【RJ版春季課程初二數學】第07講 勾股定理綜合復習 教案（學生版）

第第7講講勾股定理綜合練習概述概述適用學科初中數學適用年級初二適用區域人教版區域課時時長（分鐘）120知識點數學思想方法的應用勾股定理及逆定理的應用勾股定理的實際應用教學目標掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法。能運用勾股定理解決實際問題。能利用勾股定理逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形。通過實例了解勾股定理及其逆定理的應用，發展學生的邏輯推理能力和數字應用能力。教學重點用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題。教學難點勾股定理及其定理的探索過程。【知識導圖】教學過程教學過程一、導入一、導入【教學建議】導入是一節課必備的一個環節，是為了激發學生的學習興趣，幫助學生盡快進入學習狀態。導入的方法很多，僅舉兩種方法：情境導入，比如講一個和本講內容有關的生活現象；溫故知新，在知識體系中，從學生已有知識入手，揭示本節知識與舊知識的關系，幫學生建立知識網絡。提供一個教學設計供講師參考：一、課堂導入平地秋千未起，踏板一尺離地。送行二步與人齊，五尺人高曾記。仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉。良工高士好奇，算出索長有幾？這類數字“詩題“，初看起來感覺一籌莫展，似乎無處下手，但只要細品詩意（古時1步=5尺），畫出圖來，數形結合，應用本章所學內容，便可柳岸花明。二、復習預習實際問題(直角三角形的邊長計算)實際問題(直角三角形的邊長計算)勾股定理定理的證明面積法證互逆定理勾股定理的逆定理勾股數實際問題（判斷直角三角形）二、知識講解二、知識講解考點1考點1數學思想方法數學思想方法的應用數學思想方法的應用應用一：方程思想應用二：轉化思想應用三：數形結合思想方程思想方程是解決數學問題的重要工具，許多數學問題都可以轉化為方程來求解。方程思想在本章中的體現：設直角三角形中某條邊，根據已知條件表示其他兩邊，再以勾股定理為依據列方程求解。數形結合思想在勾股定理的探索驗證中，較多地體現了數形結合思想，勾股定理是以“形”定“數”，直角三角形的判定是以“數”定“形”，因此，此定理有“數與形的第一定理”的美稱。考點考點2勾股定理的應用當遇到含有直角三角形求邊長的問題時，可試著應用勾股定理來求解，而當沒有直角三角形時，有時需先構造直角三角形，再應用勾股定理求解。考點考點3勾股定理逆定理及應用應用一：求線段的長應用二：折疊問題中的勾股定理應用三：求面積考點考點4生活中的勾股定理及逆定理勾股定理及逆定理應用于生活應用一：生活中的勾股定理應用二：方位問題考點1一元二次方程的定義三、例題三、例題精析類型一數學思想方法例題1例題1已知直角三角形的兩直角邊之比為3：4，斜邊為10,求直角三角形的兩直角邊.【答案】解：設兩直角邊為3x,4x,由題意知3x2∴x=2,則3x=6,4x=8.故直角三角形的兩直角邊為6和8.【解析】已知兩直角邊的比,可設每份為x,根據勾股定理列方程求解。例題2例題2如圖所示，A、B兩村莊在河邊CD的同側，A、B兩村莊到河的距離分別為AC=1km,BD=3km,且CD=3km，現在河邊CD上建一水廠分別向A、B兩村輸送自來水，鋪設水管時工程費用為每千米20000元，在CD上選擇水廠位置點P，使鋪設水管的費用最少。并求出最少費用。【答案】解：作A關于CD的對稱點A‘，連接A‘B交CD于O，則O點即為所求，如圖所示，過A‘則A‘E=CD=3km,DE=ABE=BD+DE=3+1=4(km).在Rt△A‘EB中，A‘B=A‘∴OA+OB=A‘∴總費用為5×20000=100000（元）.類型二勾股定理及其逆定理的運用例題1例題1如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，設CD=x.用含x的代數式表示AC+CE的長度；請問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最小？根據（2）中的規律和結論請構圖求出代數式x2+4+例題2例題2如圖，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝24cm，如果將該矩形沿對角線BD折疊，那么圖中陰影部分△BDE的面積cm2．類型三勾股定理及其逆定理的運用例題1例題1如圖，某住宅小區在施工過程中留下了一塊空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，小區為美化環境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米100元，試問用該草坪鋪滿這塊空地共需花費多少元？在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：AC=（米），∵AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，該區域面積S=S△ACB﹣S△ADC=×5×12﹣×3×4=24（平方米），即鋪滿這塊空地共需花費=24×100=2400元．