萬有引力與宇宙航行（6知識點(diǎn)+9題型+分層限時(shí)練）原卷版-2025-2026學(xué)年高一物理下冊期末復(fù)習(xí)（人教版必修第二冊）

萬有引力與宇宙航行（6知識點(diǎn)+9題型+分層限時(shí)練）

目錄

【考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航］..........................................................................2

【知識梳理?方放技巧］..........................................................................2

知識點(diǎn)01開普勒三大定律（行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律）...................................................2

知識點(diǎn)02萬有引力定律......................................................................3

知識點(diǎn)03天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律公式（萬有引力提供向心力）..........................................3

知識點(diǎn)04衛(wèi)星分類辨析（期末最易混淆）.....................................................4

知識點(diǎn)05三大宇宙速度......................................................................4

知識點(diǎn)06衛(wèi)星變軌問題（難點(diǎn)多選必考）.....................................................5

【典例引領(lǐng)?即時(shí)檢測】..........................................................................5

題型1開普勒定律的應(yīng)用.....................................................................5

題型2第一宇宙速度的兩種求法..............................................................5

題型3離星球表面一定高低的萬有引力的計(jì)算.................................................8

題型4深坑（或深井）模型...................................................................9

題型5中心天體質(zhì)量和密度的計(jì)算...........................................................11

題型6衛(wèi)星的變軌問題......................................................................12

題型7雙星（或多星）模型..................................................................14

題型8挖補(bǔ)法求萬有引力....................................................................16

題型9地表拋射與天體運(yùn)動(dòng)的綜合問題.......................................................18

【考場練兵?分層實(shí)戰(zhàn)】.........................................................................19

基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時(shí)間：1（）分鐘）...........................................................19

重難突破練（測試時(shí)間：15分鐘）...........................................................21

綜合拓展練（測試時(shí)間：18分鐘）...........................................................23

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?考情透視?目標(biāo)導(dǎo)骯.

1.分值占比

本專題是高一物理必修二必考重點(diǎn)，期末考試總分占比15-22分，考查形式全覆蓋：單選題、多選

題、填空題、計(jì)算題均會出題，公式邏輯性強(qiáng)、模型固定，屬于最好拿分、最容易滿分的板塊。

2.核心考查方向

（1）基礎(chǔ)層：開普勒三大定律理解、萬有引力公式辨析、引力常量識記

（2）中層：天體五大公式推導(dǎo)、衛(wèi)星軌道物理量比較、重力加速度計(jì)算

（3）拔高層：近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星、赤道物體三類天體對比、變軌動(dòng)態(tài)分析

（4）綜合層：中心天體質(zhì)量密度計(jì)算、多星系統(tǒng)、宇宙速度綜合判斷

3.命題特點(diǎn)

模型固定、套路極強(qiáng)，緊貼課本公式，常結(jié)合我國航天工程、行星探測、同步衛(wèi)星等真實(shí)情境出

題，側(cè)重考查公式記憶、比例運(yùn)算、模型辨析，計(jì)算難度低，易錯(cuò)點(diǎn)多。

4.高頻易錯(cuò)點(diǎn)

（1）混淆自轉(zhuǎn)物體與環(huán)繞衛(wèi)星，錯(cuò)誤對地面物體使用萬有引力全部提供向心力

（2）分不清軌道半徑、星球半徑、離地高度，代入公式時(shí)常代錯(cuò)數(shù)據(jù)

（3）衛(wèi)星變軌時(shí)誤判加速度大小，認(rèn)為加速后加速度變大

（4）記錯(cuò)同步衛(wèi)星條件，誤以為同步衛(wèi)星可以在任意緯度發(fā)射

（5）混淆發(fā)射速度和環(huán)繞速度，記錯(cuò)第一宇宙速度物理意義

.知識幅理?方法技巧.

司必備知識

底知識點(diǎn)01開普勒三大定律（行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律）

定律內(nèi)容圖示說明

運(yùn)動(dòng)規(guī)律:近日點(diǎn)速度大,

開普勒第一定所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽遠(yuǎn)日點(diǎn)速度小，

律（軌道定律）

處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上W陽7口訣：近快遠(yuǎn)慢.

臉當(dāng)行星離太陽較近時(shí)，運(yùn)

開普勒第二定

對任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在動(dòng)的速度比較快，而離太

律（面積定律）相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等

陽較遠(yuǎn)時(shí)速度較慢

T星

開普勒第三定所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公

同一中心天體在相同，不同

律（周期定律）轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等，即*k

的中心天體上一般不同

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及知識點(diǎn)02萬有引力定律

1.定律內(nèi)容

自然界中任意兩個(gè)有質(zhì)量的物體之間都存在相互吸引力，引力大小與兩物體質(zhì)量乘積成正比，與兩物體球

心距離的平方成反比。

2.計(jì)算公式：F=G^,G為引力常量，且G=6.67xlO-"N?〃//靖，由卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)測出?！笧橘|(zhì)點(diǎn)間距、

均勻球體球心間距。

3.適用條件

適用于質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量均勻球體、間距極大可視為質(zhì)點(diǎn)的物體；不能直接用于不規(guī)則靠近物體.

