中考數(shù)學(xué)-輔助圓問題（3種題型12個(gè)重難點(diǎn)）學(xué)生版

圓的綜合問題

重難點(diǎn)一利用到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)建

立輔助圓

四點(diǎn)共圓問題重難點(diǎn)二由定角定線確定隱圓

重難點(diǎn)三由四邊形對(duì)角互補(bǔ)確定隱圓

重難點(diǎn)四利用同側(cè)等角建立隱圓

重難點(diǎn)一圓的翻折

重難點(diǎn)二圓的旋轉(zhuǎn)

圓的綜合問題1圓與圖形變換問題

重難點(diǎn)_圓的覆蓋

重難點(diǎn)四圓的截取

_____________________Z

重難點(diǎn)一圓與四邊形綜合

重難點(diǎn)二圓與三角形綜合

圓的綜合問題

重難點(diǎn)三圓與函數(shù)綜合問題

［重難點(diǎn)四圓與具它問題

題型1四點(diǎn)共圓問題

判定方法1:如圖1,若四個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓（圓的定義）.

適用范圍：題目出現(xiàn)共端點(diǎn)，等線段時(shí)，可利用圓的定義構(gòu)造輔助圓.

判定方法2：如圖2,同側(cè)共邊三角形且公共邊所對(duì)角相等的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

判定方法3：如圖3,若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓.

判定方法4：如圖4,共斜邊的兩個(gè)直角三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

適用范圍：雙直角三角形共斜邊模型.

圖1圖2圖3圖4

重難點(diǎn)二利用到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)建立輔助圓

1.（23-24九年級(jí)上?湖北武漢?期中）如圖，在四邊形力BCD中，AD//BC,AB=1,AD=BD=CD=2,則

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AC=()

2.（2D22九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，四邊形48co中，AB=AC=AD,^ZCAD=3ZBAC,若

3.（2D21?四川攀枝花?中考真題）如圖，在矩形?!a刀中，已知仍=3,應(yīng)?=4,點(diǎn)P是比?邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不

與8C重合），連接4月作點(diǎn)方關(guān)于直線〃的對(duì)稱點(diǎn)機(jī)則線段比的最小值為（）

A.2B.-C.3D.V10

2

4.（河北省石家莊市2017屆中考數(shù)學(xué)二模試卷）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,NA=63°,點(diǎn)F在邊

AC上，并且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將ACEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，貝U點(diǎn)P至U邊AB距離的最小

5.（2D22?廣西柳州?中考真題）如圖，在正方形力及刀中，AB=A,G是眩的中點(diǎn)，點(diǎn)￡是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且用=2,連接龍，將線段應(yīng)'繞點(diǎn)〃逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段連接6E則線段6F長(zhǎng)的最小值為.

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6.(江蘇省蘇州市西安交通大學(xué)蘇州附屬初級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)在Rt△月仇？中,

N44俏90°,/陽(yáng)占30°,將△/1比繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度a得到△/1/為，點(diǎn)/人。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是以I).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡'恰好在力。上時(shí)，求NO9F的度數(shù)；

圖1

⑵如圖2,若a=60°時(shí)，點(diǎn)尸是邊4。中點(diǎn)，求證：四邊形質(zhì)必是平行四邊形;

(3)當(dāng)"、=2時(shí)，連接CD,設(shè)'的面積為S.在旋轉(zhuǎn)過程中，S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)直接寫出S

的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

重難點(diǎn)二由定角定線確定隱圓

7.(2A21九年級(jí)上?江西新余?階段練習(xí))如圖，在△ABC中，ZBAC=90",AC=5,48=4,〃是AC上一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以力。為直徑的圓。交80于萬(wàn)則線段CE的最小值是.

8.(21-22九年級(jí)上?湖北孝感?階段練習(xí))如圖，正方形48co的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是CO邊上一點(diǎn)，連接力E,過點(diǎn)

B作BG_L4E于點(diǎn)G,連接CG并延長(zhǎng)交4。于點(diǎn)尸，則4尸的最大值是

9.(22-23九年級(jí)上?浙江寧波?階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4,0),8(-6,0),點(diǎn)C是

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y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NBC4=45°時(shí).點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

A.(0,2)B.(0,2)或(0,-2)

C.(0,12)D.(0,12)或(0,-12)

10.(2023九年級(jí)-江蘇泰州?專題練習(xí))在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格

點(diǎn).如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格圖形A8CO中，M,N分別是45,BC上的格點(diǎn)，BM=4,BN=2.若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)

格圖形中的格點(diǎn)，連接PM,PN,則所有滿足/MPN=45°的中，邊PM的長(zhǎng)的最大值是

11.(2022?廣西?中考真題)已知“MON=a,點(diǎn)力，6分別在射線OM,ON上運(yùn)動(dòng)，AB=6.

