^25/2.V2.

A?—+—1BR.-------------1C.>/2+>/2iD.&-后

2222

【答案】A

【分析】先根據復數的模計算公式和復數的除法運算求出復數人再根據共加復數的定義即可得解.

+i|_&(1-_V2V2.

【詳解】

l+i-7+7-(l+i)(l-i)-^F1

所以八爭爭.

2.在。中，內角4民。所對的邊分別為凡瓦。，若cosC=],q=J5,c=l，則/二)

A￡D-n^—

A-6B-I353

【答案】D

【詳解】由cosC=①，Ce(O,冗)，則C=2,故sinC=:，

262

p:_1_

由正弦定理-7=—77,可得A_arinC-S'6

sinAsinCsin4--------------；—--

c12

又a>c，則。>C,故力二g或4，

1/18

若/=々，有4+C=T<7t,符介題意；

若4=與，有4+。=葛<兀，符合題意;

?,兀is2九

練二：^=-—.

3.某工廠抽檢了100個零件，并統計了這些零件的直徑（單位：mm）數據，得到如下表格:

直徑/mm464748495051525354

頻數58121520181264

由表可知這100個零件的直徑的第60百分位數為（）

A.49.5mmB.50mmC.50.5mmD.51mm

【答案】C

【分析】先確定共有60個數小于等于50,再結合百分位數定義求結論.

【詳解】因為被抽檢的零件中，直徑小于或等于50mm的零件共有5+8+12+15+20=60個，

目］00x幽=60,

100

所以這100個零件的直徑的第60百分位數為史/=50.5mm.

4.已知P為空間中一點，〃?，〃，/為互不相同的直線，?,?。榛ゲ幌嗤钠矫妫瑒t下列推理中正確的

是（）

A.Pea,Pw00ac0=PB.IHm,m〃anI"a

C.aly,hy,aofl=l=>lLyD.IIm,/_L〃，加ua,〃uan/_Le

【答案】C

【分析】利用平面基本事實判斷A；利用線面平行的判定判斷B；利用面面垂直的性質，線面垂直的判定判

斷C；利用線面垂直的判定判斷D.

【詳解】對于A：由尸ea,Pc夕，則尸eac夕，兩個平面相交于一條直線，而不是個點,故A錯誤:

對于B：由/〃加，則可能有/〃a,或/ua,故B錯誤;

對于C：由。，7,017,貝iJ/,乙故C正確；

對于D：由/_L/〃，/_L〃，〃ua,則可能有/_La,或/ua,或/〃a,故D錯誤.

故透:C

5.正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,高為。，則其側面積為（）

A.20B.24C.12&D.24出

2/18

【答案】B

【分析】作出輔助線，求出側高，得到側面積.

【詳解】如圖，過點反尸分別作E〃14C，FP1AC,垂足分別為，，尸,

其中后/二2板，/C=4及，故HP=EF=26,

所以4"=CP=J5，

乂EH=FP=6由勾股定理得.4E=JZ〃2+￡7/2=j2+3=J5，

AR-FN,_________

其中46=號一=1,由勾股定理得EG=dAE-G』，

故梯形AENB的面積為("」+"')'一=0吆2=6,

22

其側面積為4x6=24.

故選：B

6.在。中，團=2而，CA=3CE，設而=2而+〃而，則義+4=()

1166

A.-B.—C.-D.—

5555

【答案】A

【分析】通過向量的線性運算，將目標向量用基底表示，再利用平面向量基本定理建立方程組求解參數,

進而得到結果.

【詳解】由前=2而,得。為8c中點，故而=；(1石+Z).

由5=3赤，^CE=-CA,^BE=BC+CE=(7C-AB)--AC=-AC-AB.

