2026年四川省廣安市前鋒區高考數學二模試卷（附答案解析）

2026年四川省廣安市前鋒區高考數學二模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

I.（5分）設集合4={%WN]一1B={xEN\品工0}，則A「B=（）

人I。

A.{1,2}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

2.（5分）設z=2?i（其中i為虛數單位），則14Tl=（）

\[541^r-r—

A.—B.-----C.V5D.VTO

22

3.（5分）已知向量2=（0,2）,b=（3,x）,若￡1（%-3%）,則向量：與1的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

4.（5分）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知。=串鬻，2s比力=3sinB,則△ABC

1-COS/l

最大內角的余弦值為（）

1111

A.--7B.—5C.—D.一

4242

5.（5分）在△ABC中，已知AB=1,AC=3,cos5+sinC=l,則BC的長為（）

3+2V216A/6-46+4^64+6x/6

A.-----------B.---------C.---------D.---------

5555

6.（5分）已知函數/（x）=2?-歷在（上，務上有最大值，則。的取值范圍是（）

A.（-5,-2）B.（2,5）C.（-1,-2）D.（2,1）

7.（5分）已知拋物線C：）?=4x的焦點為尸，點尸（凡2/）（＞1）是C上的動點，以尸產為直徑作圓M,

再作圓M的與直線P/平行的兩條切線，兩條切線與}，軸的交點分別為4,B,則|A用的最小值為（）

A.1B.4C.4V2D.8

8.（5分）已知86（0,y）,則二7+二7-2石￡而。的最小值為（）

乙sinz0cos"

A.8B.12-2V2C.6D.5

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

（多選）9.（6分）下列說法正確的是（）

A.數據2,3,4,7,8,10,12的第70百分位數是7.5

B.若一組數據的標準差為0,則這組數據中的每個數值均相等

C.若事件4,B相互獨立，則P(AUB)=p(A)+P(8)-PCA)P(8)

D.若事件A,B,C兩兩獨立，則尸(ABC)=P(A)P(3)P(C)

(多選)10.(6分)如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正三角形43c沿著x軸連續滾動(滾動時

無滑動)，若頂點A在滾動中恰好經過坐標原點，設頂點8(x,)，)滿足函數關系式)，=/J),則下列

判斷正確的有()

%

_△_____________.

BA\x

A./(I)=V3

B.函數y=/(x)圖象的對稱軸方程為x=1+6比蛇Z

C.不等式f(x)N6的解集為［-1+6-3+6幻,kEZ

D.直線y=與函數y=/S)的圖象恰有3個交點

(多選)11.(6分)如圖，在棱長為1的正方體A8CO-AIBCIDI中，點￡為A。中點，動點P滿足4；P=

AA^B.+nA^,(九fiE[0,1]),則()

A.若點尸到直線DD\和B\C\的距離相等，則。點的軌跡為拋物線的一部分

B.存在這樣的點尸使“_L平面AiB。

C.若點。9點4重合，則三棱錐E-8CP的外接球半徑為手

7T反

D.若BP與BBi的夾角為二,。為線段引)1上的動點，則|PQ|+浮|BQ|的最小值為企

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2%-》6的展開式中的常數項為.

13.(5分)設S〃為等比數列伍“｝的前〃項和，若S2+〃2=0,54=5,則〃〃的最小值為.

14.(5分)已知圓臺的下底面半徑是上底面半徑的2倍，母線長為6,若一個球與該圓臺的上下底面和側

面均相切，則球與圓臺的側面切點所形成的曲線的長為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）在△A3C中，角A,B,C的對邊分別為小b,c,且2Aosc=2a+c.

（I）求以

<2）已知〃=l,6=夕，求AC邊上的高.

16.（15分）某高?？爝f站統計了某年度新學期前5天的取件人數y（單位：人），得到如下樣本數據:

天數（序號）X12345

每口取件人數y120100807055

（1）計算樣本相關系數「，并據此判斷變量x與），之間線性相關關系的強弱（結果保留兩位小數）；

（2）從這5天中隨機選取3天，記X為所選日期中取件人數小于100的天數，求X的分布列與數學期

望.

