函數的性質（講義）-2027年高考數學一輪復習（全國I卷地區）練習卷

第7講函數的性質?講義

一、考情分析....................................1

二、知識清單....................................2

1.函數的單調性............................................................2

2.函數的奇偶性............................................................3

3.函數的對稱性............................................................3

4.函數的周期性............................................................3

5.重要技巧................................................................4

三、方法總結............7

考點一：函數的單調性.......................................................7

考點二：函數的奇偶性.......................................................8

考點三：函數的對稱性與周期性...............................................8

考點四：函數性質的綜合應用.................................................9

四、典題精講............9

考點一：函數的單調性.......................................................9

考點二：函數的奇偶性......................................................11

考點三：函數的對稱性與周期性..............................................12

考點四：函數性質的綜合應用................................................13

五、高考真題............15

一、考情分析

1.考查頻次與題型

年份題號與題型分值考查內容

202619題?解答題17分抽象函數的奇偶性、單調性與新定義集合的綜合應用

20255題?單選題5分函數的奇偶性與周期性的綜合應用

20246題-單選題5分分段函數的單調性及參數范圍求解

20248題?單選題5分抽象函數的遞推關系與不等式應用

近三年全國一卷對函數性質的考查較為頻繁，既有客觀題的基礎性質應用，也有解答

題的抽象性質綜合探究，占有一定分值.

2.命題角度與特色

?核心考點：考杳函數的單調性、奇偶性、周期性及其綜合應用，尤其是分段函數與

抽象函數.

?命題趨勢：從單一性質考查向多性質綜合、數形結合及新定義問題轉變，對抽象思

維和邏輯推理能力的要求逐步提升.

?試題特點：客觀題常以分段函數求參數、利用周期性與奇偶性求值為載體；解答題

則傾向于結合新定義，深入考查抽象函數的單調性與奇偶性證明.

3.備考策略

?扎實掌握基本初等函數的圖象與性質，熟練運用定義法判斷或證明函數的單調性與

奇偶性.

?強化對抽象函數性質的推導訓練，熟練掌握賦值法、遞推法等處理抽象函數的核心

技巧.

?提升數形結合與分類討論思想的應用能力，特別是在處理分段函數和含參不等式時,

注意臨界條件和定義域的限制.

二、知識清單

1.函數的單調性

(1)單調函數的定義

一般地，設函數/(%)的定義域為4區間0G4

如果對于。內的任意兩個自變量的值%1，%2當％1<%2時，都有f(%T)V1(%2)，那么就

說/(%)在區間0上是增函數.

如果對于。內的任意兩個自變量的值X1，%2?當％1<%2時，都有f(%l)>f(%2)，那么

就說/(%)在區間0上是減函數.

?屬于定義域/內某個區間上；

?任意兩個自變量%1,Q且<X?;

?都有/(與)Vf(M)或/(，)>f(%2)；

?圖象特征：在單調區間上增函數的圖象從左向右是上升的，減函數的圖象從左向右

是下降的.

(2)單調性與單調區間

?單調區間的定義：如果函數/。)在區間。上是增函數或減函數，那么就說函數/(X)在

區間。上具有單調性，。稱為函數/(X)的單調區間.

?函數的單調性是函數在某個區間匕的性質.

(3)復合函數的單調性

復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增(減)函

數，內層函數是增(減)函數，復合函數是增函數；外層函數是增(減)函數，內層函數是

減(增)函數，復合函數是減函數.

2.函數的奇偶性

函數奇偶性的定義及圖象特點

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數/(%)的定義域內任意一個％,都有/(-%)=/(%),那么關于y軸對

偶函數

函數/(X)就叫做偶函數稱

如果對于函數/(%)的定義域內任意一個工,都有/(-%)=-〃>),那關于原點

奇函數

么函數/(X)就叫做奇函數對稱

?關系判斷法：判斷與的關系時，也可以使用如下結論：如果/(-幻-

/(%)=0或與?=1(/(X)￥0)，則函數f(x)為偶函數；如果/(-X)+/(%)=0或與?=

-1(/(%)^0),則函數/(%)為奇函數.

?定義域對稱性：由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對

于定義域內的任意一個工,-％也在定義域內(即定義域關于原點對稱).