將布、族代入方=4而+〃說,

得AB—A十dC")十’'(W-ABj

,整理得益A2

3/18

5一1431

由荏與衣不共線，得;0，解得彳=3，〃=一=，故義+〃=:

2+&0555

123

7.已知球O是正三棱錐尸-48C的外接球，若正三棱錐P-Z8c的高為正,底邊AB=則球心。到

平面力8。的距離為（）

A血

V-z?-----

4B?T4D-T

【答案】A

【分析】設正三棱錐P-48C的底面中心為M,。為4c的中點,連接力。，顯然球心。在直線P歷上，由

。/:0⑺+力/可得外接球半徑，從而得解.

【詳解】設正三棱錐尸-43C的底面中心為A/,。為的中點,連接4。,

P

顯然球心0在直線上，設球。的半徑為心因為

所以球心O到底面48C的距離為OM=|-R|,AM=-AD=-ABx—=\,

332

[^OA2=OMZ+AM2,得相=（我一/?>+1。

所以球心。到平面48。的距離為&-乎=4.

故選：A

8.如圖，。是以48為直徑的半圓和△48C圍成的區域內一動點（含邊界），若力8=4,40=3,且

AB1AC,則蘇.定的最大值為（）

4/18

C.18D.24

【答案】C

【分析】利用極化恒等式，取中點化數量積為|而從而轉化為動點到定點的最大值問題，然后借助

圖形分兩類來求最大值，通過比較可產生最大值.

取/C中點為“，由萬斤二（麗I歷）｛而I沅）=（而I歷）（而礪）=閑2礪1

因為XC=3,所以方?定=|麗『一（，

若P在A/BC圍成的區域內一動點（含邊界），當尸與8重合時尸時取到最大值，

網=李，

若尸在以48為直徑的半圓區域內一動點（含邊界），

<041+2=爐

+2=-+2=-,當尸為直線OM與半圓的交點時等號成立，

22

所以蘇.定=|兩『一'二?—：=18,

故源?定的最大值為18，

故選：C.

5/18

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知一組大小不等的數據占。=1,2,…的平均數為工，方差為.小,標準差為s,極差為明若

乂=-2七+3,則下列關于數據乂。=12…的結論正確的是()

A.平均數為-21+3B.方差為4s2C.標準差為-2sD.極差為-2。

【答案】AB

【分析】根據平均數，方差，標準差，極差的定義及性質可得答案.

【詳解】因為一組大小不等的數據%(i=L2,…的平均數為平而乂=-2玉+3,所以數據乂仔=1,2,…

的平均數為-2工+3,所以A正確；

數據%(=1,2,…的方差為「由方差的性質可得數據必(i=l,2的方差為4s2,所以B正確;

標準差為方差的算術平方根，取非負數，所以數據乂1=1,2,…的標準差為歷'=2卜|,所以C錯誤：

極差為最大值減最小值，所以原數據極差。＞0,新數據的極差應為2a,所以D錯誤.

10.已知卬Z2為復數，下列說法正確的是()

A.|馬々2卜|訃同

B.Zj-z2=z1+z2

C.若I%+“=卜+1|,則N1=4

D.若馬，Z2是方程x2-2x+5=0的兩根,則z；+z；=-6

【答案】AD

【分析】設Z=a+bi,Z2=c+di(a/,c,deR),應用復數的模的計算公式，復數的乘法運算法則判斷A；

取4=l+i.z?=2+i,代入檢驗判斷B：取z=-l+i,Zz=-l-i判斷C由方程復數根的性質、韋達定理

判斷D.

【詳解】對于A選項，設z1=a+》i,z2=c+Ji(a,b,c,t/eR),

z1-z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(a(J+〃c)i,

所以%?z2|二^(ac-bd)2+(ad+bc)2=\la2c2+b2d2+a2d2+b2c2

6/18

憶?Hz2|=\la2+b2?\lc2+d2='(片+⑹依+d，)=\la2c2+b2d2+a2d2+b2c2

所以LzkkHzzI，A選項正確：

對于B選項，不妨取z1=l+i,z2=2+i,則[一公=(l-i)一(2-i)=-l,

由4+Z2=3+2i,得Z]+Z2=3-2i,顯然3-z2=4+z2不成立，故B選項錯誤；

對于C選項,若區+1|=%+1],不妨取Z[=-l+i,z2=-l-i,

此時|4+1|=1|=%+1|=同，但2=4不成立，故C選項錯誤；

對FD選項,若不Z2是方程爐-2%+5=0的兩根,則根據韋達定理可知Z1+Z2=2,ZR=5,貝J

2

z；+z；=(z)+Z2)-2z)z2=-6,故D選項正確.

