勾股定理的逆定理 分層練習-2025-2026學年滬科版八年級數(shù)學下冊

滬科版八年級下冊18.2勾股定理的逆定理分層練習

判斷三邊能否構成直角三角形

1、以下各組數(shù)為三角形的三條邊長，其中能作成直角三角形的是（）

A.2,赤，4B.4,5,6C.2,3,4D.1,亞，加

2、以下列各組數(shù)為邊長，不能構成直角三南形的是（）

A.3,4,5B.9,12,15C.8，2,V5D.0.3,0.4,0.5

3、學了“勾股定理”后，甲、乙兩位同學的觀點如下：

甲：如果"5C是直南三角形，那么a，+尸=L一定成立；

乙：在中，如果/那么不是直角三角形.

對于兩人的觀點，下列說法正確的是（）

A.甲對，乙錯B.甲錯，乙對C.兩人都錯D.兩人都對

4、小雨是小學一年級的小朋友，在認識直角三角形的學習活動中，需要完成一個剪直角三角形

的剪紙活動，上初二的姐姐知知剛學完勾股定理的相關知識，她對妹妹說，我不用直角三角尺

或量角器也可以判斷你剪的卡片是否為直角三角形.知知量出兩個三角形的三邊長分別為：圖

形①9cm,12cm,15cm.圖形②10cm,10cm,15cm.請你用所學知識判斷：圖

形是直角三南形.

5、在AABC中，a=3,b=7,c2=58,則AABC是三角形..

6、如圖，以々3。的每一條邊為邊作三個正方形.已知這三個正方形構成的圖形中，綠色部分

的面積與藍色部分的面積相等，則75c是直角三角形嗎？請證明你的判斷.

利用勾股定理的逆定理求解

1、已知4ABC的三邊長分別是3cm、4cm、5cm,則AABC的面積是（）

A.6cm2B.15cm2C.24cm2D.10cm2

2、有下列說法:

①一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1,6,則它的斜邊長是2;

②一個直角三角形的兩邊長分別是3,4,則它的第三條邊長是5；

③“一個三角形的三條邊長分別是2,3,4.因為所以這個三角形不是直南三角

形”，這里推斷的依據(jù)是勾股定理的逆定理.其中，正確的個數(shù)是()

A.3B.2c.ID.0

3、已知a:b:c=5:12:l3.指出以a,b,C為邊長的直角三角形中哪一條邊所對的角是直角

().

A.aB.bC.cD.無法確定

4、若一個三角形的三邊的比為3:4:5,則這個三角形的三邊上的高之比

為.

5、上有天堂，下有蘇杭，中間還有個周莊，周莊是一座江南小鎮(zhèn)，有“中國第一水鄉(xiāng)”之美譽,

其平面圖如①所示，小明據(jù)此構造出該莊的一個數(shù)學模型如圖②所示，其中

c

D5=90,50=20,CD=7,AD=24f求該莊的面積.

圖①圖②

6、已知：Z\ABC中AB=5,BC=2a+1,AC=12

(1)求a的取值范圍

(2)如果a二6那么請判斷：^ABC是什么三角形？(友情提示：可以按角分類或按邊分類)

勾股定理與勾股定理逆定理的綜合運用

1、某社區(qū)為了讓居民享受更多“開窗見景，推門見綠”的空間，決定將一塊四邊形區(qū)域改造為

兒童游樂場.圖1是該區(qū)域的設計圖，圖2是該四邊形區(qū)域的幾何示意圖，/8?25m,

5c=9m,CD=12m,DA-20m,4c=90。，按照計劃要先在該區(qū)域鋪設塑膠，已知鋪設1平方

米塑膠需要200元，則鋪滿該區(qū)域需要的費用是（）

圖1圖2

A.40800元B.91600元C.60800jtD.48000元

2、如圖，在了港有甲、乙兩艘船，若甲船沿北偏東60°的方向以每小時8海里速度前進，乙船

沿有偏東某方向以每小時15海里速度前進，2小時后甲船到八島，乙船到巴島，兩島相距34海

里，則乙船的航行方向是（）

A.南偏東30°B.南偏東40°C.南偏東50°D.南偏東60°

3、某工程的測量人員在規(guī)劃一塊如圖所示的三角形土地時，在BC上有一處古建筑D,使得BC

的長不能直接測出，工作人員測得AB=130米，AD=120米，BD=50米，在測出AC=150米后,

測量工具壞了，使得DC的長尢法測出，請你想辦法求出BC的長度為（）

A.90米B.120米C140米D.150米

4、如圖，學校操場邊上有一塊四邊形空地43cD,該空地的陰影部分需要綠化，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，