注：（I）樣本Cxi,>7）（i=l,2,3,…，〃）的相關系數r=——）.

k）二1（勺一刃2卜力=1d一為2

（2）參考數據：V260?16.12.

17.（15分）已知｛如｝是等差數列,41+43=10,44-42=6,數列｛加｝的前〃項和為S〃，且S”=2加?2.

（1）求｛〃“｝、｛加｝的通項公式；

（2）若0=冊?人…nGN，.求數列｛cn｝的前〃項和7k

18.（17分）如圖，4BC。是邊長為4的正方形，平面ABC。，A”〃。區且OE=34尸=3.

（1）證明：BF〃平面DEC；

（2）求直線8C與平面8E尸所成角的正弦值：

（3）線段AC上是否存在一點P,使得點P到平面8E廠的距離為噤？若存在，求線段AP的長；若

不存在，請說明理由.

19.（17分）某次投籃游戲，規定每名同學投籃〃次（〃22,〃€N*）,投籃位置有A,8兩處，第一次在4

處投，從第二次開始，若前一次未投進，則下一次投籃位置轉為另一處；若前一次投進，則下一次投籃

位置不變.在A處每次投進得2分，否則得0分；在8處每次投進得3分，否則得0分.已知甲在A,

31

3兩處每次投進的概率分別為￡且每次投籃相互獨立.記甲第2aw〃，蛇N*）次在A處投籃的概

率為必，第女次投籃后累計得分為X4.

（1）求〃2,〃3;

（2）求X2的分布列及數學期望；

（3）求｛/"｝的通項公式；

2026年四川省廣安市前鋒區高考數學二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

(5分)設集合i4={%EN|-lWxW3},B=[xEN\昌W0}，則AAB=()

1.人ID

A.{1,2}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

x—1

【解答】解：由二^。，解得-3<E,

得到8={0,1},

又4={.rWN|-1WXW3}={0,1,2,3},

故An8={(),1}.

故選：B.

2.（5分）設z=2-i（其中i為虛數單位）,則后1=（

V5V10

A.一B.一C.V5D./10

22

z2—i(2—i)(l+i)31

【解答】解:=-4--i?

z-1-1-i-22

1孚

H2X2

y+-I

2Z

故選

3.(5分)已知向量2=(0,2),7=(3,%),若1_1@一3辦，則向量二與b的夾角為(

A.30°B.45°C.60°D.135°

【解答】解：向量a=(0,2)?b=(3,x),

則[3：=(3,x-6),

又bl(b-3a),所以9+x(x-6)=0,解得x=3,所以b=(3,3),

；、ab642

所以cosVa,

又因為0。工vZb><180°,

所以G，b)=45°.

故選:B.

4.(5分)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c="當然，2sinA=3sin3,則△ABC

1-COSA

最大內角的余弦值為（）

11

A.B.-2C.-D.-

42

【解答】解：記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c

已知c=1^COo/i，2sinA=3sinB,

則c(1?cosA)=b+acosC,

結合正弦定理得:sinC(1-cosA)=sinB+sinAcosC,

所以sinC-sin/?=siriAcosC+cosAsinC=sin(A+C),

因為人+B+C=ir,所以sinB=sin(A+C),

則sinC-sinB=sinB,即sinC=2sinB,

由正弦定理,得c=2b,

又2sirb4=3sin8,同理可得2a=3”,

所以a：b：c=3：2：4,故C為△ABC的最大內角,

a2+b2-c222+32-421

設8=2,所以cosC=

2ab2x2x3-4,

故選：A.

5.(5分)在△ABC中，已知49=1,AC=3,cosB+sinC=1,則3c的長為()

34-2V21676-46+4、年4+676

A.-------B.--------C'-D.------

555

【解答】解：在△A3C中，已知AB=1,4c=3,

由正弦定理黑=煞

=2R，

得*—=所以si〃C=Js出8,

sinBAC33

又cosB+sinC=1,所以sinC=1-cosB,

1

所以一sinB=1-cosB,即sinB=3-3cos8,

3

又sin28+cos2B=1,所以(3-3cosB)2+cos25=1,

整理得,5COS2B-9cosB+4=0.即(5cosB-4)(cosB-1)=0,

因為(0,n),所以-IVcosBVI,所以cosB-lHO,

所以5cos區-4-0,所以cos9=己,

由余弦定理AC2=BC2+AB2-2BC*ABcosB,

8

十

5一J^-4xlx(-8)

得一1BC-8=0,解得BC4±6后

5~

因為BOO,所以BC=七零W,

KJ

則8c的長為一4+6^^6.