11.已知正方體48CO-44GA的棱長為2,平面/C4和平面。口與體對角線8烏分別交于點E,F,

下列說法正確的有()

A.平面〃￡和平面G色都垂直8。

B.E,尸是線段8A的三等分點

C.異面直線力。與4。所成的角為5

4

D.N為4G中點，動點、MwB\B,則力M+MW最小值為婦

【答案】ABD

【分析】根據線面垂直的判定定理可判斷A的真假；利用體積法求8￡的長度可判斷B的真假；作出異面直

線所成的角，求角的大小，可判斷C的真假；將空間問題轉化為平面問題，利用兩點之間線段最短，可判

斷D的真假.

【詳解】對A：如圖，

。C

AB

連接B。，因為底面18c。為正方形，所以AC工80,

7/18

因為48。。一44￡4為正方體，所以，平面力8CZ),4Cu平面4BCD,所以4C_L。2,

又BD,DD】u平面BDD「BDfWR=D,所以NC_L平面

又8〃u平面8。烏，所以8烏_1_.4。,

同理可得8烏J.44.

因為4(7,力4u平面"C，ACnABt=A,所以平面44。,

同理，平面4G。，故A正確;

對B：由A選項可知，BEJ_平面/&C,

ill'I-/6c_2SA/AIOB|C?BE,

又y…=腺…=IS"?即=；X；X2X2X2=1jc邛X(2閭2=20,

g??r3%-ABQ42G

所以而=丁

又8烏=2百，所以BE=(BR,所以E為BR的三等分點.

同理尸也是3。的三等分點.故B正確;

對C：因為4?！?C,所以N4C4為異面直線力C與4。所成的角.

因為△43C為等邊三角形，所以乙4C與二5,所以C錯誤;

對D：如圖,

將平面BBC。展開，與平面84/彳在同一平面上,

則當點4",N三點共線時，4M+MN的值最小，為萬萬=而，故D正確.

故選：ABD

8/18

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.如圖所示，水平放置的四邊形48CQ的斜二測直觀圖為矩形若H8'=2,BC'=1，則四邊形

【分析】利用斜二測畫法畫出原圖，求出。C,即可求解.

【詳解】如圖,運用斜二測畫法畫出原圖,原圖為平行四邊形488.

得O'C=，

所以OC=2O'C'=2五，

所以平行四邊形的面積為2x2a=4e.

13.已知ZU8C中，。為8c的中點，且|德+就卜|而-衣|,/4C8=。，則向量而在向量而上的投影

向最為.

【答案】

【分析】根據平面向量數量積的運算性質，結合投影向量的定義進行求解即可.

【詳解】郵+園=辟一次再+配『=（刀一衣y

="+就2+2而衣=宿+恁=2萬?衣=4凝正=0=礪衣=0

=>ABLAC因此△48C是直角三角形，如下圖所示：

過。作OO_L48,乖足為D,因為力8/4C,所以OO//4C,

9/18

又因為。為4c的中點，所以。為的中點,

所以月。=,力8,

2

所以向量方在向量而上的投影向量為

14.落霞與孤鷲齊飛，秋水共長天一色，滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》

而名傳千古，如圖所示，在滕王閣旁的水平地面上共線的三點48,。處測得其頂點尸的仰角分別為

30\60;45°,且48=6C=80米，則滕王閣的高度0P=米.