z.ADC-z.DAE-z.DCE-90。，CD-Sm.AD-6m，BC-24m.AB-26m,那么需要綠化部分的面積

為,

B

5、在喜迎第七屆軍運會中，京西湖區(qū)加大綠化力度，在五環(huán)體育中心有一塊空地，如圖所示的

四邊形ABCD,現(xiàn)計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA二13m,乙ABC=

90%若每平方米草皮需要100元，求這塊地種植草皮需要投入多少元？

6、如圖，在一條東西走向的公路的一側有一村莊A,AB京AC是連接村莊與公路的兩條小路，

其中AB=BC,為方便村民出行，新修了一條鄉(xiāng)村公路AH,經(jīng)實際測量AC=10千米，AH=8

千米，HC=6千米.

⑴村莊A到公路MN的最近距離是多少？并說明理由.

⑵求小路AB長為多少千米？

勾股數(shù)

1、若3、4、。為勾股數(shù)，則a的值為（）

A.-5B.5C.—5或-V7D.5或C

2、我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》

中.下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）

A,2,3,4B.4,5,6C.7,S,9D,<5,8,10

3、下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是()

A.-3,-4,-5B.2,3,5C.9,12,15D.0.3,0.4,0.5

4、如圖①，在Rt△ACB中NACB=90°,分別以AC、BC、AB為邊，向形外作等邊三角形，所得

的等邊三角形的面積分別為S2.S3,請解答以下問題：

(1)S］、S2、S3滿足的數(shù)量關系是.

(2)現(xiàn)將4ABF向上翻折，如圖②，若陰影部分的S甲二6、S乙二5、S丙二4,則

SAACB=?

5、在學習“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小明設計了如下表格:

n23456????

a4681012.....

b3X152435.....

c510172637......

請回答下列問題:

(1)當n=7時，a=,b=,c=;

(2)請你分別觀察a,b,c與n之間的關系，并用含自然數(shù)n(n>1)的代數(shù)式表示：a

=,b=,c=;

（3）猜想：以a,b,c為邊長的三角形是否為直角三角杉？并對你的猜想加以證明.

滬科版（2024）八年級下冊18.2勾股定理的逆定理分層練習（參考答案）

1判斷三邊能否構成直角三角影

1、以下各組數(shù)為三角形的三條邊長，其中能作成直角三角形的是（）

A.2,赤，4B.4,5,6C.2,3,4D.1,亞，加

【答案】D

【解析】解：A.V22+（V2）2=6=#42,故此選項錯誤；

B、V42+52=41￥：62,故此選項錯誤；

C,V22+32=13=A42,故此選項錯誤；

D,V12+（V2）2二3二（V3）2,故此選項正確.

故選D

2、以下列各組數(shù)為邊長，不能構成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.9,12,15C.遮，2,縣D.O.3,0.4,0.5

【答案】C

【解析】A.32+42=9+16=25=52,能構成直角三南形

B.92+122=81+144=225=152,構成直角三角形

C.（V3）2+22=3+4=7^（V5）2,不構成直角三角形

D.0.324-0.42=0.09+0.16=0.25=0.52,構成直角三角形

故答案為C

3、學了“勾股定理”后，甲、乙兩位同學的觀點如下：

甲：如果78c是直角三角形，那么/+二=”一定成立；

乙：在38c中，如果丁+二.），那么不是直角三角形.

