積的變化規(guī)律（例3）教學(xué)設(shè)計(jì)

積的變化規(guī)律（例3）教學(xué)設(shè)計(jì)一、基本信息授課課題：積的變化規(guī)律（例3）授課學(xué)段：小學(xué)四年級(jí)授課學(xué)科：小學(xué)數(shù)學(xué)授課版本：人教版四年級(jí)上冊(cè)第四單元課時(shí)安排：1課時(shí)課型定位：新授課（規(guī)律探究模型課）設(shè)計(jì)者身份：深諳課程改革理念的資深教研員、學(xué)科帶頭人二、課程標(biāo)準(zhǔn)的深度解讀與核心素養(yǎng)導(dǎo)向【重要】本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)嚴(yán)格遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的要求，屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域“數(shù)量關(guān)系”主題的內(nèi)容。課標(biāo)指出，學(xué)生要在具體情境中探索數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并理解規(guī)律，發(fā)展模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。積的變化規(guī)律不是簡(jiǎn)單的計(jì)算技巧，而是函數(shù)思想在乘法中的具體體現(xiàn)，是連接算術(shù)思維與代數(shù)思維的重要橋梁。核心素養(yǎng)培育指向：數(shù)感：在觀察因數(shù)與積的變化中，感受數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，增強(qiáng)對(duì)數(shù)字之間關(guān)系的敏感度。量感：通過(guò)面積、總價(jià)等實(shí)際問(wèn)題，將抽象的積的變化規(guī)律賦予現(xiàn)實(shí)意義，形成初步的量感。推理意識(shí)：經(jīng)歷“觀察—猜想—驗(yàn)證—?dú)w納—應(yīng)用”的全過(guò)程，有依據(jù)地進(jìn)行類比推理和歸納推理，這是本課最重要的素養(yǎng)目標(biāo)。【核心】模型意識(shí)：將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言（文字或字母）表達(dá)出來(lái)，初步建立“一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)變化引起積變化”的數(shù)學(xué)模型。三、教材與學(xué)情的深度剖析（一）教材分析本節(jié)課是人教版四年級(jí)上冊(cè)第四單元《三位數(shù)乘兩位數(shù)》中的例3。教材編排了“6×2=12，6×20=120，6×200=1200”和“20×4=80，10×4=40，5×4=20”兩組算式。第一組體現(xiàn)“一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘幾，積也乘幾”；第二組體現(xiàn)“一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)除以幾，積也除以幾”。教材通過(guò)兩組算式的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生從正反兩個(gè)維度完整地把握規(guī)律，并將兩條規(guī)律概括為“一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘（或除以）幾（0除外），積也乘（或除以）幾”。例3后面配套的“做一做”及練習(xí)九中的習(xí)題，既有直接應(yīng)用規(guī)律的填空，也有解決實(shí)際問(wèn)題（如長(zhǎng)方形面積擴(kuò)大問(wèn)題），體現(xiàn)了知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。（二）學(xué)情分析知識(shí)經(jīng)驗(yàn)：學(xué)生已經(jīng)掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，具備基本的計(jì)算能力。同時(shí)，在之前的學(xué)習(xí)中（如乘法口訣、商不變的性質(zhì)前測(cè)），學(xué)生有過(guò)初步觀察算式找規(guī)律的體驗(yàn)，但缺乏系統(tǒng)的探究規(guī)律的方法論。認(rèn)知特點(diǎn)：四年級(jí)學(xué)生正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡的關(guān)鍵期。他們能夠感知具體的數(shù)字變化，但要抽象出一般性的規(guī)律并用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言表述，存在一定的難度。【難點(diǎn)】對(duì)于“0除外”這一特殊情況的處理，需要通過(guò)反例讓學(xué)生深刻理解其必要性。生活經(jīng)驗(yàn)：學(xué)生在購(gòu)物（單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)）和求面積（長(zhǎng)×寬=面積）等情境中，已經(jīng)積累了“一個(gè)量變化，另一個(gè)量隨著變化”的生活經(jīng)驗(yàn)，這為本課的探究提供了豐富的感性支撐。