故選：D.

6.(5分)已知函數/(x)=2A2f2g在弓，》上有最大值，則〃的取值范圍是()

A.(-5,-2)B.(2,5)C.(一-2)D.(2,1)

【解答】解：已知函數/(x)=2?+/〃x-2ar在(上，》上有最大值，

2

a,、4,14x-2ax+l、八

/(x)=4x+-人-2a=------人-------,x>0,

設g(X)=4^-2ax+\t其開口向上，對稱軸為％=?

因為函數/(x)=2?+阮r-2心在(上,》上有最大值，

所以方程g(X)=0一定有兩個不相等的實數根，設為用，.V2且KIVX2，

根據韋達定理可得與?g=1>0,即兩根同號，

則有A=4J-16>0,解得a>2或a<-2,

當a>2時，對稱軸％=*>與則要使函數/(x)在(上，務上有最大值，

1>0

解得2Vav|,

?+1<0

此時/(x)在(去,/)上單調遞增，在(修，務上單調遞減，

則函數/(x)="+阮r?2ax在(上,》上有最大值，故2<aV搟符合，

當。<-2時，對稱軸*=3<一］此時方程g(x)=0的兩根xi,北均為負根,

1乙

則g(x)>0在G，》上恒成立，即函數/(x)單調遞增，沒有最大值，

則。的取值范圍是(2,|).

故選：D.

7.(5分)已知拋物線C：)，2=4x的焦點為尸，點尸(落2/)(/>1)是。上的動點，以PP為直徑作圓M,

再作圓M的與直線尸產平行的兩條切線，兩條切線與y軸的交點分別為A,B,則IA8I的最小值為（）

A.1B.4C.4V2D.8

【解答】解：已知拋物線Cy=?,

則拋物線焦點坐標為〃（1，0）,

又點、P（z2,2r）（r>l）是。上的動點，

由拋物線的定義可知|PQ=尸+1,

設兩個切點分別為。，E,則|D￡]=|PQ,

記直線PF的傾斜角為a,由題意可得乙48E=^-a,

i.i.i..\DE\\DE\\DE\\PF\..Icos2a+sin2a..~5—

則團AD團=倉隔=施與=段=話=IP/?Jas2a=仍nc/171+〃M叫

Xtana=kPF=

所以|4B|=(t2+1)=埠?，

J(t2-l)~1

設u=P-1,

則〃>0,MB|=Q：2)2="^+422+4=8,

當且僅當〃=2,即亡=百時等號成立，所以|48|的最小值為B.

故選：D.

42

8.（5分）已知。e（。，分則嬴詔+,-2缶加。的最小值為（）

A.8B.12-272C.6D.5

4sm20+4cos20,2cos20+2sin26'凡八

【解答】解：原式二——+—---------2?皿

—2y/2tan8+6,tan0>0,

令尸tan。6(0,+8),6e(Q,今,

令/⑺=2t2+^-2^t+6,AO,

//x_4t4_2岳3_8_?-々)(4口+23+4什4&)

J⑺=p=p'

易知/(V2)=0,當￡6(0,夜)時，f(/)<0,此時/(，)單調遞減；

te(V2,+8)時，f(r)>0,/(z)此時單調遞增，

故/(1)〃〃〃=/(&)=8.

故選:A.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

(多選)9.(6分)下列說法正確的是()

A.數據2,3,4,7,8,10,12的第70百分位數是7.5

B.若一組數據的標準差為0,則這組數據中的每個數值均相等

C.若事件A,8相互獨立，則P(AU8)=P(A)+P(8)-PCA)P(B)

D.若事件A,B,。兩兩獨立，則尸(ABC)=P(A)P(8)P(C)

【解答】解:對于A,數據2,3,4,7,8,10,12共7個，

???7X70%=4.9,???第70百分位數為第5項數據8,故A錯誤;