例題例題3在我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面.請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各為多少？例題例題3如圖，居民樓與馬路是平行的，在一樓的點A處測得它到馬路的距離為9m，已知在距離載重汽車41m處就可受到噪聲影響．（1）試求在馬路上以4m/s速度行駛的載重汽車，能給一樓A處的居民帶來多長時間的噪音影響？（2）若時間超過25秒，則此路禁止該車通行，你認為載重汽車可以在這條路上通行嗎？四、課堂運用四、課堂運用基礎基礎五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現將他們擺成兩個直角三角形，其中正確的是（）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為3，點E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別和AE、AF折疊，點B、D恰好都將在點G處，已知BE=1，則EF的長為（）A．B．C．D．3勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．l955年希臘發行了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構成，它可以驗證勾股定理．在右圖的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，點H在邊QR上，點D，E在邊PR上，點G、F在邊PQ上，那么△PQR的周長等于．我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝10，則S2的值是。鞏固鞏固已知平面上點A（-1，4），B（11，12），P（-5，），點P到點A和點B的距離相等，的值=_________.若一個三角形的三邊長分別為1、、8(其中為正整數)，則以、、為邊的三角形的面積為______．如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點落在BC邊的中點E處，點A落在F處，折痕為MN，求折痕MN的長度。如圖，在四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且∠ABC=90°，連接AC.（1）求AC的長度；（2）試判斷三角形ACD的形狀.拔高拔高已知,如圖所示,正方形ABCD的邊長為1,G為CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合）,以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF,連接DE交BG的延長線于點H.（1）求證:①ΔBCG≌ΔDCE②HB⊥DE（2）試問當G點運動到什么位置時,BH垂直平分DE?請說明理由.在長方形ABCD中，AB=4,BC=8,E為CD邊的中點，若P、Q是BC邊上的兩動點，且PQ=2，當四邊形APQE的周長最小時，求BP的長.五、課堂小結五、課堂小結掌握勾股定理及逆定理的應用掌握生活中的勾股定理及逆定理。了解并掌握勾股定理中的數學思想方法的應用。六、拓展延伸六、拓展延伸基礎基礎如果一個三角形一邊的平方為（m2＋1），其余兩邊分別為m－1，m＋l，那么這個三角形是（）；A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形下列三角形中，不是直角三角形的是（）A.三個內角之比為5∶6∶1B.一邊上的中線等于這一邊的一半C.三邊之長為20、21、29D.三邊之比為1.5:2:3如果線段能組成一個直角三角形，那么________組成直角三角形.(填“能”或“不能”).如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，BC邊上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，則△ABC的周長等于cm．鞏固鞏固有兩根木條，長分別為60和80，現再截一根木條做一個鈍角三角形，則第三根木條長度的取值范圍_________.如圖，將矩形ABCD的四個角向內折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，則邊AD的長是（）A．12厘米B．16厘米C．20厘米D．28厘米已知是△ABC的三邊，且，試判斷三角形的形狀如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，將BC向BA方向翻折過去，使點C落在BA上的點C′，折痕為BE，則EC的長度是（）A、5B、5－5C、10－5D、5+拔高拔高如圖，一個高18m，周長5m的圓柱形水塔，現制造一個螺旋形登梯，為了減小坡度，要求登梯繞塔環繞一周半到達頂端，問登梯至少多長？(建議：拿一張白紙動手操作，你一定會發現其中的奧妙)如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝30°，點A處有一所中學