四、教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)定位（一）教學(xué)目標(biāo)1.【基礎(chǔ)】引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、計(jì)算、比較，自主發(fā)現(xiàn)并掌握“一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘幾或除以幾（0除外），積也乘或除以幾”的變化規(guī)律。2.【核心】經(jīng)歷“舉例驗(yàn)證—?dú)w納總結(jié)—解釋應(yīng)用”的探究過(guò)程，初步獲得探索數(shù)學(xué)規(guī)律的一般方法和經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展觀察能力、類比分析能力和初步的歸納概括能力。3.【情感】在探究活動(dòng)中感受數(shù)學(xué)的規(guī)律美和簡(jiǎn)潔美，體驗(yàn)成功的樂趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。（二）教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：【高頻考點(diǎn)】發(fā)現(xiàn)并理解積的變化規(guī)律，即一個(gè)因數(shù)不變時(shí)，積隨另一個(gè)因數(shù)的變化而變化。教學(xué)難點(diǎn)：【難點(diǎn)】【易錯(cuò)點(diǎn)】全面、準(zhǔn)確地用語(yǔ)言表述規(guī)律（特別是“乘幾或除以幾”“0除外”的限定）；初步體會(huì)函數(shù)思想，理解變與不變的辯證關(guān)系。五、教學(xué)準(zhǔn)備與課時(shí)規(guī)劃（一）教學(xué)準(zhǔn)備教師：多媒體課件（PPT）、學(xué)習(xí)任務(wù)單（含導(dǎo)學(xué)案與分層作業(yè)）、實(shí)物投影儀、計(jì)算器（備用驗(yàn)證）。學(xué)生：完成課前導(dǎo)學(xué)案、課本、練習(xí)本。（二）課時(shí)規(guī)劃（40分鐘）1.課前導(dǎo)學(xué)，喚醒經(jīng)驗(yàn)（3分鐘）2.情境創(chuàng)設(shè)，提出問(wèn)題（2分鐘）3.合作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律（18分鐘）4.深化理解，拓展應(yīng)用（10分鐘）5.分層練習(xí)，鞏固反饋（5分鐘）6.課堂總結(jié)，評(píng)價(jià)反思（2分鐘）六、教學(xué)實(shí)施過(guò)程（核心環(huán)節(jié)）（一）課前導(dǎo)學(xué)，喚醒經(jīng)驗(yàn)（基于導(dǎo)學(xué)案的反饋）教師提前一天下發(fā)導(dǎo)學(xué)案，布置前置性小研究，旨在喚醒學(xué)生對(duì)“變化”的感知。導(dǎo)學(xué)案內(nèi)容：【我探路】1.算一算，填一填，想一想，你發(fā)現(xiàn)了什么？6×2=（）6×20=（）6×200=（）我發(fā)現(xiàn)：第2個(gè)算式與第1個(gè)比，因數(shù)6（），因數(shù)2乘了（），變成了20，積12乘了（），變成了（）。2.根據(jù)上面算式的規(guī)律，不計(jì)算直接寫出答案。25×4=10025×8=25×（4×2）=100×（）=（）25×12=25×（4×3）=100×（）=（）【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算和填空，讓學(xué)生初步感知“一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大，積也擴(kuò)大”的現(xiàn)象，為課堂的深度探究做好鋪墊，體現(xiàn)了以學(xué)定教的思想。（二）情境導(dǎo)入，聚焦問(wèn)題師：同學(xué)們，課前我們做了一組關(guān)于文具單價(jià)的計(jì)算。請(qǐng)看大屏幕（課件出示文具店情境）：筆記本每本6元，買2本多少錢？買20本呢？買200本呢？生列式：6×2=12（元），6×20=120（元），6×200=1200（元）。師：觀察這三個(gè)算式，它們之間有什么聯(lián)系？因數(shù)發(fā)生了什么變化？積又發(fā)生了什么變化？這其中是否隱藏著某種固定的規(guī)律呢？今天我們就來(lái)當(dāng)一回小小數(shù)學(xué)家，一起探究“積的變化規(guī)律”。（板書課題：積的變化規(guī)律）【設(shè)計(jì)意圖】利用學(xué)生熟悉的購(gòu)物情境，將抽象的算式賦予現(xiàn)實(shí)意義，激發(fā)探究欲望，并直接引出本課的核心研究素材。（三）合作探究，建構(gòu)模型（例3教學(xué)）1.縱向觀察，探尋變化（以第一組算式為例）師：請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，重點(diǎn)觀察第一組算式（6×2=12，6×20=120，6×200=1200）。按照“從上往下”和“從下往上”的順序，看看因數(shù)和積分別是怎樣變化的？