圖⑶

(1)如圖①，若a=90°,取49中點(diǎn)〃，點(diǎn)4?運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)〃也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)力，&〃的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4',8，

D，連接。。,。0’.判斷如與00,有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：

(2)如圖②，若a=60°,以力〃為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形"乙求點(diǎn)。與點(diǎn)C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45°,當(dāng)點(diǎn)兒4運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，A/lOB的面積最大?請(qǐng)說明理由，并求出△力。8面積的最

大值.

12.(河南省信陽(yáng)市羅山縣2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題)(1)【學(xué)習(xí)心得】學(xué)習(xí)完“圓”這

一章內(nèi)容后，有一些幾何問題，如果添加輔助圓，可以使問題變得容易.我們把這個(gè)過程稱為“億隱圓為顯

圓”.這類題目主要是兩種類型.

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ffll圖2

①類型一，“定點(diǎn)+定長(zhǎng)”.如圖1,在△力8c中，AB=AC,NBA。=56°,〃是△48C外一點(diǎn)，且40=4C,

求/B0C的度數(shù).

解：若以點(diǎn)力（定點(diǎn)）為圓心，AB（定長(zhǎng)）為半徑作輔助圓04（請(qǐng)你在圖1上畫圓），則點(diǎn)￡〃必在。力上，

/BAC是OA的圓心角，而/BDC是圓周角，從而可容易得到ZBDC=_.

②類型二，“定角+定弦”.如圖2,RtA4BC中，AB1BC,48=12,BC=8,〃是△48C內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

滿足NPAB=48C,求線段CP長(zhǎng)的最小值.

解：'：/ABC=90°,

:.NABP+ZPBC=90".

VZPAB=/PBC,

:./BAP+ZABP=90°.

AZAPB=_.（定角）

???點(diǎn)〃在以48（定弦）為直徑的。0上.易求得PC的最小值為

（2）【問題解決】如圖3,在矩形力8CD中，已知48=6,8c=8,點(diǎn)〃是8c邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)?不與反。重

合），連接/1P，作點(diǎn)8關(guān)于直線力P的對(duì)稱點(diǎn)M則線段MC的最小值為_____.

圖3

（3）【問題拓展】如圖4,在正方形ABC。中，AD=10,動(dòng)點(diǎn)區(qū)“分別在邊OC,C8上移動(dòng)，且滿足DE二

CF.連接4E和0/，交于點(diǎn)只

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圖4

①請(qǐng)你寫出AE與。尸的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由：

②點(diǎn)，從點(diǎn)〃開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)夕也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

重難點(diǎn)三由四邊形對(duì)角互補(bǔ)確定隱圓

13.（21-22九年級(jí)上?山東德州?期末）如圖，在四邊形/厲（T中，ZABC=ZADC=W,NABD=68°,則一

。〃的度數(shù)為.

14.如圖，在.UABO）中,/胡〃為鈍帝，且AFLCD.

（1）求證：力、E、a尸四點(diǎn)共圓；

（2）設(shè)線段做與（】）中的圓交于，伙At求證：Hif=ND

15.（24-25九年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）定義：若在同一平面內(nèi)，有四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共

圓，簡(jiǎn)稱“四點(diǎn)共圓”.以下是“四點(diǎn)共圓”的幾個(gè)結(jié)論，你能證明并運(yùn)用它們嗎？

I.若兩個(gè)直角三角形有公共斜邊，則這兩個(gè)三角形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓（圖1、2）；

II.若四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，則這個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓（圖3）；

III.若線段同側(cè)兩點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連線的夾角相等，則這兩點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)共圓（圖4）.

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D

DD

【結(jié)論證明】（1）在圖1、2中，取AC的中點(diǎn)。，根據(jù)_____得OA-0B—0C—0D,即力，B,C,。共圓;

（2）在圖3中，畫0。經(jīng)過點(diǎn)4,B,。（圖5）.假設(shè)點(diǎn)。落在。。外，BC交于點(diǎn)E,連接0E,可得

4+—=180°,與已知條件—得出矛盾；同理點(diǎn)C也不會(huì)落在。0內(nèi)，即A,B,C,。共圓.結(jié)論III同理可

證.

［理解應(yīng)用】利用四點(diǎn)共圓解決下述兩個(gè)問題：

（3）證明銳角三角形的三條高交于一點(diǎn).

已知：如圖6,銳角三角形48（；的高HO,.相交于點(diǎn)”，射線人〃交8C于點(diǎn)￡求證：力尸是△A4C的高.

（4）如圖7,若二次函數(shù)y=-/+2x+3的圖象與％軸交于力、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,P為第二象限上的點(diǎn)，在

直線力C上，旦N0PB=45°；若Q為x軸上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，令Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為加（0＜機(jī)＜3）,當(dāng)m為何值時(shí)，

△PBQ的面積最大，求出此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)和最大面積.