4.黃金代換式（必考萬能公式）

在星球表面，忽略星球自轉(zhuǎn)，萬有引力近似等于重力。

Mm~

G=〃?g=GM=gR2

適用：星球表面附近、近地衛(wèi)星，是天體計(jì)算使用頻率最高公式。

5.高空重力加速度推導(dǎo)

距離星球表面高度h處：gh飛品，即：離地越高，重力加速度越小。

限知識點(diǎn)03天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律公式（萬有引力提供向心力）

1.天體運(yùn)動(dòng)的基本物理量

所有環(huán)繞衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力全部由中心天體的萬有引力提供。

、Mmv24M

2

G——=m—=mcor=m—7r=man

物理量推導(dǎo)公式變化規(guī)律（r越大）

線速度小減小

角速度減小

周期增大

GM

向心加速度

%=萬減小

通用口訣：高軌、低速、大周期、小加速度。

2.中心天體質(zhì)量與密度計(jì)算

（1）自力更生法

利用天體表面的重力加速度g和天體的半徑R

3/24

①由華=〃唱，得天體的質(zhì)量M=更

R~G

②天體密度〃=竺=^-二昌一

/4^34兀GR

3

③黃金帶換算：GM=gR

（2）借助外援法：測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。

\4m4兀24冗2廠3

①由得天體的質(zhì)量

r2rGT2

MM_3"

②若已知天體的半徑R,則天體的密度〃=7二,

3

③若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時(shí)，可認(rèn)為軌道半徑，?等于天體半徑處則天體的密度〃=1；,可見,只要

GT-

測出II星繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T,就可估測出中心體的密度°

限知識點(diǎn)04衛(wèi)星分類辨析（期末最易混淆）

1.近地衛(wèi)星

軌道半徑近似等于地球半徑，貼近地表飛行；萬有引力完全提供向心力；具有最大環(huán)繞速度、最小公

轉(zhuǎn)周期，

2.地球同步衛(wèi)星（五定原則）

特點(diǎn)具體說明

定周期周期為24h,與地球自轉(zhuǎn)周期用同

定角速度角速度等于地球自轉(zhuǎn)角速度

定軌道只能在赤道正上方

定高度離地高度固定

定速度環(huán)繞速度大小固定

3.赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體

受力：萬有引力一部分提供重力，一小部分提供自轉(zhuǎn)向心力；不可使用衛(wèi)星環(huán)繞公式：角速度等于同

步下星,但是線速度、向心加速度遠(yuǎn)小于同步下.星°

險(xiǎn)知識點(diǎn)05三大宇宙速度

1.第一宇宙速度（7.9km/s）

是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，是所有環(huán)繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的衛(wèi)星中最大的環(huán)

繞速度。

2.第二宇宙速度（lL2km/s）

是衛(wèi)星脫離地球引力束縛的最小發(fā)射速度，當(dāng)發(fā)射速度N11.2km/s時(shí)，衛(wèi)星將脫離地球引力，成為繞太

陽運(yùn)動(dòng)的人造行星。

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3.第三宇宙速度（16.7km/s）

是衛(wèi)星脫離太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，當(dāng)發(fā)射速度N16.7km/s時(shí)，衛(wèi)星將脫離太陽引力，飛出太陽

系。

肢知識點(diǎn)06衛(wèi)星變軌問題（難點(diǎn)多選必考）

1.低軌道變高軌道（離心運(yùn)動(dòng)）

衛(wèi)星向后噴氣加速，所需向心力變大，萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入高軌道。

速度變化：點(diǎn)火瞬間速度增大；稔定后軌道越高，環(huán)繞速度越小。

2.高軌道變低軌道（近心運(yùn)動(dòng)）

衛(wèi)星向前噴氣減速，所需向心力減小，萬有引力大于向心力，衛(wèi)星做近心運(yùn)動(dòng)，軌道降低。

3.變軌核心結(jié)論

同一位置，軌道半徑相同，萬有引力相同，加速度一定相等：變軌交點(diǎn)處，外軌速度大于內(nèi)軌穩(wěn)定速

度；從低軌到高軌需要兩次點(diǎn)火加速。

.典例引領(lǐng)?即時(shí)檢測.

題型1開普勒定律的應(yīng)用

:題?型?罅i4

：…”…笄警新兔棒茬天標(biāo)運(yùn)動(dòng)著巔不多取篡袖遴擇版舷茂田貌;淺不著看三瓦:…二鬼短據(jù)第二是他狗麻逅百

;點(diǎn)遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度大小關(guān)系，二是利用第二定律分析不同位置的運(yùn)動(dòng)速率變化，三是運(yùn)用第三定律的比例關(guān)

:系計(jì)算不同行星的公轉(zhuǎn)周期或軌道半長軸，整體難度較低，屬于必拿分題型。

3【典例1】（2O2G?貴州銅仁?模擬預(yù)測）如圖所示是地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的橢圓軌跡，短軸和長軸的四個(gè)位

置所對應(yīng)的節(jié)氣分別是春分、秋分、夏至和冬至。假設(shè)地球只受到太陽的引力，下列說法不正確的是（）

A.春分和秋分時(shí)，地球運(yùn)動(dòng)的加速度不相同

B.從夏至到秋分，地球的運(yùn)行時(shí)間等于公轉(zhuǎn)周期的5

C.若用a代表橢圓軌道的半長軸，7代表公轉(zhuǎn)周期，條=匕則地球與木星對應(yīng)的k值相同

D.火星與太陽連線單位時(shí)間掃過的面積不等于地球與太陽連線單位時(shí)間掃過的面積

【即時(shí)檢測1］（24-25高一下?吉林長春?期末）分別與地球公轉(zhuǎn)軌道外切和內(nèi)切的小行星甲和小行星乙的公

轉(zhuǎn)軌道如圖所示，假設(shè)這些小行星與地球的公轉(zhuǎn)軌道都在同一平面內(nèi)，地球的公轉(zhuǎn)半徑為凡公轉(zhuǎn)周期為

T,小行星甲的遠(yuǎn)口點(diǎn)到太陽的距離為修，小行星乙的近日點(diǎn)到太陽的距離為心，則（）

A.小行星甲在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度大于其在近日點(diǎn)的速度

B.小行星乙在遠(yuǎn)日點(diǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)加速度

C.小行星甲與小行星乙的運(yùn)行周期之比*=Jg

D.小行星甲從遠(yuǎn)日點(diǎn)到近日點(diǎn)的時(shí)間為笠*的?