（學(xué)生小組討論，教師巡視指導(dǎo)，參與交流）小組匯報(bào)1（從上往下看）：生：我們發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)因數(shù)6始終沒變。第二個(gè)因數(shù)從2到20，是乘了10，積就從12到120，也乘了10。再?gòu)?0到200，第二個(gè)因數(shù)又乘了10，積從120到1200，也乘了10。師引導(dǎo)板書：不變×10×106×2=126×20=1206×200=1200師：誰(shuí)能把我們的發(fā)現(xiàn)用一句話概括？生1：一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘幾，積也乘幾。小組匯報(bào)2（從下往上看）：生：從下往上看，第一個(gè)因數(shù)還是不變。第二個(gè)因數(shù)從200到20，是除以10，積從1200到120，也是除以10。再?gòu)?0到2，第二個(gè)因數(shù)除以10，積也從120除以10得到12。師引導(dǎo)板書：不變÷10÷10師：這又說(shuō)明了什么？生2：一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)除以幾，積也除以幾。【重要】師點(diǎn)睛：同學(xué)們太了不起了！從不同的觀察方向發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)看似不同但本質(zhì)相連的規(guī)律。無(wú)論是“乘幾”還是“除以幾”，都是說(shuō)因數(shù)變化了，積也跟著發(fā)生相同的變化。2.橫向驗(yàn)證，確認(rèn)規(guī)律（以第二組算式為例）師：剛才的發(fā)現(xiàn)僅僅是從一組算式中得來(lái)的，是不是所有的乘法算式都有這樣的規(guī)律呢？我們還需要進(jìn)行驗(yàn)證。請(qǐng)看第二組算式（20×4=80，10×4=40，5×4=20）。師：這一次，請(qǐng)大家先獨(dú)立觀察，看看這一組算式中，是哪個(gè)因數(shù)不變？另一個(gè)因數(shù)和積又是如何變化的？生獨(dú)立觀察后匯報(bào)：這一組是第二個(gè)因數(shù)4不變，第一個(gè)因數(shù)在變。從上往下看，20到10是除以2，積從80到40也是除以2；從下往上看，5到10是乘2，積從20到40也是乘2。師：這再一次驗(yàn)證了我們剛才的發(fā)現(xiàn)——一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘（或除以）幾，積也乘（或除以）幾。3.補(bǔ)充特例，完善規(guī)律（攻克難點(diǎn)）師：同學(xué)們，規(guī)律似乎已經(jīng)浮出水面了。但老師有個(gè)疑問(wèn)：這個(gè)“幾”可以是任何數(shù)嗎？如果另一個(gè)因數(shù)乘0或者除以0，會(huì)怎么樣？生思考、辯論。生1：如果乘0，比如6×2=12，要是另一個(gè)因數(shù)2乘0得0，那算式就是6×0=0，積12乘0也得0，好像也對(duì)？生2：不對(duì)，不能除以0，因?yàn)?不能做除數(shù)。師：數(shù)學(xué)講究嚴(yán)謹(jǐn)。雖然乘0在形式上似乎也說(shuō)得通，但我們研究規(guī)律的目的是為了更好地理解和應(yīng)用。如果另一個(gè)因數(shù)變成0，整個(gè)乘法算式就失去了我們研究的“變化”的意義，變成了特殊的0乘問(wèn)題。更重要的是，在“除以幾”的情況下，0絕對(duì)不能出現(xiàn)。所以，為了確保規(guī)律的普適性和嚴(yán)謹(jǐn)性，我們要在規(guī)律后面加上一個(gè)重要的補(bǔ)充——（0除外）。（板書補(bǔ)充：0除外）師生共同完善規(guī)律：一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘幾或除以幾（0除外），積也乘或除以幾。4.符號(hào)表達(dá)，抽象建模師：數(shù)學(xué)追求簡(jiǎn)潔美。你能不能用字母或者符號(hào)來(lái)表示這個(gè)規(guī)律？假如用a、b、c來(lái)表示三個(gè)數(shù)，你能寫一寫嗎？生嘗試：a×b=c（a不變，b×m，則c×m）（a不變，b÷m（m≠0），則c÷m）【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)遵循“觀察—猜想—驗(yàn)證—?dú)w納—表達(dá)”的科學(xué)探究路徑。通過(guò)兩組算式的對(duì)比，排除了偶然性；通過(guò)討論“0除外”，培養(yǎng)了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性；通過(guò)符號(hào)表達(dá)，初步滲透了代數(shù)思想。整個(gè)探究過(guò)程全員參與，思維層層遞進(jìn)，是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在。【核心】（四）分層練習(xí)，應(yīng)用規(guī)律（基于分層作業(yè)的設(shè)計(jì)）為了滿足不同層次學(xué)生的需求，練習(xí)設(shè)計(jì)分為三個(gè)層次：1.基礎(chǔ)性練習(xí)——直接應(yīng)用（面向全體，鞏固新知）（1）【熱點(diǎn)】先算出第一題的積，再直接寫出下面兩題的得數(shù)。