2025-2026學年江蘇省揚州市邗江區第一中學高一下學期5月份月考數學試卷-含解析

/數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知m，n是兩條不重合的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則2.已知分別為三個內角所對的邊，若，則（）A. B. C.或 D.3.已知向量，，，則m的值為（）A.0 B.-2 C.0或-2 D.0或24.圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖是半圓，那么此圓錐的高是（）A.1 B. C. D.25.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則此三角形的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6.若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.7.如圖，在長方體中，，，點，分別為，的中點，點為長方形內一動點（含邊界），若直線平面，則點的軌跡長度為（）A.2 B. C. D.8.在中，內角所對的邊分別為是的外心，，則的面積為（）A. B.6 C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.下列說法不正確的是（）A.圓柱是將矩形旋轉一周所得到的幾何體B.平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形C.過球上任意兩點有且僅有一個大圓D.圓錐的軸截面是所有過頂點的截面中面積最大的一個10.下列說法正確的是（）A.若非零向量滿足，則B.C.若為單位向量，則D.向量可以作為平面內的一個基底11.已知棱長為1的正方體，點是面對角線上的任一點，則的值可能是（）A. B.2 C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，，，若，則________.13.如圖，水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的周長為______．14.如圖，在棱長為6的正方體中，分別為的中點，則平面截正方體所得截面的面積為_____四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，垂直于面，，，，為棱的中點．（1）求證：平面．（2）求直線與面所成的角的正弦值．16.已知向量，，，．（1）當時，求實數的值；（2）當時，求向量與的夾角的余弦值．17.已知，.（1）求和的值；（2）若，為銳角，求的值；（3）若，為銳角，求角.18.如圖1，在直角梯形中，，，，，以為軸將梯形旋轉180°后得到幾何體W，如圖2，其中，分別為上下底面直徑，點P，Q分別在圓弧，上，且∥.（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距離；（3）若平面與平面夾角的正切值為，求的長度.19.在銳角中，角所對的邊分別為，記，，滿足．（1）求角；（2）若，且滿足，求的取值范圍

數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知m，n是兩條不重合的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則答案：C解析：思路：根據空間中點線面的位置關系逐一判斷即可.解答過程：對于A：若，，則或或，故A錯誤；對于B：若，，則或，故B錯誤；對于C：若，，則，故C正確；對于D：若，，則或與異面或與相交，故D錯誤.故選：C.2.已知分別為三個內角所對的邊，若，則（）A. B. C.或 D.答案：A解析：思路：利用正弦定理求得，結合三角形邊角關系即可求出角.解答過程：由正弦定理，，可得，因，則，故.故選：A.3.已知向量，，，則m的值為（）A.0 B.-2 C.0或-2 D.0或2答案：D解析：思路：直接利用向量的坐標運算和向量的模，求出結果解答過程：向量，，故，所以，解得或2．故選：D．4.圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖是半圓，那么此圓錐的高是（）A.1 B. C. D.2答案：C解析：思路：根據給定條件，求出圓錐母線，進而求出圓錐的高.解答過程：由圓錐的底面半徑為1，得側面展開圖半圓弧長為，因此該半圓半徑為2，即圓錐的母線長為2，所以圓錐的高為.故選：C5.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則此三角形的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形答案：B解析：思路：首先邊化為角，再結合三角恒等變換，求得，即可判斷三角形的形狀解答過程：移項得，可化為，展開得，整理得，又，所以，即，則為直角三角形.故選：B．6.若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用得到，再利用投影向量的公式代入求出的等式即可求得結果.解答過程：因為，所以兩邊平方得到：，在方向上的投影向量為，故選：D7.如圖，在長方體中，，，點，分別為，的中點，點為長方形內一動點（含邊界），若直線平面，則點的軌跡長度為（）A.2 B. C. D.答案：C解析：思路：根據給定條件，過點作出與平面平行的長方體部分截面，確定點的軌跡即可.解答過程：在長方體中，取的中點，連接,由點為的中點，得，則四邊形是平行四邊形，，又，則四邊形是平行四邊形，于是，取中點，在上取點，使得，連接，而，則四邊形為平行四邊形，，而平面，平面，于是平面，由為的中點，得，而平面，平面，則平面，又平面，因此平面平面，由直線平面，點平面，則點在平面與平面的交線上，從而點的軌跡是線段，而，所以點的軌跡長度為.故選：C8.在中，內角所對的邊分別為是的外心，，則的面積為（）A. B.6 C. D.答案：D解析：思路：先化簡得，再由，得到，再由余弦定理得，從而得面積.解答過程：因為，故由得，由正弦定理得，又，故，因為，所以，故，所以.因為，所以.在中余弦定理得，，所以.所以的面積為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.