【即時(shí)檢測2］（24-25畝一下?山東濰坊?期末）（多選）如圖所示，月球探測器繞月球沿橢圓軌道運(yùn)行,

P、Q分別為近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)，其間距為乙，已知月球質(zhì)量為M，引力常量為G，則（）

A.探測器在P點(diǎn)的速度大于在Q點(diǎn)的速度

B.探測器在P點(diǎn)的加速度小于在Q點(diǎn)的加速度

C.探測器從P點(diǎn)第一次運(yùn)行到Q點(diǎn)的時(shí)間為空恁

D.探測器從P點(diǎn)第一次運(yùn)行到Q點(diǎn)的時(shí)間為日國

題型2第一宇宙速度的兩種求法

題|型|解|在

.……第二季宙逋漫息麗耒莠府迷推巔「訐算子的篙頻著芭…宓「感維擎垢兩祎捶導(dǎo)隸廨方法;…兩丁芳法語

依托萬有引力的核心思路求解，具體推導(dǎo)過程如下：

6/24

方法一：近地衛(wèi)星環(huán)繞法。

近地衛(wèi)星的軌道半徑近似等于中心天體的半徑(R),萬有引力全部提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，因此

有嚶=〃。，整理可得第?宇宙速度片J牛，只要知道中心天體的引力常量(G)、中心天體質(zhì)量(M)和中心天

體半徑(R),即可代入計(jì)算得到第一宇宙速度。

方法二：黃金代換推導(dǎo)法。

在中心天體表面，忽略自轉(zhuǎn)影響時(shí)，萬有引力近似等于物體重力，結(jié)合近地口星向心力曰重力提供，

可得也尸〃卷，整理得到第一宇宙速度產(chǎn)病，只要知道中心天體表面的重力加速度(g)和中心天體半徑(R),

就可以快速算出第一宇宙速度。

該題型核心易錯(cuò)點(diǎn)為混淆笫一宇宙速度是“最小發(fā)射速度，最大環(huán)繞速度”的物理意義，審題時(shí)需要注意

問題問的是發(fā)射速度還是環(huán)繞速度，避免概念判斷錯(cuò)誤。

②【典例2】(24-25高一下?江西南昌?期末)“伽利略〃木星探測器，從1989年10月進(jìn)入太空起，歷經(jīng)6

年終于到達(dá)木星周圍。此后在t秒內(nèi)繞木星運(yùn)行n圈后，對木星及其衛(wèi)星進(jìn)行考察，最后墜入木星大氣層燒

毀。設(shè)這幾圈都是繞木星在同一軌道做勻速圓周運(yùn)行，其運(yùn)行的向心加速度大小為即，探測器.二的照相機(jī)正

對木星拍攝整個(gè)木星時(shí)的視角為￡(如圖所示)，設(shè)木星為一球體。求：

⑴木星探測器在上述圓形軌道上運(yùn)行時(shí)的軌道半徑；

(2)木星的第一宇宙速度大小。

【即時(shí)檢測1】(24-25高一下?湖北孝感?期末)我國計(jì)劃在2030年前實(shí)現(xiàn)載人登陸月球開展科學(xué)探索，其

后將探索建造月球科研試驗(yàn)站，開展系統(tǒng)、連續(xù)的月球探測和相關(guān)技術(shù)試驗(yàn)驗(yàn)證。質(zhì)量為m的飛船在距離月

面的高度等于月球半徑處繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期為。己知月球半徑為R，忽略月球自轉(zhuǎn)。求：

⑴月球表面的第一宇宙速度大?。?/p>

(2)飛船停在月球上時(shí)受到的支持力的大小。

【即時(shí)檢測2】(24-25高一下?湖南永州?期末)(多選)我國宇航員進(jìn)行了“模擬登陸火星”實(shí)驗(yàn)，已知火星

半徑約為地球半徑的看質(zhì)量約為地球質(zhì)量的一地球表面重力加速度為g,若宇航員在地球表面上能豎直向

上跳起的最大高度為爪在忽略火星自轉(zhuǎn)影響的條件下，下列說法正確的是()

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A.宇航員在火星表面受到的萬有引力是地球表面受到的萬有引力的!

B.火星表面的重力加速度為前

C.火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的辛

D.宇航員以相同的初速度在火星表面上能豎直向上跳起的最大高度為小

題型3離星球表面一定高低的萬有引力的計(jì)算

■恒隆陌

“孩施型的核不弼運(yùn)五手灌桶良芬薪造辛和:…至荻率徑虧離施而反三不物包亶「廨浜反奏而施而核;E、恿

j路依然是萬有引力提供向心力，結(jié)合黃金代換式進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算。設(shè)星球半徑為R,離地高度為h,那么衛(wèi)星

:做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑尸R+h,結(jié)合萬有引力提供向心力可得*^=加氤="⑷2（犬+卜尸〃帽（R+h尸〃?gh，再結(jié)

1合黃金代換式G〃=g7?2,就可以消去GM,直接用星球表面重力加速度推導(dǎo)得到對應(yīng)高度處的線速度、角速

:度、周期、重力加速度等任意物理量。

該題型最常見的易錯(cuò)點(diǎn)就是計(jì)算時(shí)代錯(cuò)半徑：直接把離地高度力當(dāng)成軌道半徑代入公式計(jì)算，因此解

：題第一步必須明確寫出尸尺+h,再代入公式運(yùn)算，就能避開這一高頻失分陷阱。

2【典例3］（24-25高一下?四川雅安?期末）將地球視為半徑為R的均勻球體，物體受地球引力大小產(chǎn)