對于4,一組數據的標準差為0,由標準差的定義可知這組數據中的每個數值均相等，故B正確；

對于C,由概率的加法公式可知P(AUB)=P(A)+P(B)-P(APB),

;事件A,8相互獨立，：.P(ADB)=P(A)P(8),

:?P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B),故C正確：

對于。，設樣本空間。={“，力，c,d}含有4個等可能的樣本點，A={a,b],B={a,c},C={〃，d},

則P(A)=P⑻=P(C)=I，P(AB)=P(AQ=P(BC)=J,

乙■

:.P(AB)=P(4)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(AC)=P(B)P(C),

即A,B,。兩兩獨立，

但是PQ48C)=?P(4)P(8)P(C)=g,

，事件A，B,C兩兩獨立時，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不一定成立，故。錯誤.

故選：BC.

(多選)10.(6分)如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正三角形ABC沿著x軸連續滾動(滾動時

無滑動)，若頂點A在滾動中恰好經過坐標原點，設頂點B(x,)，)滿足函數關系式y=/S),則下列

判斷正確的有()

B.函數)，=/(八)圖象的對稱軸方程為八=1+6&,kWZ

C.不等式f(%)NV5的解集為［-I+6A,3+6和,kwZ

D.直線y=￥%與函數y=/J)的圖象恰有3個交點

【解答】解：如圖，B在圖中一段一段的扇形上運動，

4：初始時A在原點，當x=l時，y=V5即為正三角形的高，

所以/(1)=6，故A正確；

B：由圖可知/(x)的一條對稱軸為x=l,周期為6,每經過半個周期均為/Cr)的對稱軸,

所以函數的對稱軸方程為x=1+3七kez,故8錯誤；

結合圖象可知：直線y=辛％與函數1y=/'(》)的圖象恰有3個交點，故。正確.

故選：ACD.

(多選)11.(6分)如圖，在棱長為1的正方體4BCD-AI8CIDI中，點E為A。中點，動點P滿足A；P=

(九nE[0,1]),貝IJ()

A.若點P到直線DD\和51C1的距離相等，則P點的軌跡為拋物線的一部分

B.存在這樣的點〃使上〃_L平面A18。

C.若點尸與點4重合，則三棱錐E-8C尸的外接球半徑為手

jrF5

D.若BP與BBi的夾角為二,Q為線段8。1上的動點，則|PQ|+殍|8Q|的最小值為您

4J

【解答】解：以。為原點，以OA,DC,。。所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如圖

所示：

由“；P=。；51+陷》1，入、即[(),1],則點P位于上底面4/力。。1上，

對于A,連接PQ1,在正方體48CO-AiBCiOi中，則于Di_L平面AiBi。。】,

因為PDiu平面AIBICIDI,所以PDI_LODI,即點尸到。Qi距離即為PDi,

過點P作PFXBiCi,則點P到8Q的距離即為區網,

所以|PQi|=|PP],即點P到定點Qi的距離等于到定直線Z?iCi的距離相等，

根據拋物線的定義，點P的軌跡為拋物線在上底面小小內的一部分，選項人正確；

對于8,設P(x,y,1),其中xW[0,1],yE[0,1],則俞=(x-1,1),

又因為D.i=(1,0,1),而=(1,1,0),

設平面480的法向量為5=(a,b,c),則[2。/1=。+，=0,

\nDB=a+b=0

取a=1,得b=-1,c=-1,所以八=(1,-1,-1),

1

rt%一tV11

若必_L平面44。，則“〃"，即一-=—=解得工=一，

1-1-12

因為,隹[0,1],所以不存在這樣的點夕使￡2，平面4/。，選項4錯誤；

對于C,當點P與點4重合時，則三棱錐E-BCP即為三棱錐E-BC4,

1

因為點￡是A。的中點，所以E(-，0,0),且8(1,1,0),C(0,1,0),Ai(1,0,1),

2

設三棱錐E-BC4的外接球的球心為O(刈，和，zo),半徑為R,

由|O￡12=|OQ2,可得a。一｝2+y2+z2=x2仇_i)2+z已

3

--

整理得-加+4=—2.yo+l,4

2

由|0。2=|0用2,得高+仇-1)2+z2_(&_1)2+(y0-I)+zg,

整理得2Ao=1,所以xo=

由|。。2=|。①|2,得就+(y1)2+z2_(%_1)2+y2+(z-1)2,

1

-

2

1355155

代入

所以

所以

加?

