第三章 圓錐曲線的方程

第三章園錐曲線的方程

（滿分150分,考試用時120分鐘）

一、單項選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出

的四個選項也只有一項是符合題目要求的）

2

1.拋物線y2=4x的焦點到雙曲線x2-^=l的漸近線的距離是（）

1

B.￥C.lD.V3

A.2

2.與圓x+y2=l及圓x2+y2-8x+12=0都外切的圓的圓心在（）

A.一個橢圓上B.雙曲線的一支上

C.一條拋物線上D.一個圓上

3.如圖，已知圓柱的底面半徑為2,與圓柱底面成60°角的平面截這

個圓柱得到一個橢圓,則該橢圓的焦距為（）

A.2A/2B.2V3C.4V2D.4遮

4.已知拋物線y2=4x的焦點為F,準線為1.若1與雙曲線［一

（a>0,b>0）的兩條漸近線分別交于點A和點B,且|AB|二410F|（0為

bz

原點），則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

5.已知RE是橢圓會+91的兩個焦點,P為橢圓上一點，且△RPFz

1Uo

是直角三角形，則△FFF2的面積為（）

A.塔B.塔C?熠或8D.皚或8

6.在正方體ABCD-ABCD中，點M,N分別是直線CD,AB上的動點，點P

是△ACD內的動點（不包括邊界），記直線DF與MN所成角為0,若0

的最小值為*則點P的軌跡是（）

A.圓的一部分B.橢圓的一部分

C.拋物線的一部分D.雙曲線的一部分

7.拋物線有如下光學性質：由焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平

行于拋物線對稱軸的方向射出.已知拋物線yMx的焦點為F,一束平

行于x軸的光線L從點M（3,l）射入,經過拋物線上的點P（x.,yi）反射,

再經拋物線上另一點Q（X2,y）反射后,沿直線b射此則下列結論中錯

誤的是（）

4

A.XiX2=lB.kpq二一鼻

C.|PQ|#D.L與k之間的距離為4

8.設A,B分別是雙曲線x2-^=l的左、右頂點,過P&。的直線PA,PB

與雙曲線分別交于點M,N,直線MN交x軸于點Q,過Q的直線交雙曲線

的右支于S,T兩點,且頁二2行,則ABST的面積為（）

A9V35D3V17「3V15「3

AFC--D-2

二、多項選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出

的選項中，有多項符合題目要求,全部選對的得5分,有選錯的得0分,

部分選對的得2分）

9.已知曲線C:mx2+ny2=l,則下列說法正確的是（）

A.若m=0,n>0,則C是兩條直線

B.若m=n>0,則C是圓,其半徑為低

C.若m>n>0,則C是橢圓，其焦點在x軸上

D.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為y=±

10.以下關于圓錐曲線的說法不正確的是（）

A.設A,B為兩個定點,k為非零常數，||PAHPB|I=k,則動點P的軌跡

為雙曲線

B.過圓0上一定點A作圓的動弦AB,若麗=5瓦5+礪），則動點P的

軌跡為橢圓

C.若曲線C:乙+工二1為雙曲線,則或k>4

4-kk-l

D.過點（0,1）作直線，使它與拋物線y2=4x有且僅有一個公共點，則這

樣的直線有2條

11.已知拋物線y2=8x的焦點為F,點A是拋物線上的動點，設B（-2,0）,

當冬取得最小值時，（）

\AB|

A.AB的斜率為土當

B.|AF|二4

C.AABF內切圓的面積為早允

D.AABF內切圓的面積為（24T6近）兀

2

12.如圖,R,F2是雙曲線G：x-^^l與橢圓C2的公共焦點，點A是G,C2

在第一象限的公共點,設C2的方程為1+當1（a>b>0）,則有（）

A.a2+b2=4

B.△AFR的內切圓與x軸相切十點(1,0)

C.若|FF21=IFiAI,則C2的離心率為I

22

D.若AF」AFz,則橢圓方程為千+.1

三、填空題(本題共4小題,每小題5分，共20分)

13.與雙曲線《二1有共同的漸近線，且過點(3,2)的雙曲線方程

為.

14.直線1過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F(l,0),且與拋物線C相交

于A,B兩點，若AB的中點的縱坐標為2,則p=,直線1的方程

為.