對于兩人的觀點，下列說法正確的是（）

A.甲對，乙錯B.甲錯，乙對C.兩人都錯D.兩人都對

【答案】C

【解析】中，4、從C不確定誰是直角邊和斜邊，

所以如果是直角三角形，那么/+/=”不一定成立，故甲說法錯誤；

在中，如果/+二?1，但是可以/+/=那么"BC也是直角三角形，故已說法錯誤,

???兩人都錯,

故選：C.

4、小雨是小學一年級的小朋友，在認識直角三角形的學習活動中，需要完成一個剪直角三角形

的剪紙活動，上初二的姐姐知知剛學完勾股定理的相關知識，她對妹妹說，我不用直角三角尺

或量角器也可以判斷你剪的卡片是否為直角三角形.知知量出兩個三角形的三邊長分別為：圖

形①9cm,12cm,15cm.圖形②10cm,10cm,15cm.請你用所學知識判斷：圖

形是直角三葡形.

【答案】①

【辭析】?.?9、122=225=15：!,

?,.圖形①是直角三角形；

Vl0-+10-=200-152,

...圖形②不是直角三角形；

故答案為：①

5、在4ABC中，a=3,b=7,c2=58,則△ABC；?：三角形..

【答案】直角

【解析】V32+72=58,

?'△ABC是直角三角形.

故答案為直角.

6、如圖，以的每一條邊為邊作三個正方形.已知這三個正方形構成的圖形中，綠色部分

的面積與藍色部分的面積相等，則73c是直角三角形嗎？請證明你的判斷.

【答案】設坐標綠色部分的面積和為a,右邊綠色部分的面積為b,籃色部分的面積和為c,坐

標空白部分的面積為d,右邊空白部分的面積為e,然后根據(jù)綠色部分的面積與藍色部分的面積

相等列式得至U（a+d）-Q+e）=c-d+e,然后由a+d=乂。'*-e=8C*求解即可..

???綠色部分的面積與籃色部分的面積相等

2+b=c

...2+b+d+e=c+d+e

（a+d）+儲+e）=c+d+e

2+d=AC',b-r-e=BC2

.'r+d+e=AB'

:.AC2-^BC2-AB：

：.JBC是直角三角形.

2利用勾股定理的逆定理求解

1、已知aABC的三邊長分別是3cm、4cm、5cm,則4ABC的面積是（）

A.6cm2B.15cm2C.24cm2D.10cm2

【答案】A

【解析】:△ABC的三邊分別是3cm,4cm,5cm,

又32+42-52,

.'.△ABC是直角三角形，且邊長為3cm和4cm的邊為兩條直角邊，

S”=gx3x4=6cm）

故選A.

2、有下列說法：

①一個直角三角膨的兩條直角邊長分別為1,行,則它的斜邊長是2;

②一個直角三角形的兩邊長分別是3,4,則它的第三條邊長是5；

③“一個三南形的三條邊長分別是2,3,4.因為V+所以這個三南形不是宜南三南

形”，這里推斷的依據(jù)是勾股定理的逆定理.其中，正確的個數(shù)是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【解析】①3?gj?2：,

二一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1,6,則它的斜邊長是2,正確；

②；一個直角三角形的兩邊長分別是3,4,

???它的第三條邊長為N/TI/MS或斤牙=77,錯誤；

③“一個三角形的三條邊長分別是2,3,4.因為2、3二=4、所以這個三角形不是直角三角

形”，這里推斷的依據(jù)是勾股定理的逆定理，正確，

???正確的個數(shù)是2,

故選B.

3、已知a:b:c=5:12:13.指出以a,b,C為邊長的直南三角形中哪一條邊所對的角是直角

().

A.aB.bC.cD.無法確定

【答案】C

【解析】*/=5:12:13,

???△ABC是直角三角形,即NC二90°,

.*.c對應的角是直角，

故選C.

4、若一個三角形的三邊的比為3：4：5,則這個三角形的三邊上的高之比

為.

【答案】20:15:12.