3.函數的對稱性

?若函數y=/(%+Q)為偶函數，則函數y=f(X)關于X=Q對稱.

?若函數y=f(x+Q)為奇函數，則函數y=關于點(Q,0)對稱.

?若/(X)=/'(2Q-X),則函數/(X)關于X=Q對稱.

?若/。)+/(2a-x)=2b,則函數/(%)關于點(Q,b)對稱.

4.函數的周期性

(1)周期函數

對于函數y=/(x),如果存在一個非零常數7,使得當工取定義域內的任何值時，都有

/(x4-7)=/(%),那么就稱函數y=/(x)為周期函數，稱7為這個函數的周期.

(2)最小正周期

如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么稱這個最小正數叫做

f(x)的最小正周期.

5.重要技巧

(1)單調性技巧

①證明函數單調性的步驟

?取值：設/，乃是/(》)定義域內一個區間上的任意兩個量，且%1<》2；

?變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

?定號：判斷差的正負或商與1的大小關系；

?得出結論.

②函數單調性的判斷方法

?定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值-變形-判斷符號-下結論”進行

判斷.

?圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性.

?直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接

寫出它們的單調區間.

③記住幾條常用的結論

?若/(%)是增函數，則-/(X)為減函數；若/(X)是減函數，則一〃%)為增函數；

,若/'(%)和g(%)均為增(或減)函數，則在/'(%)和g(%)的公共定義域上f(x)+g(x)為增

(或減)函數；

?若/。)>0旦為增函數，則函數歷5為增函數，六為減函數；

?若/(%)>0且f(x)為減函數，則函數"^為減函數，六為增函數.

(2)奇偶性技巧

?函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.

?奇偶函數的圖象特征：函數是偶函數O函數f(x)的圖象關于y軸對稱；函數/(X)

是奇函數o函數f(x)的圖象關于原點中心對稱.

?若奇函數y=/(x)在x=0處有意義，則有/(0)=0；偶函數y=/(x)必滿足

f(x)=/(|x|).

?偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內

關于原點對稱的兩個區間上單調性相同.

?若函數/(%)的定義域關干原點對稱，則函數f(x)能表示成一個偶函數與一個奇函數

的和的形式.記g(x)=][/(%)+/(-%)]，八(%)=]f(x)-/(一X)]，則f。)=g(x)+%。).

?運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個(或多個)函數式通過加、減、乘、除四

則運算所得的函數，如f(%)+g(x),f(x)-g(x),f(x)xg(x),/(%)+g(%).對于運算函數

有如下結論：奇±奇二奇；偶±偶=偶；奇±偶二非奇非偶；奇x(+)奇=偶；奇X(+)偶

二奇；偶x(+)偶=偶.

?發合函數y=f[g(x)]的奇偶性規律：內偶則偶，兩奇為奇.

?常見奇偶性函數模型：

奇函數：①函數/(x)=m(盤號)(》工0)或函數/(x)=m(痣1).②函數f0)=

±3-尸).③函數f(x)=臉當=loga(1+怒)或函數/(%)=】ogaf^=

22

loga(1-黑④函數/(%)=loga(Vx+1+x)或函數/(%)=loga(Vx4-1-%).注意：關

于①式，可以寫成函數/(x)="I十怒■(%羊0)或函數/(%)=m-瑞("I6R).

x

偶函數：①函數f(x)=±(a+QT).②函數f。)=log*加+1)-詈.③函數f(國)

類型的一切函數.④常數函數.

(3)周期性技巧

函數式滿足關系(xWR)周期

fCx+7)=fMT

f(x+7)=-/(x)2T

fG+T)=/；fa+7)—焉2T

f(x+7)=f(x-T)2T

f(x+T)=-/(x-T)47

(f(a+x)=f(a—%)

[f(b+x)=f(b-x)2(b-a)

f(a+x)=f(a—%)

2a

/(%)為偶函數

f(a+x)=-f(Q-%)

12(b-a)

f(b+x)=-f(b-x)

f(a+x)=-/(a-x)

2a

/(x)為奇函數

/(a+x)=/(a—%)

(4(b—a)

f(b+x)=-f(b-x)

函數式滿足關系aWR)周期

/(a+x)=f(a-x)

4a

/(x)為奇函數

f(a+x)=-f(a-x)

4a

1/(%)為偶函數

(4)函數的對稱性與周期性的關系

?若函數y=/(%)有兩條對稱軸％=a,x=b(a<b),則函數/(x)是周期函數，且7=

2(b-a).