15.已知橢圓［+*l(a>b>c>0)的左、右焦點分別為KJ%以1%為圓

azb2

心,b-c為半徑作圓Fz,過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T,且

|PT|的最小值不小于噂(a-c),則橢圓的離心率e的取值范圍

是.

16.如圖，已知拋物線y2=4x的焦點為F,直線1過點F且依次交拋物線

及圓(x-l)2+y2=；于A,B,C,D四點,則|AB|+9|CD|的最小值為.

4---------------

四、解答題(本題共6小題，共70分?解答應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟)

17.(10分)⑴求與雙曲線盤―有相同焦點，且經過點(3企,2)的

1b4

雙曲線的標準方程；

(2)已知橢圓x2+(m+3)y2=m(m>0)的離心率求m的值.

18.(12分)已知F為拋物線y=2px(p>0)的焦點,過F且傾斜角為45°

的直線交拋物線于A,B兩點，|AB|=8.

⑴求拋物線的方程；

(2)已知P(x°,T)為拋物線上一點,M,N為拋物線上異于P的兩點，且

滿足kPH?ki>廣-2,試探究直線MN是否過一定點,若是,求出此定點;若

不是，請說明理由.

19.（12分）已知雙曲線馬-91（a〉0,b>0）的左、右焦點分別是F?F2,P

是雙曲線右支上一點，PF2J_FF2,OIIIPFH0為坐標原點，且

|OH|=X|OFd,Xe[lA.

（1）當入三時，求雙曲線的漸近線方程；

⑵求雙曲線的離心率e的取值范圍.

20.（12分）已知點E到直線l:y=-2的距離與點E到點F（0,1）的距離

之差為1.設點E的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

⑵若P（xo,y。）為直線1上任意一點,過點P作曲線C的兩條切線PM,PN,

切點分別為M,N,求點F到直線MN的最大距離.

21.（12分）設圓x2+y2-2x-15=0的圓心為M,直線1過點N（-1,0）且與x

軸不重合，1交圓M于A,B兩點,過點N作AM的平行線交BM于點C.

(1)證明ICM|+1CN|為定值,并寫出點C的軌跡方程;

(2)設點C的軌跡為曲線E,直線l1:y=kx與曲線E交于P,Q兩點，點R

為曲線E上一點,若△RPQ是以PQ為底邊的等腰三角形,求△RPQ面積

的最小值.

22.(12分)已知橢圓G：W+0=l(a>2)的離心率為好設過點(1,0)的

43

直線1交橢圓G于M,N兩點.

(1)求橢圓G的方程；

(2)若直線1的斜率為2,求|MN|;

⑶設A為橢圓的左頂點,AM,AN分別交y輪于點P,Q,在x軸上是否存

在點T,使得以PQ為直徑的圓恒過點T?如果存在,求出點T的坐標;

如果不存在,請說明理由.

答案全解全析

1.B拋物線yMx的焦點為(1,0),其到雙曲線x"4二l的一條漸近線

V3x-y=0的距離為?⑶「0二”.故選B.

222

J(V3)+(-I)

2222

2.B設圓x+y=l的圓心為0,半徑為rb圓x+y-8x+12=0的圓心為

F,半徑為R,動圓的圓心為P,半徑為，依題意得

0(0,0),F(4,0),n=l,c=2.易知|PF|=2+r,|P01=1+r,則|PF|-1P01二

(2+r)-(l+r)=l<|F0|=4,所以點P的軌跡是雙曲線的一支.故選B.

3.D如圖所示,設橢圓的長軸為AB,短軸為CD,中心為。1,圓柱的底面

中心為()，貝叱0八13二60°,

???橢圓的長半軸長a=10.A二4,短半軸長b=||CD|=2,

cos602

???橢圓的焦距為2M不予=40.故選I).

4.D由拋物線的方程可得F(l,0),準線l:x=-l,pli]|AB|=-,|0F|=l,

a

所以b=2a,所以c=Va2+h2=V5a,故雙曲線的離心率為J通.

a

5.B由題意得a2=10,b2=8,c2=a2-b2=2.

設橢圓的上頂點為B,由c〈b得NFFF2WNFBF2<90°,

因此PF」FJ^^PF2_LFE.

