人教版高中數學必修2考點訓練 專項強化11：統計與概率解答題（解析版）

專題強化11:統計與概率解答題

【題型過關】

題型01:用樣本估計總體

1.（2425高一上?遼寧鞍山?期末）國務院于2023年開展第五次全國經濟普查，為更好地推動第五次全國經濟普查

工作，某地充分利用信息網絡開展普查宣傳，向基層普查人員，廣大普查對象及社會公眾宣傳經濟普查知識.為了解

宣傳進展情況，現從參與調有的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組［15,25）,

第2組［25,35）,第3組［35,45）,第4組［45,55）,第5組［55,65］,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

（1）求。值，并求這組數據的40%分位數（精確到0.1）；

（2）現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人.抽取結果中來自第2組和第3組中的所有人的年齡的平均數和

方差分別為37和27.已知第2組中參與調查的人的年齡的平均數和方差分別為30和6,據此估計第3組所有人的年

齡的方差.

【答案】（1）。=0.010，39.3

（2）6

【分析】（1）根據頻率之和為1列方程求得根據百分位數的求法求得這組數據的40%分位數.

（2）根據第2組和第3組的所有人的年齡的方差列方程，化簡求得第3組所有人的年齡的方差.

【詳解】（1）由表中數據可得10（a+0.015+0.035+0.030+a）=l,解得。=0.010,

設第40百分位數為加，

因為前2組頻率0.01xl0+0.015xl0=0.25v0.40

前3組頻率0.01xl0+0.015xl0+0.35xl0=0.6>0.40,所以〃［位于第三組：［35,45）內

即0.035x（加一35）+0.25=0.40,m?393.

（2）由題意得，第2組和第3組的頻率分別為。15,0.35,

故第2組和第3組所抽取的人數分別為0.15x20=3,0.35x20=7,

設第2組的宣傳使者的年齡平均數分為胃=30,方差為s；=6,第2組人數3人，

設第3組的宣傳使者的年齡平均數為歹，方差為學,

第3組人數7人第2組和第3組所有宣傳使者的年齡平均數為彳，方差為一,

則亍=^+*=3x3￡￥=37,求得少二40,

即第3組所有宣傳使者的年齡平均數為40,

『='{3'+(胃-刃2]+7x卜；+(y-z)2]}

222

=-^{3X[6+(30-37)]+7X[^+(40-37)]}=27>^52=6,

即第3組所有宣傳使者的年齡方差為6.

2.（2425高一上?遼寧?期末）某校的體育組為了了解本校高一學生的體能狀況，隨機抽取了〃名高一學生進行體能

測試，將所得評分（百分制）按體育組制定的體能測試評價標準整理，得到頻率分布直方圖.已知評分在［70,80）

中的學生有100人.體能測試評價標準如下表:

測試評[90,

[0,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

分100]

體能等

EDCBA

級

⑴求〃的值及頻率分布直方圖中f的值;

（2）在抽取的體能等級為。的學生中，按照測試評分的分組，分為兩層，通過分層抽樣抽取出三人進行體能訓練.根

據以往數據統計，經體能訓練后，測試評分在［40,50）中的學生的體能等級轉為8的概率為:，測試評分在［50,60）中

的學生的體能等級轉為8的概率為:，假設經體能訓練后的等級轉化情況相互獨立，求在抽取出的三人中，經體能

訓練后至少有一人的體能等級轉為B的概率.

【答案】⑴〃=500,/=0.002；

2

⑵3

【分析】（1）利用公式求〃的值，利用矩形的面積和為1求/的值;

（2）設事件”在抽取的3人中，經心理疏導后至少有一人的心理等級轉為B”，利用對立事件的概率公式求解;

【詳解】（1）由已知條件可得〃=八）?0,八=500,乂因為每型的小矩形的面積之和為L

0.02x10

所以(0035+0.025+0.02+0.004+81)x10=1,解得/=0.002.

（2）由（1）可知：r=0.002,

所以調查評分在［40,50）中的人數是調查評分在［50,60）中人數的9

若按分層抽樣抽取3人，則調查評分在［40,50）中有1人，在［50,60）中有2人，

設事件M=”在抽取的3人中，經心理疏導后至少有一人的心理等級轉為B”.

因為經心理疏導后的等級轉化情況相互獨立，

所以尸（后）=34吟=9

,4333

所以尸（.“）=1一/>（而）=14=：,

2

故經心理疏導后至少有一人的心理等級轉為B的概率為§?