16.在學(xué)習(xí)《2.1圓》時(shí)，小明遇到了這樣一個(gè)問題：如圖1（1）、1（2）,aABC和△08C中，N%=ND=

90°.試證明月、B、a〃四點(diǎn)在同一圓上.

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A

圖Ml)圖1(2)

圖2圖3

小明想到了如下證法：在圖1(1)、1(2)中取BC中點(diǎn)機(jī)連接則有力M=BM=CM及DM==

CM,即AM=BM=CM=DM,所以月、B、C、〃四點(diǎn)在以必為圓心，M8為半徑得圓上，根據(jù)以上探究問題得出

的結(jié)論，解決下列問題：

(1)如圖2,在△/18C中，三條高力0、BE、C"相交于點(diǎn)"若/84。=64。，則尸二

⑵如圖3,己知力B是。0的直徑，CD是。。的弦，G為的中點(diǎn)，CE上AB于￡,DFJ.AB于尸〔￡、尸不重

合)，若NEGF求證：CD=-AB.

=60",2

17.(25-26九年級(jí)上?廣西南寧-階段練習(xí))閱讀下列材料，完成相應(yīng)學(xué)習(xí)任務(wù)：四點(diǎn)共圓的條件

我們知道，過任意一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓，過任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？小明經(jīng)過實(shí)

踐探究發(fā)現(xiàn)：過對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓，下面是小明運(yùn)用反證法證明上述命題的過程：

圖3圖4

已知：在四邊形4BCD中，NB+/D=180°.

求證：過點(diǎn)A、8、C、。可作一個(gè)圓.

證明：假設(shè)過點(diǎn)4、B、C、。四點(diǎn)不能作一個(gè)圓，過4、B、C三點(diǎn)作圓.如圖1,若點(diǎn)。在圓外，設(shè)40與圓相交于

點(diǎn)E,連接CE,則，而已知NB+N0=180°,所以/4EC=N0,而4EC是△CEO的外角，ZAEC>

/D,出現(xiàn)矛盾，故假設(shè)不成立，因此點(diǎn)。在過4、B、C三點(diǎn)的圓上.

如圖2,若點(diǎn)。在圓內(nèi)，……(請(qǐng)同學(xué)們補(bǔ)充完成省略的部分證明過程)

因此得到四點(diǎn)共圓的條件：過對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓.

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學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)材料中劃線部分的結(jié)論是，依據(jù)是;

(2)請(qǐng)將圖2的證明過程補(bǔ)全；

(3)如圖3,在四邊形力BCD中，ZABC=ZADC=90",ZCAD=160,AD=BD,則408的大小為

⑷如圖4,已知正方形力BCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)P是48邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,過點(diǎn)P作PC的垂線交40于點(diǎn)E,以

PE為邊作正方形PEFG,頂點(diǎn)G在線段PC上，對(duì)角線EG、PF相交于點(diǎn)。.當(dāng)點(diǎn)P從小運(yùn)動(dòng)到8時(shí)，點(diǎn)。也隨之運(yùn)動(dòng)，

求。經(jīng)過的路徑長(zhǎng).

18.(2025?山西呂梁?二模)閱讀與思考

閱讀下面的材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

探究四點(diǎn)共圓的條件我們知道，過任親會(huì)一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)能徑一個(gè)圓.過任意一個(gè)

四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？

下面給出］「一些圓內(nèi)接四邊形.

0S

CC

圖1圖2圖3分別用量角器測(cè)量上面

各四邊形的內(nèi)角，得出結(jié)論：/4+NC@180°.(填或“=")

???四邊形內(nèi)角和為360°,

???NB+ZD?180°.(填“>”“V”或“=”)

如果四邊形4BCD的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上，那么+N0與180°之間還有上面的

關(guān)系嗎？試結(jié)合下圖中的兩種情況進(jìn)行:證明.

圖4圖5??????

(2)請(qǐng)你在圖4與圖5中選擇其中一個(gè)圖.探究//?+/D與180°之間的關(guān)系.

(3)如圖6,點(diǎn)￡在四邊形/以⑺的邊/心的延長(zhǎng)線上，ZCBE=ZD,BC=CD,/BCD=130°,請(qǐng)?jiān)趫D6中作

一個(gè)過力，B,〃三點(diǎn)的。。(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)，并直接寫出44?的度數(shù).

圖6

19.(24-25九年級(jí)上?江蘇徐州?期中)【材料閱讀】如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共

圓，簡(jiǎn)稱“四點(diǎn)共圓”.在教材中學(xué)習(xí)了定理“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”后，學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探究，提出猜想

“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓”并嘗試用反證法進(jìn)行驗(yàn)證.