（教材P51做一做第1題改編）12×3＝3648×5＝2408×50＝400120×3＝（）48×50＝（）8×25＝（）120×30＝（）48×500＝（）4×50＝（）（2）判斷下列說(shuō)法是否正確。①兩個(gè)數(shù)相乘，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘5，積也乘5。（）②兩個(gè)數(shù)相乘，一個(gè)因數(shù)除以4，另一個(gè)因數(shù)不變，積也除以4。（）③兩個(gè)數(shù)相乘，一個(gè)因數(shù)乘10，另一個(gè)因數(shù)除以10，積不變。（）（此題預(yù)伏下節(jié)課的擴(kuò)展內(nèi)容，引發(fā)認(rèn)知沖突）2.綜合性練習(xí)——變式應(yīng)用（面向大多數(shù)，培養(yǎng)能力）（3）【難點(diǎn)】解決問(wèn)題。（教材P51做一做第2題）一塊長(zhǎng)方形綠地，面積是200平方米，寬是8米。如果長(zhǎng)不變，寬增加到24米，擴(kuò)大后的綠地面積是多少？（引導(dǎo)學(xué)生分析：長(zhǎng)不變，寬從8米增加到24米，相當(dāng)于寬乘了3，根據(jù)積的變化規(guī)律，面積也應(yīng)該乘3。列式：24÷8=3，200×3=600平方米）（4）根據(jù)第一題的算式，直接寫出后面算式的得數(shù)。18×24=432（18×2）×24=（）18×（24÷4）=（）3.拓展性練習(xí)——開放探究（面向?qū)W有余力，發(fā)展思維）（5）想一想，填一填。如果A×B=600，那么：（A×5）×B=（）A×（B÷3）=（）（A÷2）×（B×2）=（）（此題將兩個(gè)因數(shù)同時(shí)變化，為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下伏筆）（6）生活數(shù)學(xué)：媽媽在超市買了5千克蘋果，花了40元。如果蘋果的單價(jià)不變，買15千克這樣的蘋果需要多少錢？請(qǐng)你用今天學(xué)的規(guī)律來(lái)解決，并說(shuō)說(shuō)你的思路。【設(shè)計(jì)意圖】分層作業(yè)設(shè)計(jì)確保了“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。基礎(chǔ)題當(dāng)堂反饋，確保達(dá)標(biāo)；綜合題強(qiáng)調(diào)分析過(guò)程，培養(yǎng)模型應(yīng)用意識(shí)；拓展題引導(dǎo)思維向縱深發(fā)展，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和延伸。（五）課堂總結(jié)，評(píng)價(jià)反思師：同學(xué)們，今天這節(jié)課，我們當(dāng)了一回“數(shù)學(xué)家”。回顧一下，我們是怎樣發(fā)現(xiàn)“積的變化規(guī)律”的？生：我們先觀察算式，發(fā)現(xiàn)了變化；然后舉例驗(yàn)證；接著歸納出了規(guī)律；最后還用規(guī)律解決了問(wèn)題。師：總結(jié)得太棒了！“觀察—驗(yàn)證—?dú)w納—應(yīng)用”正是我們探索數(shù)學(xué)奧秘的“金鑰匙”。希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中，繼續(xù)用好這把金鑰匙，去開啟更多的數(shù)學(xué)寶藏。七、板書設(shè)計(jì)積的變化規(guī)律（例3）【示例組1】6×2=12【示例組2】20×4=80↓不變↓×10↓×10↓÷2↓不變↓÷26×20=12010×4=40↓不變↓×10↓×10↓×2↓不變↓×26×200=12005×4=20規(guī)律：一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘（或除以）幾（0除外），積也乘（或除以）幾。符號(hào)表達(dá)：a×b=c（a不變，b×m→c×m）（a不變，b÷m（m≠0）→c÷m）八、導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)（課前使用）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)預(yù)習(xí)，能正確計(jì)算給定的乘法算式。2.嘗試觀察算式中因數(shù)和積的變化，提出自己的初步發(fā)現(xiàn)。【預(yù)習(xí)任務(wù)】1.溫故知新：口算下面各題。15×2=25×4=12×5=150×2=25×8=24×5=2.探究準(zhǔn)備：閱讀課本第51頁(yè)例3。看第一組算式：6×2=12，6×20=120，6×200=1200。想一想：如果讓你接著寫一道算式，你會(huì)寫什么？6×（）=（），你的理由是什么？3.我的疑問(wèn)：通過(guò)預(yù)習(xí)，你還有哪些不明白的地方？或者你想提出一個(gè)什么樣的問(wèn)題考考大家？___________________________【設(shè)計(jì)意圖】導(dǎo)學(xué)案重在“導(dǎo)”，引導(dǎo)學(xué)生提前接觸新知，帶著思考和問(wèn)題進(jìn)課堂，變被動(dòng)接受為主動(dòng)探究。九、分層作業(yè)設(shè)計(jì)（課后使用）【A層·基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】（必做）1