3.（23?24高一下?安徽阜陽?期末）阜陽三中舉行了一次“垃圾分類知識競賽“，高一年級學生參加了這次競賽，為了

了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績x作為樣本進行統計將成績進行整理后，分為五組（50〈x<60,

60<x<70,70<x<80,80<x<90,90<x<100）,其中第4組，第1組，第2組的頻數依次成等比數列，請根據下

面尚未完成的頻率分布直方圖（如圖所示）解決卜.列問題；

頻率

而

0.040.......................

a----------

0.016-1—

0.008

b

05060708090100

成績（分）

（1）若根據這次成績，年級準備淘汰80%的同學，僅留20%的同學進入下一輪競賽請問晉級分數線劃為多少合理？

（2）李老師在此次競賽成績中抽取了10名學生的分數:xpx2,x3,-,x10，己知這10個分數的平均數嚏=90，標準差s=6,

若剔除其中的95和85兩個分數，求剩余8個分數的平均數與方差.

⑶從樣本數據在504x<60,60"<70兩個小組內的同學中，用分層抽樣的方法抽取6名同學，再從這6名同學中

隨機選出2人，求選出的兩人恰好米自十同一小組的概率.

【答案】（1）78分

（2）平均數90,方差38.75

嗚

【分析】（1）利用百分位數的定義求解：

（2）利用平均數和方差的定義求解;

（3）利用古典概型的概率公式求解.

【詳解】（1）由題意知，第4組，第1組，第2組的小長方形的高也成等比數列，

所以0.016?=0.008”，

解得a=0.032,

X（0.008+0.016+0.032+0.04+Z））xlO=l,

解得6=0.004,

所以°=0.032,6=0.004,

成績落在［50,70）內的頻率為：0.16+0.32=0.48,

落在［50,80）內的頻率為：0.16+0.32+0.40=0.88,

設第80百分位數為閉，

p1lj（w-70）0.04=0.8-0.48,

解得m=78,

所以晉級分數線劃為78分合理；

（2）因為［=90，

所以芭+X?+???+七0=1（）x90=900,

所以?='卜:+*+..?+4,）-9。=6,

所以++…+x；o=81360,

剔除其中的95和85兩個分數，設剩余8個數為x-，…，/，

平均數與標準差分別為xo，s°,

□tut八八A八①?-X++XI+,??+900—95—85八八

則剩余8個分數的平均數：%二」一士一￡-------=------------=90,

OO

方差：S1=-（x；+xl+-+x；）-9tf=-（81360-9^-8^卜9。=38.75:

88

（3）由圖可知，按分層抽樣法，兩層應分別抽取2人和4人.分別記為A,4和。，b,c,d,

則所有的抽樣有：Q={AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd）,共15個樣本點，

力='、抽到的兩位同學來自于同一小組”，

則A={AB,abyac,ad,be,bd,cd},共7個樣本點，

7

所以P（4）=話.

題型02：古典概型

4.(23-24高一下?福建泉州?期末)盒子中有4個大小質地完全相同的小球，分別標有數字1,2,3,4,從盒子中

有放回地隨機兩次摸出小球，每次摸出一個小球.

(1)求兩次摸到的小球數字之和為偶數的概率；

(2)設事件力=”兩次摸到的小球數字之和是質數”，事件4="第1次摸到的小球數字為奇數”，事件當=”第2次摸到

的小球數字為奇數”，求LU瓦JU瓦).

【答案】⑴；

*

【分析】(1)解法一：利用列舉法，列出從盒中有放回依次隨機摸加兩個小球，再找出兩次摸到的小球數字之和為

偶數的情況，然后利用古典概型的概率公式求解，解法二：根據分步乘法原理和分類加法原理結合古典概型的概率

公式求解；

(2)解法一：列舉出事件4%名的所有情況，再利用古典概型的概率公式求出P(4),P(g),P(&),然后根據互斥

事件和獨立事件的概率公式求解；解法二：列舉出力片和，4瓦約，.4萬12,從而可列舉出力4瓦LM瓦瓦反，

再利用古典概型的概率公式求解.

【詳解】(1)解法一：從盒中有放回依次隨機摸出兩個小球的樣本空間是

Q={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4>(2,1)(2,2)^,3)?4)鼠)&2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)),

所以〃(Q)=16,共有16個樣本點.

記事件。="兩次摸到的小球數字之和為偶數”，

則C={(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3』)(3,3)62)&4)},

所以〃(C)=8,共有8個樣本點.

因為樣本空間的每個樣本點具有等可能性，

所以呼)=島="/

即兩次摸出的小球數字之和為偶數的概率為g.

解法二：記事件C="兩次摸到的小球數字之和為偶數”.

每一次從盒中摸出小球，小球的數字都有概率相同的4種可能，

故有放回地摸兩次，兩次的小球數字相加情況共有4x4=16種可能，

1，2,3,4中共有2個偶數和2個奇數，

事件C發生有2x2+2x2=8種可能(2次都摸到偶數和2次都摸到奇數)，

/、"(c)81

因為上述各種情況發生的可能性都相同，所以尸(。)=一晨=71=；.