隨它距地面高度h變化的關(guān)系圖像可能正確的是（）

【即時(shí)檢測1】（23-24高一下?山西期木）月球?qū)Φ厍蚴┘拥囊κ窃斐沙毕闹?要原因。如圖所示，當(dāng)月

球在某個(gè)位置時(shí)，它對地球上最近的那部分海洋有較強(qiáng)的引力作用，導(dǎo)致海水向月球方向隆起，形成高潮。

已知地球質(zhì)量為歷，地球半徑為R,地球自轉(zhuǎn)周期為r,月球質(zhì)量為〃?，月球到地球的距離為人引力常量

為G,取地月連線上靠近月球?側(cè)的地球表面上質(zhì)量為的小水球作為研究對象，求：

（1）小水球繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大??；

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（2）月球?qū)π∷虻囊Υ笮∨c地球?qū)π∷虻囊Υ笮≈取?/p>

【即時(shí)檢測2］（23-24高一下?遼寧錦州?期末）中國自行研制、具有完全自主知識產(chǎn)權(quán)的“神舟”飛船,目前

己經(jīng)達(dá)到或優(yōu)于國際笫三代載人飛船技術(shù)。如圖所示，其發(fā)射過程尚化如下：質(zhì)鼠為〃?的飛船在酒泉衛(wèi)星

發(fā)射中心發(fā)射，由“長征”運(yùn)載火箭送入近地點(diǎn)為P、遠(yuǎn)地點(diǎn)為。的橢圓軌道上，飛船通過變軌進(jìn)入預(yù)定圓

軌道。已知：點(diǎn)P距地面的高度為力，飛船在預(yù)定圓軌道上飛行〃圈所用時(shí)間為地球表面重力加速度為

g,地球半徑為心求：

（1）飛船從。點(diǎn)到P點(diǎn)速度大小的變化情況：

（2）飛船經(jīng)過橢圓軌道近地點(diǎn)P時(shí)的地球引力大??；

（3）。點(diǎn)距地面的高度。

預(yù)定圓軌道

題型4深坑（或深井）模型

法「鼠|罅|冠

.……孩稹核著商均芍瓊株丙部示憫添蔗質(zhì)的董萬而適度訐算「孩丁緒雍為;…只看深有奔內(nèi)部乳珠五良部芬

球體對物體產(chǎn)生萬有引力作用，外部球殼對物體的引力合力為零。

設(shè)星球半徑為（R），密度均勻?yàn)椤?，物體距離星球表面深度為（d）,物體到球心的距離為（r=R?d）。根

據(jù)萬有引力提供重力，結(jié)合萬有引力定律推導(dǎo)：班卜時(shí),即吟=g,，而AT=〃/ri"星球總質(zhì)量〃?%

正,地表重力加速度g=（W=G^^=Gp?融。將M，代入g表達(dá)式可得￡=6勺二=6*獷，又因?yàn)閞=R-d,

所以g=Gp枇R_（f）=g^=g（L/即重力加速度隨深度線性減小。

該模型的易錯(cuò)點(diǎn)在于，很多同學(xué)會誤用高空重力加速度公式gh招濡加進(jìn)行計(jì)算。注意高空重力加速度

和深坑模型規(guī)律不同：高空是離地高度h越高，g與（R+h）2成反比減?。憾羁又校疃萪越大，g隨d線

性減小，需要區(qū)分模型，選擇對應(yīng)公式。

3【典例4】（25-26高一上?湖北武漢?期末）假設(shè)地球是一個(gè)半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，已知質(zhì)量

分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零.若在地球內(nèi)部,以地心。為圓心、號為半徑挖一條圓形隧道.

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如圖所示?，F(xiàn)使一小球在隧道內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且不與隧道壁接觸，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮隧道寬度

與阻力。已知地表重力加速度為g,則其在隧道中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小為（）

u小/gRD?醇

【即時(shí)檢測1】（24-25高一下?河南開封?期末）（多選）已知均勻球殼對內(nèi)部任意一點(diǎn)的引力為零，若地球

可視為質(zhì)量分布均勻的球體，半役為R,地球表面的重力加速度大小為g,若從地球表面沿半徑方向挖一深

下列說法正確的是（）

A.洞底的重力加速度大小為9

B.洞底的重力加速度大小為目

C.若從地表由靜止掉落一物體，到達(dá)洞底時(shí)的速度大小為零

D.若從地表由靜止掉落一物體，到達(dá)洞底時(shí)的速度大小為零

【即時(shí)檢測2]（23-24高一下?河北滄州?期末）已知質(zhì)量分布均勻的球殼對內(nèi)部任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零。