當PF」FE時，

aV10

???SMPF2用FEI|PK《X2&X券二券

同理,當PF2_LFF2時,S&FFz二第?故選B.

6.B延長DR交平面ABCD于點Q,連接DP,DQ,則直線MN與D.Q圻成

角為o,又直線DQ與平面ABCD內的直線所成角的最小值為M所以直

線D.Q與平面ABCD所成的角為弓,則NDQD4設正方體的棱長為a,則

JJ

|DQ|二*所以點Q在以D為圓心,fa為半徑的四分之一圓上運動,

即在圓錐DD的底面四分之一圓上運動.用過底面圓心D的平面ACD

截取圓錦，在四分之一圓錐D?表面所得的曲線即為點P的軌跡，即點

P的軌跡為橢圓的

2

7.D如圖所示，易知yi=l,Al=4xb即x《，?,?PQ,1).

易知F(1,O),???L尸裝9.

L3

??.直線PF的方程為y=T(XT).

y2=4x,

由14/1、得y2+3y-4=0,解得y=l或y=-4.

(y=--(x-i),

當y=l時，x=i;當y=-4時，x=4.

4

/.Q(4,-4),/.XiX2=-X4=1,故A中結論正確.

4

kit)-kp].'-故B中結論正確.

|PQ|=+(-4-哼故C中結論正確.

易知L的方程為尸1,12的方程為y=-4,

???L與J之間的距離為5,故D中結論錯誤.故選D.

8.A雙曲線x2-q二l的左、右頂點分別為A(-1,O),B(1,O),

又t),???直線PA的方程為x丹-1,直線PB的方程為x=T+l.由

可得*°，解得尸°或y=篝7,

1,

2277+-44tt22'273-64tt2)*

將尸部代入X--1,得X=/.M

“一"可得(*一一%二°，解得y=0或

由1)/

x2_^_

?v=1,

I3

將丫二言代入得圻奈皿黑，言).

設Q(s,0),由M,N,Q三點共線,可得k-.號二六

-12t12t

將M,N的坐標代入，化簡可得

9-4t2-3-4t2-s(3-4")'

解得s=2,即Q(2,0).

設過Q的直線方程為x=my+2,S(xby.),T(x2,y2),

由b2一器=1，得(3?一i)y2+i2my+9=0,

lx=my+2,

2

則yi+y2=--^77,yiy2=—y-,△=144m"-36(3n-l)>0恒成立.

___12m

?3V解得1

{-2yl=-4—35

2

ASABST=；|BQ|?|y-y21Iy-y21J(yt+y2)-4yty2

1V36m2+36n、/135+I9,35'斗..

=-?-----；----=3XY3=----------.故達A.

2137n2-111-二16

9.AD若m=0,n>0,則C:ny2=l,即y=±3,為兩條直線，故A中說法正

vn

確；若m=n>0,則Cd+yjZ,是圓，半徑為R故B中說法錯誤;若m〉n>0,

nn

則0己6,所以C：苧+年=1,為橢圓,且焦點在y軸上,故C中說法錯誤；

mn—一

mn

若mn<0,則C:J+?=1,為雙曲線，且其漸近線方程為

mn

y=±-yx=±J-^x,故D中說法正確.故選AD.

AmX

10.ABD根據雙曲線的定義，必須有k〈|AB|,動點P的軌跡才為雙曲

線，故A中說法不正確；,??赤礪)，???P為弦AB的中點，故

ZAP0=90°,則動點P的軌跡為以線段A0為直徑的圓，故B中說法不

正確；顯然C中說法正確；過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2=4x有且

僅有一個公共點，這樣的直線有3條,分別為直線x=0,y=l,y=x+l,故D

中說法不正確.故詵ABD.

11.BD顯然B為拋物線的準線與x軸的交點.過點A作準線的垂線，

垂足為C.

由拋物線的定義可得，|AF|二|AC|,則嚓二嚓二sinNABC.

ABAB

當噂?取得最小值時，sin/ABC取得最小值，即NABC取得最小值，亦

\AB\

即NABF取得最大值，此時AB與拋物線相切.

設AB的方程為y=k(x+2),由02=產'「、消去y可得

(y=k(x+2),

k2x2+(4k2-8)x+4k2=0(*),△=(軌2一8)2-41?妹J。,解得k=±1,所

以選項A不正確.