162

(2)解法一：因為“={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1)42,31(3,2)0,4)81)&,3)}，則P(4)二之，

16

B、={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(3,1"3,2)(3,$(3,種,

&={。,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1)63\《I)&3)},

所以48向={(1,1)},則尸(4用區)=，，

因為事件力與瓦、A石電、力瓦瓦不會同時發生，所以兩兩互斥，

所以尸(力與瓦114瓦層U/瓦萬2)二尸04瓦)+尸卜瓦當卜尸(加瓦)，

又因為〃力坊瓦)+「(力加斗)+尸(4瓦瓦)+P0/力)=P(4),

所以尸(明瓦)+網益闖+用而網=RA-R9&系磊T

即可得尸(AB^BiUAB\B2U而碎=-.

解法二：因為力={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1)(2,3)(3,2)(3,q(4,)(4J},

^,={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)43,1"3,2)(3,$(3,叫,

Bi={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(4,1)(4,2(4,?(4,鄧，

82={(1,1),(1,3),(2』),(2,3),(3,1)631州)63)},

瓦={(1,2),(1,4),(2,2),(2,4I(3,2)(3,4)加2)&4)},

可以得到力耳瓦={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)},

4瓦與={(2,1),(2,3),(4,1),(4,3)},

4瓦瓦=0，

所以,伍瓦U4后區U/瓦瓦={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)(2,1)(2,3)也1)&3)),

共有8個樣本點，

即尸(力為瓦UAB\B2U彘岡=2=:.

5.(23-24高一下?甘肅武威?期末)龍年春晚精彩的魔術表演激發了人們探秘魔術的熱情，小明從一幅撲克牌中挑出

1()和K共8張牌(每個數字四個花色：紅桃(紅色)、方塊(紅色)、黑桃(黑色)、梅花(黑色)).現從8張牌中

依次取出2張，抽到一張紅10和一張紅K即為成功.現有三種抽取方式，如下表：

方式①方式②方式③

按數字等比例分層

抽取規則有放回依次抽取不放回依次抽取

抽取

成功概率PlP1P3

(1)分別求出在三種不同抽取方式下的成功概率：

(2)若三種抽取方式小明各進行一次，

(i)求這三次抽取中至少有一次成功的概率；

(ii)設在三種方式中僅連續兩次成功的概率為p,那么此概率與三種方式的先后順序是否有關？如果有關，什么樣

的順序使概率p最大？如果無關，請給出簡要說明.

【答案】⑴"，；，；?

O/

(2)(i)匚；(ii)此概率與三種方式的先后順序有關，按方式②③①或①③②抽取概率最大

16

【分析】(1)運用列舉法，結合古典概型求解概率即可；

(2)(1)運用對立事件概率性質求解即可：(ii)求出各自的概率再比較即可.

【詳解】(1)設方式①的樣本空間為方式②的樣本空間為鼻，方式③的樣本空間為。3,

則〃(Cj=8x8=64,)=8x7=56,??(Q3)=4x4+4x4=32,

設事件力="抽到一張紅10和一張紅K,4=(紅桃10,紅桃K),(紅桃10,方塊K),(方塊10,紅桃K),(方塊10,方塊K),

(紅桃K,紅桃10),(方塊K,紅桃10),(紅桃K,方塊10),(方塊K,方塊10),

〃n(A)81n(A)81n(A)81

故Pi=-7^=77=G，P2=/八\=77=「，P\=小\=A

648”(Q?)567”(Qj)324

(2)(0記三次抽取至少有一次成功為事件8,

則。(8)=1-(13)(1-22)(1-23)=1-33(=看.

(ii)有關,按方式②?①或①③②抽取概率最大.

若按?§>@的順序，P=99,十9底J=,

874874112

1391395

同理，求出①③②、②①③、②③①、③①②、③?①順序下的概率分別為一，—.―，—?

224224224224112

故此概率與三種方式的先后順序有關，按方式②?①或①③②抽取概率最大

6.(23-24高一下?福建原門?期末)甲每次投籃投進的概率是0.7.連續投籃三次，每次投籃結果互不影響.記事件A

為“甲至少投進兩球”

(1)用％(i=123)表示甲第i次的投薛結果,則(再小小)表示試特的樣本點.用1表示“投進”，0表示“未投進”，寫

出該試驗的樣本空間，判斷其是否為古典概型，并說明理由;

（2）用計算機產生0~9之間的整數隨機數，當出現隨機數0~6時，表示“投進”，出現7,8,9時表示“未投進”.以

每3個隨機數為一組，代表甲三次投籃結果，產生20組隨機數：06204922893311774732783078276

91349114494995396x211016365140,利用該模擬試驗，估計事件A的概率,并判斷事件A的概率的精確值與估計

值是否存在差異，并說明理由.