【解析】解：設三角形的三邊分別為3x、4x、5x,

(3x)2+(4x)2=25x?=(5x)2,

???這個三角形是直角三南形，

設斜邊上的高為h,

則：X3xX4x=：X5xXh,

解得，h=^x,

則這個三角形的三邊上的高之比=4x:3x:—x=20:15:12,

5

故答案為20:15：12.

5、上有天堂，下有蘇杭，中間還有個周莊，周莊是一座江南小鎮(zhèn)，有“中國第一水鄉(xiāng)”之美譽,

其平面圖如①所示，小明據(jù)此構造出該莊的一個數(shù)學模型如圖②所示，其中

C

D5=9O,.45=15,5C=20,CD=7,AD=24f求該莊的面積.

圖①圖②

［答案］解：在RtANBC?中，E>B=90。，AB=15.BC=20

由勾股定理得：

AC=\lAB2+BC1=25,

???CD=7,AD=24

ADZ+CD：=ACZ,

4ADC-90。

工四邊形的面積：

S=S"+S=u

=-AB^BC^—AD^DC

22

11

=—xi5x20-r—><24x7

22

-2349

答：該莊的面積為234.

6、已知：Z^ABC中AB二5,BC=2a+1,AC=12

(1)求a的取值范圍

(2)如果a=6那么請判斷：^ABC是什么三角形？(友情提示：可以按角分類或按邊分類)

【答案】(1)解：:△ABC中，AB=5,BC=2a+1,AC=12,

A2a+1>12-5,2a+1V12+5,

解得3VaV8;

(2)解：當a=6時，AiABC的三邊分別是5、12、13,

V52+122=25+144=169=132,即AB2+AC2=BC2,

??.△ABC是直角三角形(或不等邊三角形).

3勾股定理與勾股定理逆定理的綜合運用

1、某社區(qū)為了讓居民享受更多“開窗見景，推門見綠”的空間，決定將一塊四邊形區(qū)域改造為

兒童游樂場.圖1是該區(qū)域的設計圖，圖2是該四邊形區(qū)域的幾何示意圖，V5=25m,

5c=9m,CD=12m,DA-20m,4c=90。，按照計劃要先在該區(qū)域鋪設塑膠，已知鋪設1平方

米塑膠需要200元，則鋪滿該區(qū)域需要的費用是()

圖1圖2

A.40800元B.91600元C.60800元D.48000元

【答案】A

【解析】連接6。，如圖2,

???乙。=90。,5c=9m,CD=12m

BD->JBC2+CD:-V92+122-15(m)

?/AD2+BD:-20：+152-25：,AB:-25；,

AD~+BD-=AB^9

c

???乙ADB-90

1111

**?Ssia?4>ci>■SRUAD+SRUCQ■-ADBD^-BCCD--x20?15+—x9*12-204(m*),

，鋪滿該區(qū)域需要的費用為：204x200-40800（元）,

故選：A.

2、如圖，在了港有甲、乙兩艘船，若甲船沿北偏東60°的方向以每小時8海里速度前進，乙船

沿南偏東某方向以每小時15海里速度前進，2小時后甲船到八島，乙船到B島，兩島相距34海

里.則乙船的航行方向是（）

A.南偏東30°B.南偏東40°C.南偏東50。D.南偏東60。

【答案】A

【解析】如圖

由題意可得R4-8*2-16SP5-15x2-30,.45-34

百=16,=256,尸/=30：=900,.a=34=1156

APA2-PBi=AB2

二是直角三角形，即力尸5?9（/,

:.乙BPC=180*-60?-90'=30*

所以乙船的航行方向是南偏東30°.

故選：A.

3、某工程的測量人員在規(guī)劃一塊如圖所示的三角形土地時，在BC上有一處古建筑D,使得BC

的長不能直接測出，工作人員測得AB=130米，AD=120米，BD=50米，在測出AC=150米后,

測量工具壞了，使得DC的長無法測出，請你想辦法求出BC的長度為（）

B120米C.140米D.150米

【答案】C

【解析】如圖，在a/BD,-45=130,^25=120,525=50,

???AD~+3D'=AB*9

???LADB-90°,即ADABC,

12

在Rrs/DC中，AC=150,DC=JAC1-AD=V150-120-=90,

r.BC=BD+DC=50+90=140

故選：c.