將k二士1代入(*)中得X2-4X+4=0,所以x=2,所以AF|=|BF|=4,所以選

項B正確.

不妨設A在第一象限,則A(2,4),所以|BF|=|AF|=4,|AB|=4A/2.

設4ABF內切圓的半徑為r,則工(|AB|?r+|AF|?r+|BF|?r)上X4X4,

22

解得廠占=4-2企，所以ZiABF的內切圓的面積為

4V2+8

2

兀X(4-2V2)=(24-16V2)n,所以選項C不正確，選項D正確.故選

BD.

22

12.BCD由雙曲線Cid-/n可得c=y/m=2fAa-b=cM,故A錯

3

誤；

設△AFE的內切圓的圓心為I,圓I與邊AR,FE,F.A相切于點N,M,K,

連接則|AN|=|AK|,|FM|=|EN|,|F2M|=HK|,

由雙曲線的定義得|AFj-|AFz|=2,即(|AN|+|FiN|)-(lAKl+EKl)

二|FIN|-|F2Kl二EMHF2M|=2①,

又|RM|+1F2M|=4②,，由①②解得|F2M|=1,IFM|=3,

???M(l,0),???圓I與x軸相切于點(1,0),故B正確；

橢圓C2中，IRA|+1F2A|=2a,又|F4|-1F2A|=2,/.|FtA|=a+l,|F2A|=a-l,

由|FE1=IILAI,得4=a+l,解得a=3,則C2的離心率為Jg故C正確；

a3

若AF」AF2,則IFIA12+1F2A12=IaF212,即(a+1)2+(a-1)2=4C?=16,解

得a=V7,貝ijb二夜中二夜二4二百，，橢圓的方程為故D正確.

故選BCD.

13.答案?91

Oo

解析設所求雙曲線方程為三-：二入(入NO),???點⑶2)在所求雙曲

34

線上,入，解得入=2.故所求雙曲線方程為三詈1.

3468

14.答案2;x-y-l=0

解析由拋物線的焦點F(l,0),得f,所以p=2,

所以拋物線方程為y2=4x.

設A(xi,yj,B(x2,y2),則yi+y2=4.

直線1的斜率顯然不為0,設直線1的方程為x=ny+1,

由—4x；消去X,整理得y2-4ny-4=0,所以yi+y2=4n=4,即n=l,

IT=ny4-1,

所以直線1的方程為x-yT=O.

15.答案［|,紛

22

解析V|PT|=J|PF2|-(b-c),???當|PF」取得最小值時，|PT|取得

最小值.

當P點位于橢圓的右頂點時，IPF2I取得最小值,且最小值為a-c,

/.J(a-c)2-(b-c)25:^(a-c),/.(a-c)2^4(b-c)2,?\a-c5:2(b-c),

.\a+c^2b,A(a+c)2^4(a2-c2),EP5c2+2ac-3a2^0,.\5e2+2e-3^0,

解得e2|或eWT（舍去）.又（0,1）,?,.|《葭1.①

?.?b>c,">廣???a2-c2〉c2,???a2>2c；*號???（Ke專.②

由①②得|?今故橢圓離心率的取值范圍為［|,?）.

16.答案11

解析拋物線產心的準線為x=-l,所以|AF|=XA+1.

又|AF|=|AB|+去所以IAB|=XA+：,同理，ICDI=Xi）+|.

當直線1的斜率不存在時,xD=xA=l,所以IABI+91CDI=15.

當直線1的斜率存在時,設l:y=k（xT）,

y2=4x,

由得k'x2-(2k2+4)x+k2=0,所以xx=l,

y=/c(x-l)AD

所以AB|+91CD|=5+X,\+9XD25+219馬孫二11,當且僅當x,、二3,XD=1時，等

號成立.

綜上JAB|+91CD|的最小值為11.

17.解析（i）?.?所求雙曲線與雙曲線工有相同焦點，

164

???設所求雙曲線的方程為篙（-4〈入〈16）.（2分）

16-A4+A

???所求雙曲線過點（3加,2）,?,?碧『1,???人二4或人二一14（舍）.