【答案】（1）答案見解析

（2）0.784,有差異；理由見解析

【分析】（1）列舉出樣本空間，則由題意求出樣本點（覃,1）的概率和樣本點（0,0,0）的概率，再根據古典概型的定義

分析判斷即可；

（2）根據隨機數表可求得事件A的概率的估計值為0.9,設事件用=”甲第i次投進“，/=1,2,3,則

4=8應瓦+4瓦員+瓦區員+8乃遇，然后根據獨立事件和互斥事小的概率公式結合題意求出尸（⑷，與0.9比較即

可.

【詳解】（1）該試驗的樣本空間為

Q=｛（1.1,1）,（1,1,0）,（1,0,1）,（1,0,0）,（0,1J）,（0,1,0）,（0,0,1）,（0,0,0））,

共有8個樣本點.

因為甲每次投籃投進的概率是0.7,

所以樣本點（1』』）的概率為07\樣本點（0。0）的概率為O.T，

所以這兩個樣本點的概率不相等，

所以這個試驗不是古典概型.

（2）產生20組隨機數相當于做了2（）次重復試驗，其中事件A發生了18次，

則事件A的頻率為￡=0.9,所以事件A的概率的估計值為09

20

設事件夕=”甲第i次投進“，）=1,2,3,則」=4與瓦+々瓦層+以紇鳥+鳥與鳥

因為尸（4）=尸（鳥）=尸（員）=0.7,尸|：瓦卜P（瓦）=P（瓦）=0.3.

又因為每次投籃結果互不影響，所以4，生與瓦相互獨立，片，區與層相互獨立，

不，層與名相互獨立，九星與與相互獨立且8色瓦，瓦瓦灰，瓦8遇，片區員兩兩互斥，

所以P（⑷=P（片4區+片區與+反約A+空中）

=P（B&2瓦）+P,瓦B）+P（EB/）+P（B俱B）

=P（BJP（BJP巴卜P（B乃瓦p（B）P瓦丫&p區”6P區，電）

=0.7x0.7x0.3+0.7x0.3x0.7+0.3x0.7x0.7+0.7x0.7x0.7=0.784

所以事件A的概率的估計值和尸(⑷有差異.原因如下：

①隨機事件發生的頻率具有隨機性，頻率和概率有一定的差異：

②重復試驗次數為20,樣本量較少，頻率偏離概率的幅度大的可能性更大.

題型03：互斥、對立、獨立事件的概率問題

7.(23-24高一下?廣東廣州?期末)某企業進入中學參與學校舉辦的模擬招聘會，設置了筆試、面試兩個環節，先筆

試后面試，筆試通過了才可以進入面試，面試通過后即可錄用，李明參加該企業的模擬招聘.

筆試關：有4道題，應聘者隨機從中選擇2道，兩道題均答對即可通過筆試，否則淘汰不予錄用.匕知李明能答對其

中的3道題；

面試關：有2道題，面試者答對第一道題，則面試通過被企業錄用，否則就繼續答第二道題，答雙第二道題則面試

通過被企業錄用，否則淘汰不予錄用.已知李明答對每道面試題的概率都是:，兩道題能否答對相互獨立.

(1)李明筆試關中能答對的3道題記為%，％，的，不能答對的題記為b,請寫出李明參加筆試關所有可能結果構成

的樣本空間，并求出李明通過筆試關的概率；

(2)求李明被錄用的概率.

【答案】(1)。=｛。1%,。|。3，生6，。也，。在內〃｝，7：

嗚

【分析】(1)寫出樣本空間，利用古典概率求出概率.

(2)利用相互獨立事件的概率公式求解即得.

【詳解】(1)樣本空間。2a3，。/，出仇。3力，有6個樣本點，

李明通過筆試關的事件/=｛。陷2嗎6，町%｝，共3個樣本點,

31

所以李明通過筆試關的概率P(4)=；=7.

62

(2)依題意，李明通過面試關的事件為8,則P(8)=!+(1-！)X!=J,

44416

李明被錄用的事件為AB,P(AB)=P(A)P⑻=4，

所以李明被錄用的概率為2.

8.(23-24高一下?吉林延邊?期末)舉辦網絡安全宣傳周、提升全民網絡安全意識和技能，是國家網絡安全工作的重

要內容.為提高廣大學生的網絡安全意識，某校舉辦了網絡安全知識競賽，比賽采用積分制，規定每隊2人，每人回

答一個問題，回答正確積1分，回答錯誤積0分.甲、乙兩個班級的代表隊在決賽相遇，假設中隊每人回答問題正確

的概率均為;，乙隊兩人回答問題正確的概率分別為且兩隊每個人回答問題正確的概率相互獨立.

⑴求甲隊總得分為1分的概率；

(2)求兩隊積分相同的概率.