如圖所示，若通過地球球心打通一條光滑的細(xì)通道，一個(gè)質(zhì)量為〃?，可看作質(zhì)點(diǎn)的小球從入口河點(diǎn)處由靜

止釋放，沿著通道到達(dá)另一端M＞已知地球半徑為R，小球在M點(diǎn)釋放瞬間的加速度為m地球質(zhì)量分布均

勻，不計(jì)細(xì)通道對地球質(zhì)量分布的影響，則小球運(yùn)動(dòng)過程中的最大動(dòng)能為（）

10/24

B.-maRC.maRD.2maR

題型5中心天體質(zhì)量和密度的計(jì)算

題|型|解|讀

……孩版冠息高二朝通期茉著,并算版第二詞的宓滂內(nèi)容「衽監(jiān)在逸癢鹿幣單須等杳二…核E總擘狼西部不

同條件下的計(jì)算思路，根據(jù)題目給出的已知量選擇對應(yīng)公式推導(dǎo)，具體分為兩類場景：

模型1：自力更生法

給定星球表面重力加速度和星球半徑，忽略星球自轉(zhuǎn)時(shí)，利用黃金代換式GM=gW,直接推導(dǎo)得到中

心天體質(zhì)量M=啥，再結(jié)合密度公式，代入化簡就能得到密度p=懸。

模型2：借助外援法

給定環(huán)繞衛(wèi)星的軌道半徑（r）和公轉(zhuǎn)周期（T），利用萬有引力提供向心力，G等=加整，整理得到中心天

體質(zhì)量M=穿，再結(jié)合密度公式代入中心天體體積V=，R3（R為中心天體自身半徑），即可得到密度

P=需。如果是近地衛(wèi)星，軌道半徑r■近似等于中心天體半徑R,公式可以直接化簡為p=言，這一結(jié)論

是選擇題高頻考點(diǎn)，需要牢記。

易錯(cuò)題型：一是計(jì)算密度時(shí)，誤把衛(wèi)星軌道半徑當(dāng)成中心天體的自身半徑代入體積公式，只有近地衛(wèi)

星才能直接替換；二是混淆兩種計(jì)算場景的條件，不會結(jié)合黃金代換式化簡，解題時(shí)先明確題目給出的己

知量，選對公式就能保證計(jì)算正確。

3【典例5】（24-25高一下?遼寧沈陽?期末）中國空間站距離地面的高度約為地球半徑的白，其環(huán)繞地球

運(yùn)行的周期為兀已知引力常量為G,則以下表達(dá)式最接近地球立均密度的是（）

4JT

B.而U黑

【即時(shí)檢測1】（24-25高一下?四川達(dá)州?期末）2024年5月3日0時(shí)27分,嫦娥六號探測器由長征五號

遙八運(yùn)教火箭在中國文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射，之后準(zhǔn)確進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道。經(jīng)過一系列變軌后成功進(jìn)入

環(huán)月軌道，已知探測器繞行周期為兀軌道高度與月球半徑之比為七引力常量為G,則月球的平均密度為

()

11/24

3萬（1+少

A.累B.黑（1+少3nk

c?而GT2k3

【即時(shí)檢測2】（24-25高一下?四川攀枝花?期木）如圖所示，有兩顆繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星1和衛(wèi)星2,

它們軌道的近地點(diǎn)到地球表面的最近距離均為d,遠(yuǎn)地點(diǎn)到地球表面的最近距離分別為"尸1.5人d2=10d.

環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的周期之比￡='忽略地球的自轉(zhuǎn)，已知萬有引力常量為G,地球表面的重力加速度為g,

⑴地球的半徑R;

⑵地球的平均密度p。

題型6衛(wèi)星的變軌問題

題I型I解I讀

一……"虛變就一瓦斯采考鈦至頊選卷施的凝至善瓦…布樂而洛布并曾函市緒百萬百史萬比律老看「核無一考香

變軌過程中的速度、加速度、周期的大小比較，需要緊扣變軌核心結(jié)論分析判斷。

該題型有幾個(gè)高頻考查結(jié)論需要牢記：第?，加速度只和位置有關(guān)，同?位置不同軌道的萬有引力相

同，因此加速度一定相等，不要被變軌過程的速度變化誤導(dǎo)；第二，速度大小比較：低軌道變到高軌道，

點(diǎn)火加速后速度才會大于原軌道的穩(wěn)定速度，但是最終穩(wěn)定在高軌道后，環(huán)繞速度會比原低軌道的環(huán)繞速

度更??；第三，從低軌道轉(zhuǎn)移到高軌道需要經(jīng)過兩次點(diǎn)火，第一次在低軌道加速進(jìn)入轉(zhuǎn)移橢惻軌道，第二

次在橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)再次加速進(jìn)入高軌道圓軌道，整個(gè)過程需要消耗燃料，機(jī)械能增加。

常見的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)：一是誤以為軌道越高穩(wěn)定環(huán)繞速度越大，記錯(cuò)“高軌低速”的規(guī)律；二是比較

變軌交點(diǎn)處的速度大小時(shí)混淆變軌過程，錯(cuò)認(rèn)為內(nèi)軌速度大于外軌速度，需要記住離心變軌時(shí)外軌交點(diǎn)速

度更大，近心變軌時(shí)外軌交點(diǎn)速度更大這一結(jié)論。

?【典例6］（24-25高一下?福建福州?期末）（多選）“天問一號〃探測器，2020年發(fā)射，2021年2月成功

飛近火星，這在我國尚屬首次。歷時(shí)較長，過程復(fù)雜，若將過程模擬簡化，示意如圖，圓形軌道I為地球

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繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道，軌道半徑為r，橢圓軌道n為"天問一號"繞太陽公轉(zhuǎn)的橢圓軌道，圓形軌道ID為火星繞