C

【答案】16V15

【分析】設OB=h,由邊角關系可得。。=JJ/?,0A=3h,OB=h,OC=?,在△08。和△044中,

利用余弦定理列方程，結合cos/08C+cos/084=0可解得。的值，進而可得0尸長.

pnpc

【詳解】設。8=〃，因為NP8O=6(T,tan60°=—=—,則=

OBh

又N21O=3(y,ZPCO=45°,

「匕.OA=—0°==3/zPOGi

所以tan300，℃=-=V3/z,

—tan45

3

在AOBC中，OC2=OB2+BC1-2OB-8c.cosZOBC，

UP3//=/?2+8()2-2x80〃cosNOBC①，

在20AB中，OA2=OB2+AB2-2OB-ABcosNOBA,

即9h2=h2+8()2_2x801?cosNOBA②，

10/18

因為cosNOBC+cosNOBA=0,

所以由①②兩式相加可得：12A2=2/r+2x802,解得：力=16石，

則0P=力=16而.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知向量5=(—2,2)j=(l,m),且5+月與向量(2,6)共線.

(1)求助的值;

(2)若不-篇與2/-B垂直，求實數二的值.

【答案】(1)〃?=—5

⑵”噌

【分析】(1)根據平面向量線性運算坐標表示公式，結合平面向最共線的坐標表示公式進行求解即可；

(2)根據平面向量垂直的性質，結合平面向最數最積的運算性質進行求解即可.

【詳解】(1)b+a=(-tm+2).

因為5+1與(2,6)共線,所以6x(-l)-2(m+2)=0,解得加=一5；

(2)由(1)知、=(1，-5)，

所以同=20炳=后,展5=-2乂1+2乂(-5)=-12,

由6-4與2G-B垂直，

得他一44(2"5)=2方2—(1+2小/+痂=0,

所以16+12(1+24)+264=0,解得a=一1:4.

16.(15分)

某學校高一年級某班男同學與女同學的人數之比為5:4,在學校的一次月考中，某數學教師為分析本班的成

績，作了如下統計：

女同學成績頻數分布表

成績[95,105)[105,115)[115,125)[125,135)[135,145]合計

11/18

(1)估計本班女同學成績的平均數F(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)：

(2)根據男同學成績的頻率分布直方圖，比較男同學成績的平均數與中位數的大??；

(3)已知女同學成績的方差為169.男同學成績的方差為104.估計該班全體同學成績的方差(平均用四舍五

入取整數計算，方差結果取整數).

參考公式：總體劃分為女生和男生2層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數和樣本方差

分別為/〃，1〃，y，學，記總的樣本平均數和樣本方差分別為了，Y，則

■>/〃「>>z_\2_IHF>>z_\2

S-=----$;+(》一◎)+----5；+(y-(o).

m+〃L」加+〃L-」

【答案】(1)117

(2)平均數小于中位數

(3)135

【分析】(1)利用頻率分布表的性質求解平均數即可.

(2)利用頻率分布直方圖的性質求解平均數和中位數，再比較大小即可.

(3)先求出樣本平均數，再結合樣木方差公式求解方差即可.

…,八…100x3+110x4+120x10+130x2+140x1

【詳解](])由題后得x二-----------------------------------

300+440+1200+260+1402340

=------------------------=-----=117.

2020

(2)因為小長方形面積和為1,

所以10乂(0.012+。+0.056+0.016+4)=1,解得〃=0.008,

設平均數為》，中位數為叭

由題意得亍=100x0.012x10+110x0.008x10

1Z/18

+12()x0.056xl0+13()x0.016xl()+140x0.008x10,

=12+8.8+67.2+20.8+11.2=120,

因為0.012x10+0.008x10+0.056x10>0.5,

所以中位數n在口15,125）中,

由中位數性質得0.012X10+0.008XI0+0.056X3-U5)=0.5,

1685-1685168516805八

解得「W---120=-----------------=—>0

14141414

可得中位數大于平均數.