【驗(yàn)證猜想】

已知：四邊形48CD中，N%+NC=180°

求證：.4、B、C、〃四點(diǎn)共圓

證明：過點(diǎn)力、B、〃作O。，假設(shè)點(diǎn)C不在O。上，則點(diǎn)C在0。外或。。內(nèi)

若點(diǎn)。在。0外，如圖1,設(shè)8C交。0于C',連接DC',則N0C

?.?四邊形力8C。是O。的內(nèi)接四邊形,

???ZA+NDCB=180。.

???4+4=180°,

???NDCB=NC

與/DC矛盾，故點(diǎn)。不可能在圓外;

若點(diǎn)。在圓內(nèi)，

(1)在圖2中，用直尺和圓規(guī)作出過點(diǎn)力，8〃的圓，參考以上思路補(bǔ)全圖形并完成后續(xù)證明;

【深入探究】

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得出“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓”是真命題后，繼續(xù)思考，四點(diǎn)共圓還可以有其他的條件嗎？請(qǐng)你在此基

礎(chǔ)上展開探究：

(2)如圖3,在線段同側(cè)有兩點(diǎn)C,D,連接AC,BC,AD,BD.如果NC=ND,那么力、8、C、〃四點(diǎn)共

圓，請(qǐng)完成證明(如需輔助圓，畫出示意圖即可)：

【結(jié)論應(yīng)用】

應(yīng)用以上結(jié)論，解決下列問題：

(3)如圖4,在四邊形/BCD中，/I=/4,N2=30°,則N3=°；

(4)如圖5,aABC中4L4B=NCB4=50°,點(diǎn)￡在48上，連接CE,作點(diǎn)8關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)B,連接

BC,BE,/B'CE=18°求NBEA的度數(shù)；

【拓展延伸】

(5)如圖6,AB=BC=5,/4BC=60°,點(diǎn)〃為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接D4、DB,若始終有Z4DB=60°,當(dāng)

四邊形48。。周長(zhǎng)最大時(shí)，DC與BD的數(shù)量關(guān)系是多少？(直接寫出答案).

重難點(diǎn)四利用同側(cè)等角建立隱圓

20.如圖，正方形ABCD的中心為0,面積為1856cm\P為正方形內(nèi)的一點(diǎn)，且/0PB=45°,連結(jié)PA、PB,若

21.(2020九年級(jí)?云南昆明?學(xué)業(yè)考試)如圖，在等腰Rt△力6。中，ZJ^=90°,AB=BC=^〃是%中點(diǎn),

題型2圓與圖形變換問題

重難點(diǎn)一圓的翻折

第"頁(yè)共27頁(yè)

22.（24-25九年級(jí)上?湖北武漢?期末）如圖，在。。中，弦48=6=24,將腦沿翻折，恰好與弦CD相

切于點(diǎn)N,若。。的半徑是13,則切線長(zhǎng)CN的值是（）

A.13.5B.15C.16.5D.18

23.（24-25九年級(jí)上?浙江杭州?期中）如圖，718為。。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，ZDCA=44°,若將劣弧

4C沿弦力C翻折交力3于點(diǎn)。，連接CD,則N84C的度數(shù)為（）

24.（24-25九年級(jí)上?河北滄州?期末）如圖，。。的半徑為5,四邊形4BCD是。。的內(nèi)接四邊形，AD||BC

（AD,8c位于圓心。的兩側(cè)），AD=6,BC=8,將和，6分別沿48,6翻折得至IjA的，CfDM為向8上

點(diǎn)，過點(diǎn)必作MN交仃7）于點(diǎn)A；則MN的最小值為（）

A.4B.4V2C.|D..

25.（23-24九年級(jí)上?安徽合肥?期末）如圖，△48。為。。的內(nèi)接三角形，AB=8.CO為42邊上的中線，將

品?沿BC翻折后剛好經(jīng)過點(diǎn)D,若已知0。的半徑為2遍，則8c的長(zhǎng)是（）

A.4百B.6V2C.質(zhì)D.5V3

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26.（21-22九年級(jí)卜?云南保山?期末）如圖.在長(zhǎng)方形中.AR=4,AD=6,夕點(diǎn)是人/?的中點(diǎn),點(diǎn)尸是

4D邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△AE9沿EF所在的直線翻折，得AGE/,貝IJGC長(zhǎng)的最小值是.

27.（2023?吉林長(zhǎng)春?一模）如圖，為。。直徑，點(diǎn)。是。。上的一點(diǎn)，連接/C、BC,以。為圓心，/C長(zhǎng)

為半徑畫圓弧，使點(diǎn)夕在該圓弧上，再將。。分別沿AC、8c向內(nèi)翻折.若AB=2,則圖中陰影部分圖形的面積和

為.（結(jié)果保留人）

28.（24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（5,0）,以原點(diǎn)。為圓心、3為半徑

作圓.P從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正半軸運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）.連接4P,將AOAP沿AP翻折，得

到△4PQ.當(dāng)亡=時(shí)，直線力P與。。相切；當(dāng)七=時(shí)，直線AQ與O。相切.