【答案】（1片

⑵工

18

【分析】（1）根據題意可知甲隊得1分，則一人回答正確，另一人回答錯誤，結合獨立事件概率乘法公式運算求解;

（2）根據題意可得甲、乙得分的概率，分別求兩隊積分同為0分，1分，2分的概率，結合獨立事件概率乘法公式

運算求解.

【詳解】（1）記“甲隊總得分為1分”為事件九甲隊得1分,則一人回答正確，另一人回答錯誤，

所以小）=3（1——撲齊,

（2）由題意可知：甲隊積0分，1分，2分的概率分別為:，：，!，

424

252

乙隊積（）分，I分，2分的概率分別為

記兩隊積分同為0分，1分，2分的分別為事件8,C,O,

因為兩隊得分相互獨立，互不影響，

則=-x—=—P（C）=-x-=—,Pfo）=^-<="-,

4918V72918,廠4918

7

所以兩隊積分相同的概率為P（8uCuO）=P（8）+P（C）+P（O）=忑.

10

9.（2324高一下?福建福州,期末）目前低碳的生活理念流行，越來越多的年輕人加入自行車騎游行列.某自行車租

車點的收費標準是每車每次租車時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費2元（不足一小時的部分按?

小時計算）.有甲、乙兩人分別來該租車點租車騎游（各租一車一次），設甲、乙不超過1小時還車的概率分別為

g；I小時以上且不超過2小時還車的概率分別為羨，兩人租車時間互不影響且都不會超過3小時.

（1）求甲、乙兩人租車時間超過2小時，旦不超過3小時的概率；

（2）求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率；

（3）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元的概率

【答案】⑴:

（嗎

*

【分析】（1）根據互斥事件的概率公式和對立事件概率公式計算可得；

（2）根據相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得；

（3）甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元可能的情況是甲、乙的租車費用分別為：

①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元，再根據相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得.

【詳解】（1）甲租車時間超過2小時，且不超過3小時的概率為：1-二!，

424

乙租車時間超過2小時，且不超過3小時的概率為：1-

（2）甲、乙兩人所付的租車費用相同可分為租車費用都為0元、2元、4元三種情況，

甲、乙兩人租車費用都為0元的概率為

甲、乙兩人租車費用都為2元的概率為A=!x：=，，

236

甲、乙兩人租車費用都為4元的概率為H=，X：=L，

4312

所以甲、乙兩人所付的租車費用相同R勺概率為尸=5+3+5=2=；；

（3）甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元可能的情況是甲、乙的租車費用分別為：

①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元，

所以甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元的概率為：

c11111111141

P,=-X-+—X-+-X—=—+-+—=—=-.

43233412612123

題型04：統計與概率綜合應用

10.（24-25高一上?江西撫州?期末）臨川二中兩名優秀學子小明、小華同學獨立地參加中國科技大學少科班的入學

面試，入學面試時共有3道題目，答刈"2道題則通過面試（前2道題都答對或都答錯，第3道題均不需要回答）.已

知小明答對每道題目的概率均為|，小華答對每道題目的概率依次為：、pg,且小明、小華兩人對每道題能否

答對相互獨立.記“小明只回答2道題就結束面試”為事件A,記“小隼3道題都回答且通過面試”為事件4.

⑴求事件A發生的概率人力）；

⑵求事件A和事件8同時發生的概率

（3）求小明、小華兩人恰有一人通過面試的概率.

13

【答案】（1）77

【分析1（1）若事件A發生，則小明前兩題都答對或都答錯，利用獨立事件和互斥事件的概率公式可■求得P（力的

值：

（2）若事件8發生，則小華前兩題一題，答錯一題，第三題答對，求出P（8）的值，分析可知，事件A、8相互獨

立，由獨立事件的概率公式可求得尸（川?）的值；

（3）記小明沒有通過面試為事件C,小華通過面試的事件記為。，求出這兩個事件的概率，記小明、小華兩人恰

有一人通過面試的事件記為E,則￡=。｝+反，利用獨立事件和互斥事件的概率公式可求得尸⑷的值.

【詳解】（I）若事件A發生，則小明前兩題都答對或都答錯,

所以,★）=?+?■

（2）若事件8發生，則小華前兩題一題，答錯一題，第三題答對，

根據題意則小華3道題都回答且通過面試的概率為P（8）=：7xg1x1]+1gx2：x；142,

由題意可知，事件A、"相互獨立，則P（48）=尸（力）-P（8）=葛x￡=^.

（3）記小明沒有通過面試為事件C,

即分前兩道回答對一道且最后一道錯誤或前兩道均回答錯誤兩種情況，

則小明沒有通過面試的概率為P（C）g|x|+浜x>'xg=法

/一\4481

可得小明通過面試的概率為P（C）=1-壇=而，

而由（1）可得小華通過面試的事件記為Q,則概率為P（力）=12+：2x：2=t2，

由題意可知，事件C、。相互獨立，

則小明、小華兩人恰有一人通過面試的事件記為￡，

貝IJ概率為P（E）=P（OC+）C）=尸（。。）+。（萬C）=^x；+總、|=詈.