下列說法不正確的是（）A.圓柱是將矩形旋轉一周所得到的幾何體B.平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形C.過球上任意兩點有且僅有一個大圓D.圓錐的軸截面是所有過頂點的截面中面積最大的一個答案：ACD解析：思路：A舉反例，以矩形的一條對角線為軸旋轉；B由平行六面體的定義可判斷；C由球的大圓定義可知；D圓錐的軸截面是等腰三角形，其截面三角形面積為，其中的大小決定面積的大小.解答過程：以矩形的一條對角線為軸，旋轉所得到的幾何體不是圓柱，故A錯誤；由平行六面體的定義可知，平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形，故B正確；當球面上兩點是球的直徑的端點時，過這兩點的大圓有無數個，故C錯誤；過圓錐頂點的截面為等腰三角形，且兩腰長為母線長，設該等腰三角形頂角為，則截面三角形面積為，顯然當，面積S最大，故當圓錐的軸截面三角形頂角大于時，圓錐的軸截面面積不一定是最大的，故D錯誤．故選：ACD10.下列說法正確的是（）A.若非零向量滿足，則B.C.若為單位向量，則D.向量可以作為平面內的一個基底答案：ABC解析：思路：利用平面向量共線定理判斷A，D，根據平面向量線性運算法則判斷B，根據數量積的運算律判斷C.解答過程：對于A：由，存在實數，使得，由，存在實數，使得，則，故，A正確；對于B：由，故B正確；對于C：由，，則，故C正確；對于D：由，所以，即，故向量不可以作為平面內的一個基底，D錯誤.故選：ABC.11.已知棱長為1的正方體，點是面對角線上的任一點，則的值可能是（）A. B.2 C. D.答案：BCD解析：思路：根據點所在的特殊位置，分別求出，可得答案.解答過程：如圖，當點在頂點處時，，故B選項正確；當點在線段的中點時，，，，故C選項正確；把三角形沿展開，使點與在同一平面，當點為與的交點時，，在中，，，所以，所以的最小值為，故D選項正確；因為，故A選項不正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，，，若，則________.答案：解析：思路：根據平面向量線性運算法則及平面向量基本定理計算可得.解答過程：因為，，所以，又且與不共線，所以，則.故答案為：13.如圖，水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的周長為______．答案：20解析：思路：根據斜二測畫法的公式，畫出復原圖即可求解.解答過程：因為斜二測直觀圖為矩形，,則，可得原圖中，,,,四邊形的周長.故答案為：20.14.如圖，在棱長為6的正方體中，分別為的中點，則平面截正方體所得截面的面積為_____答案：解析：思路：找到平面截正方體的截面為正六邊形，求出正六邊形面積即可.解答過程：延長交于點，交于點，連接并延長交于點，過點在平面內作，連接，交于點，因為，，所以，所以，同理可證，，故為的中點，因為，，，所以，所以為中點，因為，，，所以，故為的中點，所以截面為正六邊形，其邊長為，所以正六邊形的面積為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，垂直于面，，，，為棱的中點．（1）求證：平面．（2）求直線與面所成的角的正弦值．答案：（1）證明見解析（2）解析：思路：（1）取的中點，連接、，即可證明，從而得到平面；（2）求出三棱錐的體積，再由等體積法求出點到平面的距離，最后利用銳角三角函數計算可得.（1）取的中點，連接、，則，且.因為，，所以且.所以四邊形為平行四邊形.所以，因為平面，平面，所以平面.（2）因為底面為梯形，，，，所以，，，又垂直于面，為棱的中點，所以到平面的距離為，所以，因為垂直于面，平面，所以，，所以，，所以，所以，設點到平面的距離為，則，即，所以，設直線與面所成的角為，則，直線與面所成的角的正弦值為.16.已知向量，，，．（1）當時，求實數的值；（2）當時，求向量與的夾角的余弦值．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）由垂直關系的向量坐標表示可解；（2）由向量平行的坐標表示求出，再代入向量夾角公式可得.（1）由題意可得，因為，所以.（2），因為，所以，所以，所以，即向量與的夾角的余弦值為.17.已知，.（1）求和的值；（2）若，為銳角，求的值；（3）若，為銳角，求角.答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）先利用同角基本關系式和的范圍求，接著利用二倍角公式求；（2）先求，再利用得解；（3）利用二倍角正切公式得，再求，結合角的范圍得解.（1）因為，且所以，又，所以，因此，；（2）因為，，所以，又，則，則，則，所以；（3）因為，，則，且，則，又，所以.18.如圖1，在直角梯形中，，，，，以為軸將梯形旋轉180°后得到幾何體W，如圖2，其中，分別為上下底面直徑，點P，Q分別在圓弧，上，且∥.（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距離；（3）若平面與平面夾角的正切值為，求的長度.答案：（1）證明見解析（2）（3）解析：思路：（1）根據線面垂直得線線垂直，再由線線垂直得線面垂直；（2）連接，由平面，得到，由∥平面，將問題轉化為到平面的距離，再利用，即可求解.（3）分別取的中點，連接，利用平面∥平面，將問題轉化為平面與平面夾角的正切值為，過點作，得到則為平面與平面夾角，結合等面積法和射影定理，即可求解.（1）∵為上底面圓的直徑，點在上底面圓周上，∴，∵∥，∴，又∵平面，且平面，∴，∵，且平面，∴平面.（2）連接，由（1）平面，∴就是直線與平面所成的角，即，∴且，∴，，∴為直角三角形，∴為弧的中點，∴又，∴，又∵平面平面，且交線為，，∴平面∴點到平面的距離為，∵∥平面，∴點到平面的距離等于點到平面的距離，設為，∵，∴，∵，∴∴，∴點到平面的距離為.（3）分別取，的中點，，連接，，，則∥，∥，∵且平面，，且平面，∴平面∥平面，∵平面與平面夾角正切值為，∴平面與平面夾角的正切值為，∵為的中點，，∴，，又∵且平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，連接，過點作于點，∵平面平面，且平面，∴平面，平面，,過點作于點，連接，，平面，平面，又平面，，∴為平面與平面夾角，即，設，則，∵，∴，直角三角形中，，又∵∥，∴，在中，由射影定理知，∴，在直角中，，