29.（24-25九年級(jí)上?山西長(zhǎng)治?期末）如圖，在Rt△ABC中，4BC=90°,AB=BC=2,將△4BC繞點(diǎn)力

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。后得到Rt^/OE,則線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分（陰影部分）的面積是（）.

30.（23-24九年級(jí)下?河南周口?開學(xué)考試）如圖，CO為等邊三角形4BC的高，點(diǎn)0在OC的延長(zhǎng)線上，旦

第13頁(yè)共27頁(yè)

00=11（0=6.0。的半杼為l,若將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)360°,在旋轉(zhuǎn)的過程中.0。與等邊三

角形4EC的邊只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況一共出現(xiàn)（）

31.（23-24九年級(jí)上?廣東廣州?期末）在AABC中，4=90°,AC=4,BC=3,將△ABC繞A8所在直線

旋轉(zhuǎn)一周.所得幾何體的表面積為（）.

A.15nB.￡4C.207rD.357r

32.（23-24九年級(jí)上?河南周口?階段練習(xí)）如圖，正方形力BCO中和RtA/MN中，AB=10,ZNAM=90°

tAM=AN=8,連接8N,DM.若AAMN繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn)，當(dāng)Z48N最大時(shí)，ShADM=（）

A.6B.12C.18I）.24

33.（2023?山東濟(jì)南?一模）如圖，兩個(gè)半徑長(zhǎng)均為1的直角扇形的圓心分別在對(duì)方的圓弧上，扇形CFD的圓

心。是AB的中點(diǎn)，且扇形CF7）繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，半徑4E、CF交于點(diǎn)&半徑BE、CD交于點(diǎn)、H,則圖中陰影面積等

于（）

71—2

A.—2—1B.—2—-2C.7T—1D.

34.（24-25九年級(jí)上?江蘇南京?期末）如圖，。0經(jīng)過A0的中點(diǎn)8,0B=1,點(diǎn)P為。。上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)8作AP的

垂線，垂足為Q.當(dāng)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的峰程為.

第14頁(yè)共27頁(yè)

Q

35.（24-25九年級(jí)上?河南鄭州?期末）如圖，在RtA/lBC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,把△718。繞

點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△ABC',點(diǎn)AC旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B',C',連接C8’,若點(diǎn)P為線段C8'的中點(diǎn)，則

C'P的最大值為,最小值為

重難點(diǎn)三圓的覆蓋

36.（2024?河北石家莊?二模）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，李老師拿出了如圖1所示的三個(gè)邊長(zhǎng)都為1cm的正方形硬

紙板，并提出問題：“若將這三個(gè)正方形硬紙板互不重疊平放在桌面上，用一個(gè)圓形紙片將其完全覆蓋，怎樣擺

放才能使這個(gè)圓形紙片的直徑最小呢？”全班同學(xué)經(jīng)過討論后，得出如圖2所示的三種方案，則下列說法正確的是

（）

1cm

□

IcmIcm

□□

方案一方案二方案

圖I圖2

A.方案一中圓形紙片的直徑最小，直徑是同cm

B.方案二中圓形紙片的直徑最小，直徑是2acm.

C.方案二和方案三中圓形紙片的直徑都最小，直徑都是2戊cm

D.方案一、方案二和方案三中圓形紙片的直徑都不是最小的

37.（2022?湖北武漢-模擬預(yù)測(cè)）如圖是由三個(gè)大小相同的正方形組成的“品”字型軸對(duì)稱圖案，測(cè)得頂點(diǎn)4

8之間的距離為5.現(xiàn)用?個(gè)等邊三隹形紙片將其完全覆蓋，當(dāng)此等邊三角形面積最小時(shí)，則它的外接圓半徑是

)

第15頁(yè)共27頁(yè)

-----------B

A.1V3B.^V3+1C.D.^V3+1

38.（22-23七年級(jí)下?福建龍巖?期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系wy被一塊圓形鐵皮覆蓋了一部分.下列有序?qū)?/p>

數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)中，被這塊圓形鐵皮覆蓋的是（

4

3

34”

A.（椒-同）B.（-VT0,-V3）C.（-平,次）D.（孚,2恒）

39.（2022?湖北武漢?一模）如圖，在平面內(nèi)。。1，。。2,0。3兩兩外切，其中。。1的半徑為8,0O2,O

。3的半徑都為5.用一張半徑為"的圓形紙片把這三個(gè)圓完全覆蓋，則〃的最小值為（）

40.（21-22九年級(jí)下?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖，矩形/灰力是中邊長(zhǎng)為1的五個(gè)小正方形拼成，。是第2個(gè)