11.（24-25高一下?江西景德鎮?期中）在高一學生預選科之前，為了幫助他們更好地了解自己是否適合選讀物理,

某校從高一年級中隨機抽取了100名學生的物理成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求。的值.若根據這次成績，學校建議成績排名前70%的學生選報物理，成績排名后30%的學生選報歷史，某同

學想選報物理，請問他的物理成績應不低于多少分較為合適？（小數點后保留一位）

（2）現學校要選拔學生參加物理競賽，需要再進行考試.考試分為兩輪，第一輪需要考2個模塊，每個模塊成績從高

到低依次有力+，力，4三個等級，若兩個模塊成績均為力+,則直接參加：若一個模塊成績為4+,另一個模塊成

績為4則要參加第二輪實驗操作，實驗操作通過也能參加，否則均不能參加.現有甲、乙二人報名參加，二人互

不影響，甲在每個模塊考試中取得力+,A,8的概率分別為:，?；乙在每個模塊考試中取得彳+,力，8的

JJ1J

概率分別為:，9，盤；甲、乙在實驗操作中通過的概率分別為'.求甲、乙至少有一個人能參加物理競賽

/5105In

的概率.

【答案】（1）。=0.005,不低于71.4分

【分析】（1）糧據頻率分布直方圖的性質求解即可；

（2）先利用獨立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能參加物理競賽的概率，然后利用獨立事件乘法概

率公式求解即可.

【詳解】（1）依題意得，20a+30a+60a+70a+20a=lna=0.005,

又（2a+3a）xlO=5x0.005xl0=0.25<0.3,

5。x10+7ax10=0.25+7x0.005x10=0.6>0.3,

所以第30%分位數位于[70,80）,且。3:：25+70=0黑2+70-71.4,

他的物理成績應不低廣71.4分較為合適.

（2）依題意甲能參加物理競賽的概率/=]x]+2x]x；x（=\,

乙能參加物理競賽的概率2=4X：+2X：X1XJ=3

22231616

二人互不影響，所以甲、乙至少有一人能參加物理競賽的概率為：

12.（24-25高一上?江西贛州?期末）贛州市是我國當今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之譽，是客家先民中原

南遷的第一站，世稱“客家搖籃”，被命名為“國家歷史文化名城”、“中國優秀旅游城市”.目前，贛州市形成了“紅色

故都、客家搖籃、江南宋城、生態家園、世界橙鄉、堪輿圣地”六大旅游品牌.2024年國慶假期，贛州旅游再次火爆

“出圈”.據統計，10月1日至7日，全市共接待游客1050.07萬人次.為了解游客的旅游體驗滿意度，某研究性學習小

組用問卷調查的方式隨機調查了100名游客，并將收集到的游客滿意度分值數據（滿分100分）分成六段：

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

、頻率

iwn

0.025

0.020

0.010

0.005

°405060708090100分數

（1）求頻率分布直方圖中。的值，并估計100名游客滿意度分值的中位數（結果保留整數）；

（2）用分層隨機抽樣的方法從「0,90）中抽取5個人，再從這5個人中隨機抽兩人進行深入訪談，求2人滿意度分值

在同一區間的概率；

⑶已知滿意度分值在[70,80）的平均數1=78,方差s：=9,在[80,9。）的平均數為88,方差$=4,試求滿意度

分值在［70,90）的平均數z和方差

【答案】⑴。=0.030,82;

2

Q）M；

（3）84,30

【分析1（1）頻率分布直方圖，所有組距對應的頻率之和為1,利用這個性質可求出。的值.中位數是將數據從小到

大排序后，位于中間位置的數（如果數據個數為奇數）或中間兩個數的平均值（如果數據個數為偶數），根據頻率

分布直方圖求中位數需要通過計算累計頻率來確定.

（2）先根據分層隨機抽樣的原理確定從［70,80）和［80,90）中抽取的人數，然后利用組合數計算從5個人中隨機抽兩

人且在同一區間的概率.

（3）求［70,90）的平均數和方差，可根據平均數和方差的計算公式，結合已知區間的平均數和方差進行計算.