太陽的公轉(zhuǎn)軌道，軌道半徑為1.5r；P是軌道II與I的公切點(diǎn)，Q為軌道II與DI的公切點(diǎn)，不計(jì)火星引力、

地球引力對軌道II中探測器的影響。下列說法正確的是（）

A.“天問一號〃在橢圓軌道n上運(yùn)動(dòng)的周期小于2年

B."天問一號"從P點(diǎn)運(yùn)行到Q點(diǎn)的過程中引力先做正功后做負(fù)功

C.“天問一號〃在軌道I上運(yùn)行的機(jī)械能小于在軌道m(xù)上運(yùn)行的機(jī)械能

D."天問一號"在軌道n上運(yùn)行經(jīng)過Q點(diǎn)速度大于火星在軌道HI上經(jīng)過Q點(diǎn)的速度

【即時(shí)檢測1】（24-25高一下?甘肅白銀?期末）（多選）2025年4月24日，三名航天員從神舟二十號載人

飛船進(jìn)入空間站（距地面的高度為h）。神舟二十號的質(zhì)量為航天員的總質(zhì)量為Am,地球半徑為R,地

球表面的重力加速度大小為9。下列說法正確的是（）

A.神舟二十號與空間站對接后，神舟二十號（含航天員）受到地球的萬有引力大小為喘瞠

B.對接前，神舟二十號與空間站在同一軌道繞地球運(yùn)動(dòng)，穩(wěn)定后神舟二十號加速追上去就可完成對接

C.空間站環(huán)繞地球運(yùn)行的速度為Jg（R+h）

D.空間站環(huán)繞地球運(yùn)行的周期為2嚀等

【即時(shí)檢測2】（24-25高一下?山東濟(jì)南?期末）（多選）嫦娥六號探測器的發(fā)射成功，開啟了人類首次從月

球背面采樣返向先河。探測器著陸月球表面的過程示意圖如圖所示，探測器先在軌道I做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

從4點(diǎn)變軌進(jìn)入橢圓軌道n,到達(dá)近月點(diǎn)B點(diǎn)再次變軌到近月軌道HI,最后安全落在月球上。己知月球半徑

為匕探測器在軌道DI運(yùn)動(dòng)的周期為7,在橢圓軌道II運(yùn)動(dòng)的周期為近月軌道HI的周期的2e倍。下列說法

正確的是（）

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A.探測器在軌道in運(yùn)動(dòng)的速率大于在軌道i運(yùn)動(dòng)的速率

B.探測器在就道in運(yùn)動(dòng)的速率小于在軌道n經(jīng)過4點(diǎn)時(shí)的速率

C.軌道I的半徑為3R

D.探測器在軌道I的角速度為噂

題型7雙星（或多星）模型

題?型?解i讀

……-反厘硬函層美襪運(yùn)而下著香頑窣較蒿的褥色橫型「核E將餐息兩顆桓豆繚百i]?還線王而箕二而微芍謔

圓周運(yùn)動(dòng)，二者的向心力均由彼此間的萬有引力提供，需要牢記三個(gè)核心規(guī)律：第一，雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的

角速度、周期一定相等，因?yàn)槎呃@公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)，始終保持在同一直線上，所以角速度和周期完全相同；

第二，兩顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等，因?yàn)殡p星之間的萬有引力是?對相互作用力，大小相等，各

自做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力都由這個(gè)萬有引力提供，因此向心力大小相等；第三，雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑

之和等于兩星之間的距離，設(shè)兩星質(zhì)量分別為〃“、加2,軌道半徑分別為,1、12,兩星間距為L,則滿足門+〃2

=L<

解決雙星問題的基本推導(dǎo)思路為：對如有G*ws2打，對加2有若券加2小/2,兩式相加可得嗎等=小

3整理可得周期公式船=（；；：￡、）.這是雙星問題的常用結(jié)論。

：--L-：

該題型最常見的易錯(cuò)點(diǎn)是，誤把雙星的軌道半徑當(dāng)成兩星之間的距離代入公式計(jì)算，一定要牢記軌道

半徑是星體到旋轉(zhuǎn)公共圓心的距離，不是兩星體之間的距離，只有先寫出〃1+〃2=￡的關(guān)系，再結(jié)合推導(dǎo)才能

得到正確結(jié)果。如果是多星模型，核心思路和雙星一致，依然是萬有引力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，結(jié)

合角速度相等的特點(diǎn)推導(dǎo)即可。

2【典例7】（23-24高一下?湖南衡陽?期末）有研究表明，在果河系中至少一半以上的恒星系統(tǒng)都是由雙

星構(gòu)成的。由恒星1、2（可視為質(zhì)點(diǎn)）組成的雙星系統(tǒng)如圖所示，兩恒星以相等的角速度繞兩者連線上的。

點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，測得恒星1、2到。點(diǎn)的距離分別為2人廣，已知恒星1的質(zhì)量為“，引力常量為G。求：

（1）恒星2的質(zhì)量nf；

（2）恒星1、2間的萬有引力大小a

（3）恒星1的線速度大小也。

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【即時(shí)檢測1】（23-24高一下?安徽合肥?期末）如圖所示，質(zhì)量分別為加和M的兩個(gè)星球4和8在引力作

用下均繞。點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球4和8兩者中心之間距離為心已知4、8的中心和。三點(diǎn)始終共線,

力和4分別在。的兩側(cè)，引力常量為G。求：

（1）A星球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑/?和4星球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑〃；

（2）兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；

（3）如果把星球/質(zhì)量不斷地搬運(yùn)到〃星球上，并保持力和夕兩者中心之間距離仍為乙則組成新的穩(wěn)定

雙星后那么星球片做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期如何變化。

A，........B

■,?■

【即時(shí)檢測2］（24-2S高一下?北京海淀?期末）（多選）雙星系統(tǒng)由兩個(gè)天體組成，相對于共他天體，位置

非常靠近，以相同的角速度繞兩者連線上某點(diǎn)各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。圖1是某雙星系統(tǒng)示意圖，該系統(tǒng)由