16-A4+A

（4分）

22

.?.所求雙曲線的方程為三-5=1.（5分）

128

（2）方程x2+（m+3）y2=m（m>0）可化為次+■=1（m>0）.（6分）

m--

m+3

..mm（7n+2）、C.、m

?m------=--------->0,.-----,

m+3m+3m+3

.?.a'4,b2=上,??.c二五。二叵且（8分）

m+37m+3

由e二經得慳冷"，解得"1.（10分）

27m+32

18.解析⑴易知Fg,0）,k,kl,則直線AB的方程為y=x-j.（1分）

r2-2nxo

由,一廠消去y,得x2-3px+^0,所以X.+XB=3P,（3分）

所以|AB|=XA+XB+P=4P=8,所以p=2,

所以拋物線的方程為y2=4x.（5分）

⑵將（x。,T）代入y2=4x可得Pg,-1）.（6分）

設直線MN的方程為x初丫+14區，附”（〉：“2）,由［『=4*’消去

（,X=my+t,

2

x,得y-4my-4t=0,貝ijyi+y2=4m,yiy2--4t,△=16n?+16t.（8分）

由題意得kpM?kp后gX空二工義工二一J6=_2,

X1--yi-1y2T2-（2）+1

X2--%丫為+丫

所以t=7-m-（10分）

4

2

所以△=16m*+16t=16（瓶2+：-m）=+32>0,

此時直線MN的方程為x=m（y-1）+*所以直線MN過定點1）.（12分）

19.解析⑴如圖，由題意知△OHFi/MT用故黑二黑’故

￡）2

A_\OH\|PFzl

=即2a2X+b2X=b2,即2a2X=b2（l-X）,則

-10&-|PF"2”

容蕓.（3分）

a21-A

當X二q時,-^,-1,所以a二b,

3az

所以雙曲線的漸近線方程為y=±x.（5分）

⑵結合(1)得不今1+5+百1+25丁哈T.(7分)

a2a21~A1~A1~A

-11—

-一

易知函數y一7T在992上單調遞增,

-J

所以當入寸寸,e?取得最大值3;當入蕓時,ez取得最小值J.(10分)

294

所以三We?W3,所以在WeW通.

42

故雙曲線的離心率e的取值范圍是錚網.(12分)

20.解析⑴由題意得，點E到直線r:產T的距離等于點E到點

F(0,l)的距離，則點E的軌跡是以F為焦點，直線1'為準線的拋物

線.(2分)

2

設其方程為x=2py(p>0).

由題意得失1,解得p=2.所以曲線C的方程是xMy.(4分)

⑵設M(Xi,y),N(X2,y，過曲線C上點M3,山)的切線方程為

y-yi=k(x-Xi).

2

由產-4y,得x?-4kx+4(kx「y)=0,

ly-yi=kgxj,

令A=(-4k)2-4X4(kx-yi)=0,又淄=4y1,所以k。所以過曲線C上點

M(xbyi)的切線方程為y-yi=y(x-xi),即y=yx-y.(6分)

又切線過點P(x。,y。)，所以y。磴x°T，即yo^Xo-y..(7分)

同理,過點N(X2,y2)的切線方程為尸裂-多

又切線過點P(x0,y0),所以yo夸x(r?,即yo=^xo-y2.(9分)

242

所以點M(xbyi),N(X2,丫2)均滿足yo=^xo-y,即x0x=2(y0+y).(10分)

又P(x0,y。)為直線1:y=-2上任意一點,所以y0=-2,所以直線MN的方

程為x0x=2(y~2).

所以點F（0,1）到直線所的距離所1二,當xo=O時,dmax=l.

收+4

所以點F到直線MN的最大距離為1.（12分）

21.解析（1）方程x2+y2-2x-15=0可化為G-l）2+y2=16,

所以圓心M（1,O）,半徑|MB|=4.（1分）

易知AM〃NC,又=所以NBNONBAM=NNBC,

所以|CN|=|CB|,（3分）

所以|CM|+|CN|=|CM|+|CB|=|MB|=4>|MN|=2.（4分）

所以點C的軌跡方程為。（yWO）.（6分）

43

y—kx,

⑵易知kWO,設P（xi,y）由消去y,得（3+41?心2,

（淄=12

3+4/C212k2_I12（l+fc2）

所以《所以IOPI力好+y尸22

（71=12k23+4/cJ3+4/c

3+4k2

（0為坐標原點）.（8分）

因為ai^pQ是以PQ