【詳解】（1）由（0.005+0.010x2+0.020+4+0.025）x10=1,解得。=0.030;

滿意度分值在［40,80）的頻率為（0.005+0.010乂2+0.020卜10=0.45<0.5,

在［40,90）的頻率為（0.005+0.010x2+0.020+0.030）x10=0.75>0.5,

所以中位數落在區間［80,90）內，

所以中位數為80+10x05-045二2等45會82;

U?JJ

（2）從［70,80）中抽取2人，記為4,B,

從［80,90）中抽取3人，記為小b,c

所以5個人中隨機抽取兩人，所以抽取的結果有：｛（帥）,（"），5力）,（，同,低）,伍力）,（防）,（"）,卜,初（48）｝,共有1（）

種情況，

取到2人滿意度分值在同一區間有｛（M）,（w）,（權UB）｝有4種情況，所以概率為證=不，

2

二.2人滿意度分值在同一區間的概率為《；

（3）滿意度分值在［70,80）的頻率為0.02x10=0.2,人數為20;

在［80,90）的頻率為0.03x10=0.3,人數為30,

滿意度分值在［70,80）的平均數［=78,方差s；=9,

在［80,90）的平均數用=88,方差$=4,

所以滿意度分值在［70,90）的平均數Z=2°Z+30Z2=84,

滿意度分值在［70,90）的方差為52=點5；+仔-可2+|2$；+⑵㈤2］=30.

JUJU

【專題強化】

1（24-25高一上?江西九江?期末）4月23日是世界讀書日，首屆全民閱讀大會在北京開幕.習近平總書記希望孩子們

養成閱讀習慣，快速閱讀，健康成長；希望全社會都參與到閱讀中來，形成愛讀書，讀好書，善讀書的濃厚氛圍.

某研究機構為了解當地中學生的閱讀情況，通過隨機抽樣調查了200位中學生，對這些中學生每天的閱讀時間（單

位：分鐘）進行統計，將這些學生每天閱讀的時間分成五段：［0,20）,［20,40）,［40,60）,［60,80）,［80,100］（單位：分鐘）,

得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中。的值，并估計這200位學生每天閱讀的平均時間（同組數據用區間的中點值代替）;

⑵現在從［20,40）和［40,60）兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行交流，求這2人每

天閱讀的時間所在區間不同的概率.

【答案】（1）。=0.01，54（分鐘）；

（2）A.

15

【分析】（1）根據頻率和為1求參數，再結合頻率直方圖求平均數即可；

（2）應用分層抽樣確定不同區間抽取的人數，再應用列舉法求古典概型的概率.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖，20（0.0025+a+0.02+?+0.0075）=1,即。=0.01,

???這200位學生每天閱讀的平均時間為T=10x0.05+30x0.2+50x0.4+70x0.2+90x0.15=54（分鐘）.

（2）每天閱讀的時間在［20,40）和［40,60）內的人數比為，則分層抽樣抽取的6人中，

在［20,40）內的有2人，記為45,在［40,60）內的有4人，記為

這6人中隨機抽取2人的試驗的樣本空間共15個樣本

點，

閱讀的時間所在區間不同的事件M={4。,4/,決,力/.加,氏/,加,k,},共8個樣本點.

這2人每天閱讀的時間所在區間不同的概率為2（歷）=百.

2.（2324高一下?甘肅臨夏?期末）某射擊訓練隊制訂了如下考核方案：每一次射擊中10環、中8環或9環、中6

環或7環、其他情況，分別評定為兒B,C,D四個等級，各等級依次獎勵2分、獎勵0分、罰2分、罰4分.假

設評定為等級為4B，C的概率分別是:，

（1）若某射擊選手射擊一次，求其被罰分的概率；

（2）若某射擊選手射擊兩次，且兩次射擊互不影響，求這兩次射擊得分之和為0分的概率.

【答案】⑴：

⑵3

16

【分析】（1）設事件4優。,。分別表示“被評為等級力，B,C,ZT.由題意，事件48,C,。兩兩互斥，然后利用互

斥事件的概率加法公求解即可；

（2）設事件（耳星）U（4G）Q（4G），且事件互斥，然后分別求出對應的概率，再利用互斥事件的概率加法公求解

即可.

【詳解】（1）設事件力，B,C,。分別表示“被評定為等級力，B,C,。”.

由題意得，事件4B,C,。兩兩互斥，所以尸（0）=1-：-。-：=：.

24X8

又因為。1]。=被罰分，所以尸（CD〃）=/（C）+尸（O）=J+J=J.

884

因此其被罰分的概率為:；

（2）設事件4，4,G，"表示"第/?次被評定為等級4B,C,D'\/=1,2.

則”兩次射擊得分之和為o分”為事件（44）=（4G）D（4CJ,且事件4與，4G，4G互斥,

P（B,^）=-xl=—,

V14416

P（J1C2）=P（J2C1）=|xl=1,

所以兩次射擊得分之和為0分的概率

p=p[g）54C2）34G）]=P（4&）+P（4C2）+P（4G）=q*x2=K.