兩顆互相繞行且質(zhì)量分布均勻的恒星組成。圖2為該雙星系統(tǒng)的簡化圖，0為圓心。兩恒星P、Q的球心分

別為。I、。2，已知。1。2=匕1，0。1一。。2=乙2,乙2〉。。下列說法正確的是（）

圖1圖2

A.尸和Q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為合

B.P和Q受到的向心力之比為合

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c.P和Q質(zhì)量之比為普

D.P和Q繞。旋轉(zhuǎn)的線速度之和與線速度之差的比值為受

題型8挖補(bǔ)法求萬有引力

:題|型|解|讀

[………挖補(bǔ)法亮偏澳,可麗均芍城襪至王二說芬后:…訐算碗南部芬好擅去蒞亶芥窠二質(zhì)篇萬有可萬,面函的

;特殊方法，核心思路是先將球體補(bǔ)成完整的均勻大球體，計(jì)算已完整球體對質(zhì)點(diǎn)的萬有引力，再計(jì)算出挖

:去部分對該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力，最后用完整球體的引力減去挖去部分的引力，就得到剩余部分對質(zhì)點(diǎn)的萬有

|引力，本質(zhì)是利用了萬有引力的疊加原理。

:這類問題的常見考查場景為：從均勻?qū)嵭那蝮w中挖去一個(gè)直徑等于原球體半徑的小球，在原小球球心、

;或者原球體表面原直徑位置放置?個(gè)質(zhì)點(diǎn)，計(jì)算剩余部分的萬有引力，計(jì)算過程中需要結(jié)合球體質(zhì)量和半

:徑三次方成正比的關(guān)系，根據(jù)挖去小球的半徑推導(dǎo)挖去部分的質(zhì)品占原球體質(zhì)量的比例，再代入計(jì)算。

；該題型的易錯(cuò)點(diǎn)是找錯(cuò)挖去小球的球心位置，計(jì)算二者到質(zhì)點(diǎn)的距離時(shí)出錯(cuò)，解題時(shí)需要先畫出示意

j圖，明確各部分的位置關(guān)系，再按步驟計(jì)算，就能得到正確結(jié)果。

3【典例8】上世紀(jì)70年代，前蘇聯(lián)在科拉半島與挪威的交界處進(jìn)行了人類有史以來最大規(guī)模的地底挖

掘計(jì)劃。當(dāng)蘇聯(lián)人向地心挖掘深度為d時(shí)，井底一個(gè)質(zhì)量為，〃的小球與地球之間的萬有引力為凡已知質(zhì)

量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，質(zhì)量分布均勻的地球的半徑為R，質(zhì)量為M，萬有引力常量為

G,則少大小等于（）

GMm(R-d)GM,nR3

R-d

【即時(shí)檢測1】如圖所示，一個(gè)質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體對球外質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力為R如果在球體

中央挖去半徑為r的一部分球體，且r=*則球體剩余部分時(shí)質(zhì)點(diǎn)尸的萬有引力大小為（）

P

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A.5B?WC.凱

【即時(shí)檢測2】（高一下?四川成都?月考）如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的大球體，從

中挖去一個(gè)半徑為9的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)最為〃?的質(zhì)點(diǎn)，則大球體的剩余部分對該質(zhì)點(diǎn)的萬有

引力大小為（已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零）（）

4MHi7MmMm

A.GR2B.G2R2C.G痂D.0

題型9地表拋射與天體運(yùn)動(dòng)的綜合問題

（………?適親而顧昊萬看司為板負(fù)鬲臻否祖畫荻…荽在訐算版而底隔檢亶由頊;篇要結(jié)吾至直上談「羊而辱胭

:體運(yùn)動(dòng)規(guī)律和天體運(yùn)動(dòng)的核心公式聯(lián)立求解，核心考查兩個(gè)方向：?是結(jié)合拋射運(yùn)動(dòng)先求出星球表面的重

;力加速度，再利用黃金代換式進(jìn)一步計(jì)算中心天體的質(zhì)顯、密度或第一宇宙速度；二是討論拋體的最大射

:程、最大高度與星球第一宇宙速度的關(guān)聯(lián)，整體解題的關(guān)鍵在于通過拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律推導(dǎo)出星球表面的重

;力加速度。

:這類題的解題步驟一般分為兩步：第一步對地表拋射過程分析，根據(jù)豎直上拋的上升時(shí)間、最大高度,

;或是平拋的位移規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式計(jì)算出星球表面的重力加速度g；第二步把得到的g代入萬有引力

，的相關(guān)公式，結(jié)合題目要求計(jì)算中心天體的質(zhì)量密度、第一宇宙速度或是衛(wèi)星的環(huán)繞參量。

:該題型的核心易錯(cuò)點(diǎn)是忽略地球自轉(zhuǎn)對地表拋體的影響，或是在計(jì)算天體參量時(shí)混淆星球半徑與離地

:高度，只要先通過拋體運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)確求出重力加速度，再嚴(yán)格按照天體運(yùn)動(dòng)公式代入對?應(yīng)物理量，就能順利解

I決問題。

3【典例8】（山西運(yùn)城?期末）如圖所示，宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面一斜坡上P點(diǎn)，沿水

平方向以I，。拋出一個(gè)小球，測得小球經(jīng)時(shí)間，落到斜坡上另一點(diǎn)。，斜面的傾角為夕，已知該星球的半徑為

R，萬有引力常量為G。求：

（1）該星球的質(zhì)量：

（2）該星球的第一宇宙速度；

（3）人造衛(wèi)星繞該星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最小周期丁。

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PVo

【即時(shí)檢測1】（24-25高一下?河北雄安?期末）電影《火星救援》的熱映，激起了人們對火星的關(guān)注。若宇

航員在火星表面將小球豎直向上拋出，取拋出位置的位移工=0,從小球拋出開始計(jì)時(shí)，以豎直向上為正方

向，小球運(yùn)動(dòng)的圖像如圖所示（其中。、6均為已知量）。已知火星的半徑為R,引力常量為G,忽略

⑵火星的密度〃及其第一宇宙速度Vo

【即時(shí)檢測2】（24-25高一下?四川眉山?期末）如圖所示，宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面上，沿水