小正方形的中心，將矩形力筋繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得矩形4,B'C'O',現(xiàn)用一個(gè)最小的圓覆蓋這個(gè)圖形，則

這個(gè)圓的半徑是（

第16頁(yè)共27頁(yè)

A.V17B.V34

41.（23-24九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期末）如果存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的圓，使圖形力上的任意一點(diǎn)到其中某個(gè)圓的

圓心的弗離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形力被這些圓所覆蓋.若存在一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形被兩個(gè)半徑為二

的等圓所覆蓋，此時(shí)r的最小值為;若存在一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形被三個(gè)半徑為二的等圓所覆蓋，此時(shí)不

的最小值為.

42.（2425九年級(jí)下?福建福州?期中）在綠化公園時(shí)，需要安裝?定數(shù)量的自動(dòng)噴灑裝置，定時(shí)噴水養(yǎng)護(hù)草

坪.某公司準(zhǔn)備在一塊邊長(zhǎng)為20m的正方形草坪（圖1）中安裝自動(dòng)噴灑裝置.，為了既節(jié)約安裝成本，又盡可能提

高噴灑甚蓋率，需要設(shè)計(jì)合適的安裝方案.

說明：?個(gè)自動(dòng)噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為rm的圓面，噴灑覆蓋率p=Ls為待噴灑區(qū)域面積，k為待噴灑區(qū)

S

域中的實(shí)際噴灑面積.

這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學(xué)問題.

圖1圖2圖3

圖6

（1）如圖2,在該草坪中心位置設(shè)計(jì)安裝1個(gè)噴灑半徑為10m的自動(dòng)噴灑裝置.，該方案的實(shí)際噴灑面積

,實(shí)際噴灑覆蓋率p=

（2）如圖3,在該草坪內(nèi)設(shè)計(jì)安裝4個(gè)噴灑半徑均為5m的自動(dòng)噴灑裝置；如圖4,設(shè)計(jì)安裝9個(gè)噴灑半徑均為三m

的自動(dòng)噴泗裝置.??以此類推，如圖5,設(shè)計(jì)安裝M個(gè)噴灑半徑均為"m的自動(dòng)噴灑裝置，與（1）中的方案相

n

第17頁(yè)共27頁(yè)

比，采用這種增加裝置個(gè)數(shù)且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑獴蓋率？請(qǐng)判斷并給出理由.

（3）如圖6,該公司設(shè)計(jì)了用4個(gè)相同的自動(dòng)噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率.p=l.已知正方形

ABC。各邊上依次取點(diǎn)凡G,H,E,使得AE=8尸=CG=DH,設(shè)4E=xm,。。1的面積為ym2,求y關(guān)于3的

函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)y取得最小值時(shí)r的值.

43.（22-23九年級(jí)上-天津河西-期末）要用圓形鐵片截出邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片，選用的圓形鐵片的半徑至少

為.

重難點(diǎn)四圓的截取

44.（2023?山西晉城-一-模）如圖，陰影部分是從一塊直徑為40cm的圓形鐵板中截出的一個(gè)工件示意圖，其中

△力BC是等邊三角形，則陰影部分的面積是（）

A.lOOTrcm2B.2007Tcm2

C.+200V3)cm2D?(等尸+200v5)cn)2

45.（23-24九年級(jí)上-山東淄博?期末）如圖，在直角三角形材料小鳳:中，NC=90°,AB=10,AC=6,現(xiàn)

用此材料裁出?個(gè)面積最大的半圓形模板，則該半圓形模板的半徑是（)

46.（2025?甘肅張掖?三模）問題提出

（1）如圖1,在四邊形/18C0中，AD||8C,."為的中點(diǎn)，猜想△OMC與四邊形4BC0的面積關(guān)系，并說明理

由.

問題解決

（2）如圖2,現(xiàn)有一塊半徑為50cm的圓形材料，工人師傅需要在材料中裁剪出一個(gè)內(nèi)接四邊形力8CD.四邊形

ABCD需要滿足A8=CD=80cm,且面積最大.請(qǐng)?zhí)骄克倪呅?BCD面積最大的實(shí)施方案，并求出面積的最大值.

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題型3圓的綜合問題

重難點(diǎn)一圓與四邊形綜合

47.（2023?廣東佛山?一模）（1）如圖1,的半徑為1,48=2.5,點(diǎn)q為上任意一點(diǎn)，貝ijBP的最小

值為；

（2）如圖2,已知矩形A8CD,點(diǎn)￡'為上方一點(diǎn)，連接4E,8E,作1AB于點(diǎn)孔點(diǎn)2是△8Er的內(nèi)心，求

與PE的度數(shù):

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接力P,CP,若矩形的邊長(zhǎng)AB=6,8c=4,BE=BA,求此時(shí)CP的最小值.