3.（23-24高一下?貴州黔西?期末）2023年8月5日-9日，首屆貴州科技節在貴陽召開，為了了解活動成效，從參

會人員中隨機抽取50人進行調查并統計其滿意度評分（分數均在[60,100]內），將所得分數分成5組：[60,68）,

[68,76）,[76,84）,[84,92）,[92,100],制成頻率分布直方圖如圖所示,其中滿意度評分在[76,84）的參會人數為18.

（1）求頻率分布直方圖中。的值;

（2）從抽取的50名參會人員中滿意度評分在［60,68）及［92,100］的人員中用分層抽樣的方法抽取5人,再從抽取的5

人中隨機抽取2人，求這2人中恰有1人的滿意度評分在［60,68）的概率.

【答案】⑴。=0.010,/>=0.045

（2）|

【分析】（1）根據評分在［76,84）的游客人數為18和總人數為50得到。=0.045,利用頻率之和為1得到方程，求

出a=0.01；

（2）根據分層抽樣的方法得到評分在［60,68）的人數為2,設為外,天，滿意度評分在［92,100］的人數為3,設為必,力/3，

列舉出所有情況和2人中恰有1人的滿意度評分在［60,68）的情況，求出概率.

1Q

【詳解】（1）由題知，^=--=0.045,

50x8

因為8x（a+0.015+0.025+0.030+0.045）=l,所以q=0.010.

（2）由題知，抽取的5。名參會人員中滿意度評分在［60,68）的人數為0.01x8x50=4,

滿意度評分在［92,100］的人數為0.015x8x50=6,

抽取的5人中，滿意度評分在［60,68）的人數為2,設為王應，

滿意度評分在［92,100］的人數為3,設為加已辦，

.?.從5人中隨機抽取2人的不同取法為

｛知■，｛不必｝｛占，8｝，｛芭，M｝，｛%2，乂｝，卜2，%｝，｛々，4｝，｛必，y2｝，｛乂，必｝，仇，必｝，共有1。種不同取法,

設”2人中恰有1人的滿意度評分在［60,68尸為事件”,

則事件M包含的取法為｛不凹｝,｛8/2｝，｛菁，為｝，｛毛，凹｝，卜2，必｝，｛工2，必｝洪有6種不同取法，

V7105

4.（23-24高一下?江蘇常州?期末）甲和乙進行多輪答題比賽，每輪FI甲和乙各回答一個問撅，己知甲每輪答對的概

32

率為了，乙每輪答對的概率為彳.在每輪比賽中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結果也互不影響.

（1）求兩人在兩輪比賽中都答對的概率；

（2）求兩人在兩輪比賽中至少答對3道題的概率；

（3）求兩人在三輪比賽中，甲和乙各自答對題目的個數相等且至少為2的概率.

【答案】⑴；

【分析】(1)根據相互獨立事件的概率公式計算即可；

(2)兩人分別答兩次，總共四次中至少答對3道題，分五種情況計算可得答案；

(3)分甲和乙均答對兩個題目、均答對三個題目兩種情況計算即可.

【詳解】(I)依題意，設事件"中兩輪都答對問題“，N="乙兩輪都答對問題”,

339,、224

所以尸(M=X=/(%)=X=

44lo33V

因為事件相互獨步，

g41

所以兩人在兩輪比賽中都答對的概率為尸(MN)=A(A/)P(N)=7Tx『二.

1694

(2)設事N="甲第一輪答對"，8="乙第一輪答對”，

C="甲第二輪答對”，。二“乙第二輪答對”，

￡=”兩人在兩輪比賽中至少答對3道題”，

則E=ABCDuABCDuABCDuABCDvABCD，

由事件的獨立性與互斥性，

可得P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)

=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(1)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P

(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D).

323212323132321232312

=—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—=—

434343434343434343433

2

故兩人在兩輪比賽中至少答對3道題的概率為

(3)設事件4,4分別表示甲三輪答對2個，3個題目，

層，員分別表示乙三輪答對2個，3個題目，

則P(4)=3x?x3xL=殳/區)=,

'〃44464v37(4J64

I2,一333一9,I3廣(3廠27，

設事件。="兩人在三輪比賽中，甲和乙各自答對題目的個數相等且至少為2”,

則Q=A2B2U,且4,4,%，員分別相互獨立，

77427X

所以P(0)=P(44)+P(4&)=P(4)P(%)+P(4)P(8J=瑞、+x指

649764T27

5

"16,

所以兩人在三輪比賽中，甲和乙各自答對題目的個數相等且至少為2的概率為盤.

5.(24-25高一下?北京?期中)2024年奧運會在巴黎舉行，中國代表團獲得了40枚金牌，27枚銀牌，24枚銅牌，共

91枚獎牌，取得了境外舉辦奧運會的最好成績，運動員的拼搏精神給人們留下了深刻印象.為了增加學生對奧運知

識的了解，弘揚奧運精神，某校組織高二年