=-=f-一

一

-W一*-

子

夕

k，

2?>ZO288

所以外接球的半徑為R=0C=J(1-0)2+(|-l)2+(|-0)2=竽，選項C正確；

對于￡>,由P(x,y,1),其中.隹[0,1],ye[O,1],且5(1,1,0),81(1,1,1),

可得訪=(%一1,y-\,1),BBt=(0,0,1),

T—

因為BP與BB\的夾角為￡可得cos]=型r=/「°=苧，

418Pli8811J(x-l)2+(y-l)2+lxl

所以—1)2+(y—1)2+1=魚,即(X-1)2+(y-1)2=1,其中大10,1],yG[0,1J,

所以點P在以Bi為圓心，半徑為1的圓弧上，

連接BIDI,由對稱性知，當點尸位于上時，|PQ|取得最小值，

過點。作QG_L8。于點G,在直角^OGB中，sincQBD=sin乙D1BD=母,

所以,BQ|=|QG|，所以附|+堂|BQ|=|PQ|+|QG|,

在平面BODiBi中，過點P作PM上BD于點M,則|PQ|+|QG121PMi=|OQi|=1,選項。錯誤.

故選：AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2%-：）6的展開式中的常數項為-160.

【解答】解：（2%-1）6展開式通項為：Tj+1=Cr.（2x）6-.（_?=（-1/-26T.Cr.--2r,

令6-2r=0,得r=3,

則常數項為（一1）3x23x叱=-160.

故答案為：-160.

13.（5分）設S“為等比數列｛“〃｝的前〃項和，若S2+42=0,54=5,則一的最小值為-4.

【解答】解：根據題意，等比數列｛m｝,設其公比為”，

若S2+a2=ai+2a2=0,則q=宗=一:,

而§4=。葉_：）=I.=5=>=5=>?!=8,所以%[=8,（一扔T，

2

易得，當〃為奇數時，如>0,當〃為偶數時，an<0,

易得當〃=2時，斯最小，即〃〃的最小值為02=8x（-｝2-1=-4.

故答案為：-4.

14.（5分）已知圓臺的下底面半徑是上底面半徑的2倍，母線長為6,若一個球與該圓臺的上下底面和側

面均相切，則球與圓臺的側面切點所形成的曲線的長為學兀.

-3-

【解答】解：根據題意，如圖,作圓臺的軸截面:

由于圓臺的下底面半徑是上底面半徑的2倍，不妨設上底面半徑為/,

即HD=DE=r,則FA=AE=2r,且CD=2HD,AB=2FAt

由4。=八￡：+。七=4/+。"=6,即3r=6,則有r=2,則48=4r=8,

由空=CD1“rPDPD1

—=~,即-------=-=>PD=6,

PAAB2PD+ADPD+62

?EGPEPD+DE

所以—=—=-------白可得EG=￥，

ABPAPD+AD1/0

1p

球與圓臺的側面切點所形成的曲線是以EG為直徑的圓，其半徑為5萬。=

8

-=136

故要求曲線的氏度/=37T

故答案為：-II.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為小h,c,且2Aosc=2a+c.

(1)求&

(2)已知〃=1,b=V7,求AC邊上的高.

【解答】解:(1)因為2Aosc=2a+c,

由正弦定理得2sin8cosc=2siM+sinC,

在△A8C中，sin4=sin(8+C)=sin8cosc+cos8sinC,

整理可得(2cosB+l)sinC=0.AABC中sinOO,

所以cosB=-I，

且0V8<m所以B=等；

(2)a=l,b=V7,

由余弦定理可得：序=?2+c2-2accos8,則7=1+c?+c,

所以c=2(負值舍)，設AC邊上的高為/?,

貝！JSAABC=/acsinB=ghb="6,

即lx2x^=V7/b

解得〃=苧.