48.（22-23九年級(jí)上?安徽?期末）已知4c是。。的直徑，DE148于點(diǎn)2連接4。，DC,BC.

（1）如圖1,延長(zhǎng)DE交。。于點(diǎn)月連接FB并延長(zhǎng)交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)只求證：PB=PC；

⑵如圖2,過點(diǎn)6作8GJ.40,垂足為點(diǎn)G,8G交DE于點(diǎn)"連接且點(diǎn)。和點(diǎn)力均在0E的左側(cè).若

ZACB=60°,DH=2,/DH0=84°.

①求。。的半徑；

②求NB0E的度數(shù).

49.（21-22九年級(jí)上?河北保定?期末）若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直且相等，則稱這個(gè)四邊形為“奇妙

四邊形”，如圖1,四邊形/以刀中，若4?=80,ACYBD,則稱四邊形/I成刀為奇妙四邊形，根據(jù)“奇妙四邊形”

對(duì)角線互相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個(gè)重要性質(zhì)：“奇妙四邊形”的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一

第19頁(yè)共27頁(yè)

（1）寫出一種你所知道的特殊四邊形中是“奇妙四邊形”的圖形名稱.

（2）如圖2,已知四邊形/山⑦是“奇妙四邊形”，且兒B,C,〃在O0上，若。。的半徑為6,ZBCD=60°,

求“奇妙四邊形”川蹣的面積，

⑶如圖3,已知四邊形力比力是“奇妙四邊形”，且4B,C,〃在上，作〃歸_6。于M請(qǐng)猜測(cè)〃〃與49的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

50.（2020?湖南永州--模）（1）【學(xué)習(xí)心得】

于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題

變得非常容易.

圖1圖2圖3

例如：如圖1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是△ABC外一點(diǎn)，且AD=AC,求NBDC的度數(shù).若以點(diǎn)A為

圓心，AB為半徑作輔助（DA,則點(diǎn)C、D必在0A上，NBAC是。A的圓心角，而NBDC是圓周角，從而可容易得到

ZBDC=°.

（2）【問題解決】

如圖2,在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求NBAC的度數(shù).

（3）【問題拓展】

如圖3,如圖，E,F是正方形ABCD的邊A1）上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF.連接CF交BI）于點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)

H.若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段DH長(zhǎng)度的最小值是.

重難點(diǎn)二圓與三角形綜合

51.（2023?吉林長(zhǎng)春?中考真題）【感知】如圖①，點(diǎn)力、B、尸均在O0_L,=90°,則銳角的

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大小為.度.

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②，。。是等邊三角形4BC的外接圓，點(diǎn)夕在此上(點(diǎn)夕不與點(diǎn)兒。重

合)，連結(jié)P4PB、PC.求證：PB=PA+PC.小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)PA至點(diǎn)區(qū)使AE=PC,連結(jié)BE,通過證明4

PBCWAEBA,可推得P8E是等邊三角形，進(jìn)而得證.

卜面是小明的部分證明過程：

證明：延長(zhǎng)PA至點(diǎn)￡使4E=PC,連結(jié)BE,

???四邊形"CP是。。的內(nèi)接四邊形，

ZBAP+/BCP=180°.

???ZBAP+ZBAE=180°,

:.ZBCP=ZBAE.

???△ABC是等邊三角形.

BA=BC?

PBC=△E44(SAS)

請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程.

【應(yīng)用】如圖③，。。是的外接圓，48c=90°,A8=8C,點(diǎn)，在。0上，且點(diǎn)尸與點(diǎn)8在AC的兩

側(cè)，連結(jié)24、PB、PC.若PB=2&PA,則案的值為__________.

52.(20-21九年級(jí)上?湖北宜昌?期末)已知：。。是AABC的外接圓，且蜴=優(yōu)，ZABC=60°,〃為。。

上一動(dòng)點(diǎn).

(1)如圖1,若點(diǎn)〃是腦的中點(diǎn)，ND84等于多少？

(2)過點(diǎn)8作直線力。的垂線，垂足為點(diǎn)￡

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①如圖2,若點(diǎn)〃在腦上，求證：CD=DE+AE.

②若點(diǎn)〃在加上，當(dāng)它從點(diǎn)力向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)且滿足CZ)=DE+4E時(shí)，求48。的最大值.

53.(2021?山東德州?中考真題)已知。0為△4:。的外接圓，AD=CD.

(1)如圖1,延長(zhǎng)4。至點(diǎn)延使BD=AD,連接CB.