平方向以初速度幾拋出一個(gè)小球，測得小球經(jīng)時(shí)間,垂直打在斜坡上的尸點(diǎn)（未畫出），已知斜坡的傾角為

凡該星球的半徑為R引力常量為G,求：

⑴該星球表面的重力加速度go：

⑵求該星球的密度P和笫一宇宙速度Vo

.考場練兵?分層實(shí)戰(zhàn).

基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時(shí)間：10分鐘）

1.（24-25高一下?內(nèi)蒙古包頭?期末）太空碎片會對航天器帶來危害。設(shè)空間站在地球附近沿順時(shí)針方向做

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勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖中實(shí)線所示。為了避開碎片，空間站在P點(diǎn)向圖中箭頭所指徑向方向極短時(shí)間噴射氣

體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而'實(shí)現(xiàn)變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸大于原軌道

半徑。則

A.空間站變軌后在尸點(diǎn)的加速度比變軌前的大

B.噴射氣體后，空間站開始做近心運(yùn)動(dòng)

C.空間站變軌后的運(yùn)動(dòng)周期比變軌前的小

D.空間站變軌后在P點(diǎn)的速度比變軌前的大

2.（23-24高一下?河南安陽?期末）由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會隨緯度的變化而有所不

同，已知地球表面兩極處的重力加速度大小為切，在赤道處的重力加速度大小為g,地球自轉(zhuǎn)的周期為八

引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，由此可知地球的半徑為（）

A（--砒爐B<9。-9）.（。-血）72D（。廠9）廠

?47r2'47r2*2n2'2n2

3.（24-25高一下?山東濟(jì)寧?期末）“開普勒-90”星系是一個(gè)類太陽系的恒星系統(tǒng)。其中一顆行星“開普勒

-90d”的公轉(zhuǎn)軌道半徑約為地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的g公轉(zhuǎn)周期約為地球公轉(zhuǎn)周期的幺該星系中心天體與太陽

OO

的質(zhì)量之比約為（）

A.4:3B.9:4C.3:1D.4:1

4.（24-25高一下?天津西青?期末）如圖所示，在地球赤道上的物體A和在天津的物體B,它們均隨地球自

轉(zhuǎn)而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)兩個(gè)物體質(zhì)量相等，則下列說法正確的是（）

A.兩個(gè)物體的線速度大小相等B.物體B的向心加速度最大

C.物體A的周期大于物體B的周期D.兩個(gè)物體受到的萬有引力大小相等

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5.（2022?湖北?模擬預(yù)測）中國科學(xué)院沈陽自動(dòng)化研究所主持研制的“海斗一號”在無纜自主模式下刷新了中

國下潛深度紀(jì)錄，最大下潛深度超過了10000米，若把地球看成質(zhì)量分布均勻的球體，且球殼對球內(nèi)任一

質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零，忽略地球的自轉(zhuǎn)，則下列關(guān)于"海斗一號〃下潛所在處的重力加速度大小g和下潛深度。

的關(guān)系圖像可能正確的是（）

重難突破練（測試時(shí)間：15分鐘）

6.（24-25高一下?四川眉山?期末）（多選）在X星球表面宇航員做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：如圖甲所示，輕桿一端固

定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，現(xiàn)計(jì)小球在豎宮平面內(nèi)做半杼為H的圓周運(yùn)動(dòng),小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，受

到的彈力為用速度大小為也其廣3圖像如圖乙所示。已知X星球的半徑為用），引力常量為G,不考慮星

球自轉(zhuǎn)，則下列說法正確的是（）

甲乙

A.X星球的第一宇宙速度也二杵

B.X星球的密度。=贏

C.X星球的質(zhì)量M=N

D.環(huán)繞X星球的軌道離星球表面高度為扁的衛(wèi)星周期T=44住^

7.（24-25高一下?天津?期末）（多選）我國計(jì)劃在2030年前實(shí)現(xiàn)教人登陸月球開展科學(xué)探索，其后將建

造月球科研試驗(yàn)站，開展系統(tǒng)、連續(xù)的月球探測和相關(guān)技術(shù)試驗(yàn)。假設(shè)飛船繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑

為2R,周期為7；已知月球的半徑為R,引力常量為G,下列說法正確的是（）

A.該飛船的線速度大小為半

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B.月球的質(zhì)豉為普

C.月球的第一宇宙速度為罕

D.月球兩極的重力加速度為陪

8.（24-25高一下?湖北孝感?期末）（多選）天問一號在繞火星運(yùn)動(dòng)過程中由于火星遮擋太陽光，也會出現(xiàn)

類似于地球上觀察到的日全食現(xiàn)象，如圖所示。已知天問一號繞火星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為小火星質(zhì)量為憶

引力常量為G,天問一號相對于火星的張角為a（用弧度制表示），將天問一號環(huán)火星的運(yùn)動(dòng)看作勻速圓周

運(yùn)動(dòng)，天問一號、火星和太陽的球心在同一平面內(nèi)，太陽光可看作平行光，則（）

A.火星表面的重力加速度為百?

B.火星的第一宇宙速度為戶”

\jrtan-

C.天間一號每次日全食持續(xù)的時(shí)