16.（15分）某高校快遞站統計了某年度新學期前5天的取件人數y（單位：人），得到如下樣本數據:

天數（序號）X12345

每日取件人數），12010()807055

（1）計算樣本相關系數「，并據此判斷變量X與），之間線性相關關系的強弱（結果保留兩位小數）；

（2）從這5天中隨機選取3天，記X為所選日期中取件人數小于100的天數，求X的分布列與數學期

望.

注：(1)樣本(xi,>7)(i=l,2,3,…，〃)的相關系數r=——1.

八飛1(—)2卜飛1(7「刃2

(2)參考數據：V260?16.12.

【解答】解：(1)根據題干數據可得：1+2+：+4+5=3,120+10010+70+55=85,

1=1

￡T(Xi-x)(yi-y)=(-2)x35+(-1)X15+0X(-5)+1x(-15)+2x(-30)=-160,

5

22222

；=1(xt-x)=(一2)2+(-1)+0+l+2=10,

5

i=1(%-y)2=352+152+(-5)2+(-15)2+(-30)2=2600,

5

H（一r）仇一刃-160-160-160

=?-0.99,

3=1（f）2卜：=1（兀一刃2710v^600-lOs/2601612

故變量x與），之間具有很強的線性相關關系;

（2）由題易知，離散型隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,

P(X=1)=^=3x1_3

=f

C5~w~To

3x2_3

P(X=2)=-^=

P(>=3)=穿=lxl_1

_io_=Io,

C5

X的分布列為:

X23

P331

10510

□Q11O

E(X)=1X^+2X1+3X1L=^=1.8.

17,(15分)已知(。〃｝是等差數列，41+43=10,04-42=6,數列｛加｝的前〃項和為品，且S〃=2加-2.

(I)求｛”“｝、｛仇｝的通項公式；

(2)若G=。屋%,nWN*,求數列｛cn｝的前〃項和7〃.

【解答】解：(1)設等差數列伍〃｝的公差為4由0+43=10,04-42=6,

得歸*+*10個解得｛：=?,因此—(〃-1)d=3〃-l；

數列｛壇｝中，Sn=2bn-2,當〃22時，Sn.\=2bn.\-2,

兩式相減得-Sn-\=2bn-2bn-IfBpbn=1bn-1,而〃l=Sl=2bi-2?解得h\=2,

n

因此數列｛加｝是以2為首項，2為公比的等比數列，bn=2.

n

所以｛〃“｝、｛瓦｝的通項公式分別為4”=3〃?1,bn—2.

(2)由(1)知，Cn=(3n-l)-2n,

則7；=2?21+5?22+8?23+11?24+…+(3n-1)-23

于是27；=2-22+5?23+8-244--+(3n-4)-2n4-(3n-1)-2n+1,

2nn+1

將兩式相減得：-7n=2?2I+3(2+23+24+…+2)-(3n-1)-2

=4+3-22(客1)-(3n-1)-2n+1=(4-3n)-2n+1-8,

則〃=(3九-4)?281+8,

所以數列｛Cn｝的前n項和G=(3n-4)-2n+1+8.

18.(17分)如圖，/18CO是邊長為4的正方形，。E_L平面A4cO,AF//DE,且。E=3A尸=3.

(1)證明：B/〃平面DEC；

(2)求直線8C與平面BE/所成角的正弦值；

(3)線段AC上是否存在一點尸，使得點P到平面8EF的距離為空？若存在，求線段AP的長；若

21

不存在，請說明理由.

E

【解答】解：（1）證明：如圖，在QE上取點P,使。尸=從尸=1,連接尸P,PC,

因為A尸〃g|JAF//DP,且A尸=/）P,故四邊形是平行四邊形，

則有尸尸〃A。且尸尸=A。，因為48CD是正方形，則有BC/74D且8C=AD,

故尸尸〃8c且/P=8C,

所以四邊形FPC8是平行四邊形，所以8尸〃PC,

又平面DEC,PCu平面DEC,

所以4F〃平面DEC；

（2）由題意可設。為原點，DA,DC,6E為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如卜佟I：

則。(0,0,0),4(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),E(0,0,3),F(4,01),

BE=(-4,-4,3),BF=(0,-4,1),

設平面8￡產的法向量m=（x,y,z）,

則丁呼―4y+3z=0,取薪=Q,i,4),

m?BF=-4y+z=0

又直線族的方向向量為吃=(