②若O。的半徑為4,AD=5,求BC的值；

⑵如圖2,若Z4DC=90°,E為。0上的一點(diǎn)，且點(diǎn)D,E位于AC兩側(cè)，作△/WE關(guān)于AD對(duì)稱的圖形八HOQ,

連接QC,試猜想Q4QC,Q。三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明.

D

(1)【學(xué)習(xí)心得】

小趙同學(xué)在學(xué)習(xí)完'‘圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問

題變得非常容易.我們把這個(gè)過程稱為“化隱圓為顯圓”.這類題目主要是兩種類型.

①類型一，“定點(diǎn)+定長(zhǎng)”：如圖1,在△48C中，=NB/C=44°，。是。外一點(diǎn)，且40=4C,求

Z60C的度數(shù).

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解：若以點(diǎn)力(定點(diǎn))為圓心.AR(定長(zhǎng))為半杼作輔助圓04.:請(qǐng)你在圖1卜畫圓)則點(diǎn)。、D必在。力卜.

NBAC是OA的圓心角，而N3DC是圓周角，從而可容易得到NBDC=_°.

②類型二，“定角+定弦”：如圖，Rt△48c中，1,808=6田。=4,。是448。內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

/PAB=NPBC,求線段CP長(zhǎng)的最小值.

解：???^ABC=90",

:.“ABP+/PBC=90°,???ZPAB=/PBC,:.ZBAP+"ABP=90",

N八PB=_,(定角)

.?.點(diǎn)P在以力B(定弦)為直徑的。。上，請(qǐng)完成后面的過程.

(2)【問題解決】

如圖3,在矩形力BCD中，已知力8=3,8。=4,點(diǎn)「是8。邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與B,C重合)，連接AP,作點(diǎn)8關(guān)

于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)M,則線段MC的最小值為一.

(3)【問題拓展】

如圖4,在正方形/1SCO中，AD-4,動(dòng)點(diǎn)分別在邊0C,CS上移動(dòng)，且滿足OE-CF.連接/1E和OF,交于點(diǎn)

P.

①請(qǐng)你寫出4E與。尸的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

②點(diǎn)E從點(diǎn)D開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

重難點(diǎn)三圓與函數(shù)綜合問題

55.(20-21九年級(jí)上?北京西城?階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若將點(diǎn)〃沿x軸折疊得到點(diǎn)匕，再將點(diǎn)

Pi繞點(diǎn)1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到P',貝！稱點(diǎn)P'是點(diǎn)尸關(guān)丁/軸一點(diǎn)燈的折旋點(diǎn).

例如：點(diǎn)Q(0,l)關(guān)于x軸-點(diǎn)0的折旋點(diǎn)是點(diǎn)Q’(-1,0).

(1)如圖L點(diǎn)4(0,—1).

①若點(diǎn)〃是點(diǎn)4關(guān)于X軸-點(diǎn)c(V5,o)的折旋點(diǎn)，則點(diǎn)8的坐標(biāo)為一

第23頁(yè)共27頁(yè)

②若點(diǎn)D(-4,1)是點(diǎn)力關(guān)于*軸-點(diǎn)夕的折旋點(diǎn).則點(diǎn)E的坐標(biāo)為：

(2)如圖2,。。的半徑為2,若。。上存在點(diǎn)M使得點(diǎn)M是點(diǎn)W關(guān)于x軸-點(diǎn)S(4,0)的折旋點(diǎn)，且點(diǎn)M'在直線

y=x+b上，求b的取值范圍；

(3)F(0,t)是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，。尸的半徑為2,若OF上存在點(diǎn)M使得點(diǎn)N'是點(diǎn)N關(guān)于x軸-點(diǎn)S(4,0)的折旋點(diǎn)，

且點(diǎn)N'在直線y=g》上，宜接寫出？的取值范圍.

56.(24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?期末)二次函數(shù)、=。/+6工+8的圖像與*軸分別交于點(diǎn)4(2,0),9(4,0),

與y軸交于點(diǎn)心點(diǎn)。是這個(gè)函數(shù)圖像的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

圖1圖2

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式：

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在直線BC下方時(shí)，過點(diǎn)尸作PM18C,垂足為M求PM的最大值；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)〃在x軸上方時(shí)，連接PA、PB,直線/是二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，過點(diǎn)P作PN_LZ,垂足為M

以點(diǎn)A'為圓心作圓，尸丁與ON相切，切點(diǎn)為T.若以PT的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積與AP/IB的面積相等，試說明

ON的半徑是常量.

57.(21-22九年級(jí)上?貴州安順?期末)如圖，拋物線y=一+c與％軸相交于點(diǎn)力，8(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左

側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),OM經(jīng)過4,8,。三點(diǎn)，且圓心M在％軸上.

⑴求c的值.

(2)求OM的半徑.

第24頁(yè)共27頁(yè)

（3）過點(diǎn)C作