4、如圖，學校操場邊上有一塊四邊形空地XBCD,該空地的陰影部分需要綠化，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，

乙ADC=z.DAE=z.DCE=90°,CD=Sm,AD=6m,BC=24m，AB=26m刃口么需要'綠;y（匕省〈分*的面才只

為.

【答案】96/?796平方米

【解析】連接,

乙=4QCE=90°

???乙ADC=DAE,

I.四邊形TDCE是矩形，

???CD-AS=8m9AD-CE-6m，

RtaHCQ中，AC=ylAD-^CD7=^6*+S'=10(m);

AC2+BC：-10:+24:-676-AB2,

Z.ACB-90。

?'?S；,%=SWC-S“K10x24-；x6x8-120-24-96(m').

故答案為：96m:

5、在喜迎第七屆軍運會中，京西湖區(qū)加大綠化力度，在五環(huán)體育中心有一塊空地，如圖所示的

四邊形ABCD,現(xiàn)計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA二13m,乙ABC=

90\若每平方米草皮需要100元，求這塊地種植草皮需要投入多少元？

VrABC=90°,AB=3m,BC=3m,

AAC=5(m),

VAC2+CD2=52+122=132=AD2,

???△ACD是直角三角形，zACD=90°,

???四邊形ABCD的面積為gx3x4+1x5xl2=6+30=36(m2),

J學校要投入的資金為36x100=3600(元).

6、如圖，在一條東西走向的公路的一側有一村莊A,AB京AC是連接村莊與公路的兩條小路，

其中AB=BC,為方便村民出行，新修了一條鄉(xiāng)村公路AH,經(jīng)實際測量AC=10千米，AH=8

千米，HC=6千米.

(1)村莊A到公路MN的最近距離是多少？并說明理由.

⑵求小路AB長為多少千米？

【答案】(1)解：8km.理由是：

在ACHA中，VCH2+AH2=82+62=100,AC2=100,

ACH2+AH2=AC2,

???ACHA是直角三角形，ZAHC=90°,

???村莊A到公蹈MN的最近距離是8km；

(2)設AB=BC=x千米，由(1)可得：ZAHB=ZAHC=90°,

在ABH中，BH=(x-6)千米，AH=8千米，

由勾股定理得：AB2=BH2+AH2,

.*.x2=(x—6)2+82,解這個方程，得x=弓，

AAB=BC=y(千米)，

答：AB的長為g千米.

4勾股數(shù)

1、若3、4、。為勾股數(shù)，則a的值為()

A.-5B.5C-5或-右口.5或＞/7

【答案】B

【解析】言、4、a為勾股數(shù)，

當4為直角邊時，

??.a=，3'+4‘二5,

當4為斜邊時，

.?.a二二77,不是整數(shù)，舍去，

故選：B.

2、我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學著作《周群算經(jīng)》

中.下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）

A.2,3,4B.，5,6C.7,S,9D,6,8,10

【答案】D

：：:

【解析】A、2+3.4,不是“勾股數(shù)”，故本選項不符合題意；

:2：

B、4+5-6,不是“勾股數(shù)”，故本選項不符合題意；

:22

C、7+8?9,不是“勾股數(shù)”，故本選項不符合題意；

D、6，+鏟=1。2,是“勾股數(shù)”，故本選項符合題意；

故選：D

3、下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.-3,-4,一5B.2,3,5C.9,12,15D.0.3,0,4,0,5

【答案】C

【解析】解：A.???一3,-4,一5不是正整數(shù)，

???一3,-4,一5不是勾股數(shù)，故該選項不符合題意；

B.V22+32=52,

???2,3,5不是勾股數(shù)，故該選項不符合題意；

C.V92+122=152,

???9,12,15是勾股數(shù)，故該選項符合題意；

D.V0,3,0.4,0.5不是正整數(shù)，

A0.3,0,4,0.5不是勾股數(shù)，故該選項不符合題意，

故選C