（3）因為男同學與女同學的人數之比為5:4,

且女生有20人’所以男生有助號=25人,

20x117+25x120以119

由題意得而=

20+253

則樣本方差為一=五”天］169+(117-119)1+j淙［104+(12(1-119『卜135.

?/JJ?/U?/JJJ

17.（15分）

如圖，在四棱臺力BC'O-48cA中，。"1平面48。。，兩底面均為正方形，AB=6,。。=5,

力圈=2,點E在線段8。上，且DE=5EB.

（1）證明：RE//平面48G.

（2）求點名到平面4BG的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵且

3

【分析】（1）連接BQ,8d與4cl交于點R連接8R根據已知證明AE//8/，再由線面平行的判定證

明結論:

13/18

（2）根據一知求出相關線段長，再由等體積法的求點面距離.

【詳解】（1）如圖，連接8Q,與4G交于點R連接8R

因為四邊形4片GA是正方形，44=2,

所以HQ=2&,D\F=正,

因為四邊形月6C。是正方形，AB=6,所以8。=6>/1.

因為DE=5EB,所以EB=>BD=g,

6

所以EB=RF,又EBHD\F,

所以四邊形〃尸為平行四邊形，

所以［EffBF,

因為。￡包平面48G，8尸u平面48g,

所以平面48G.

（2）因為在四棱臺—中,兩底面均為正方形,

所以4B=GB,所以8/_L4G，

所以BF=EDI=qDQ2+DE2=業+（5何=56，

所以工詔=gX4Gx^F=lx2&X5石=5幾，

1,1,

又5BeX2X2

“A向j=2-J15.1=2-2=2,

設點4到平面48G的距離為h,

由等體枳法得y」的，Bp|x2x5=1x5V6/z,解得/?=",

333

所以點及到平面48G的距離為彳.

14/18

18.(17分)

在△48C中，角48,C所對的邊分別是。也。，且(c-24)cosA=6(2cos/-JJsinC).

⑴求“；

(2)若。是邊力。上靠近力的三等分點，。=2,40=逋，求ZU8C"的面積；

3

(3)若8。是/48c的角平分線，a=2,80=半，求人的長.

【答案】(1)6=5

⑵4

2

⑶打

Z\

【分析】(1)根據正弦定理邊化角，結合三角恒等變換得sin=1,再根據三角函數性質即可求得

I61

B=i;

(2)由題意麗=|0+進而根據向量模的關系求得c=l,再計算面積即可；

(3)根據題意,結合根麗=2-+￡皿得c=l,再根據余弦定理求解即可.

【詳解】⑴解：因為(。一2a)cos8="2cos4-JJsinC),

由正:弦定理可得sinCcos8-2sinAcosB=2cos/sin8—GsinbsinC,

所以sinC(VJsinA+cos?)=2(sin/lcos?+cos4sinA),

所以2sinCsin|e=2sin(4+8)=2sinC,

又因為0＜。＜兀，所以sinCwO,

所以sinL+?1=l,又因為0＜8＜兀，所以B+”但，?

\6J6166

所以8+w,故B=工;

623

15/18

(2)解：因為。是邊/C上靠近4的三等分點，

所以筋=或+；就；(萬+苑)=10+g》，

22

所以詼2=(20+_1團￥=iBA^BABC^BC=^-(ABA+4BABC+BC],

133J9999\/

又因為a=2,BD=空,B=[，

33

+4c+4)J(

所以C2+C+1),

UPc2+c-2=0>解得c=l或c=-2(舍去),

所以S制.=—tzcsinZ?=—x2xlxsin—=—

2232

(3)解：已知8。平分N/8C,且8==，故NABD=NCBD普,

由SJBC=S“BD+S,CBD得：；qcsin8=c-8Osin/+7a?BOsin^；

2;2?o2o

將4=2,80=^^代入得—x2xcx^-=—xcx^^-x—+—x2x^^-x—?解得c=l

322232232

.,,1

?；b'=a~+c"-laccos4=4+1—4x—=5—2=3

2

b=\/3

19.(17分)

如圖，在四棱錐