?若函數y=/(%)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(oc)(avb),則函數y=f(x)是周期

函數,且r=2(b-a).

?若函數y=/(%)有一條對稱軸x=Q和一個對稱中心(匕,0)(a<b),則函數y=/(x)

是周期函數，且7=4(b-a).

(5)對稱性技巧

?若函數y=/(%)關于直線x=a對稱，貝ij/(a+x)=f(a-%).

?若函數y=/(%)關于點(Q,b)對稱，則/(a+x)+/(a-x)=2b.

?函數y=f(a+x)與y=f(a-x)關于y軸對稱，函數y=f(a+x)與y=-/(a-x)

關于原點對稱.

(6)類周期函數與倍增函數

?類周期函數：若y=/(x)滿足：/(%+?n)=攵/(工)或/(x)=-TH),則y=/(%)

橫坐標每增加zn個單位，則函數值擴大k倍.此函數稱為周期為血的類周期函數.

?倍增函數：若函數y=/(x)滿足/(mx)=k/(x)或f(x)=kf(》則y=fQ)橫坐標

每擴大m倍，則函數值擴大k倍.此函數稱為倍增函數在意當m=攵時，構成一系列平行的

分段函數，/(%)=

f.qM,xe[l,m)

g(x-m+1),xG[m,m2)

g(x-m2+1),x￡[m2,m3)

、g(%-m"T+1),xe[川一")

(7)抽象函數的模特函數

抽象函數的模特函數通常如下：

?若/'(%+y)=/(x)+/(y),則/(%)=M(1)(正比例函數).

?若f(%+y)=f(%)f(y)，則f(%)=[f(i)V(指數函數).

?若則(對數函數).

f(xy)=/(x)+/(y),/(x)=\ogbx

?若f(%y)=M/(x)=x。(塞函數).

?若/(x+y)=/(x)+/(y)+m,則/(x)=xf(1)-巾(一次函數).

三、方法總結

考點一：函數的單調性

考法1：判斷或證明函數的單調性

?利用定義法證明單調性的核心在于“作差后的變形”，通常采用通分、因式分解、

配方等手段，將差式化為幾個因式乘積或商的形式，以便于判斷符號.

?解抽象函數不等式時，需注意函數定義域的限制.

考法2：利用函數的單調性與奇偶性解不等式或比較大小

?解決此類問題的通法是“構造奇函數”.當函數解析式中含有常數項時，通常將其剝

離，構造形如g(x)=/(%)-m的奇函數.

?利用奇函數的性質g(-x)=-g(%)將不等式轉化為g(A)<g(B)的形式，再結合單調

性求解.

考法3：利用單調性求最值或值域

?對于形如f(g(%))=。且/(%)單調的問題，可通過解方程f(t)=C求出唯一的3進而

得到g(%)=t.

?求出函數解析式后，再利用其單調性求特定區間上的最值或值域.

考法4：根據單調性求參數范圍

?處理分段函數的單調性問題，關鍵在于“段段單調”和“邊界銜接”兩個要點.

?列出不等式組時，需注意分界點處的不等關系，即左側區間的最大值（或上確界）

必須小于等于右側區間的最小值（或下確界）.

考點二：函數的奇偶性

考法5：判斷或證明函數的奇偶性

?研究對數型復合函數的性質，需遵循“定義域優先”原則.

?判斷奇偶性時，若定義域不關于原點對稱，則函數非奇非偶；若對稱，則進一步化

簡解析式并驗證/（一%）=±/（%）.

考法6：利用奇偶性求函數值或解析式

?遇到/（x+a）為偶（奇）函數時，可直接轉化為/（x）關于直線x=a對稱（或關于點

（。,0）中心對稱）.

?利用對稱性將未知自變量轉化為已知自變量，是解決此類求值問題的核心技巧.

考法7：根據奇偶性求參數

?已知奇偶性求參數，常用方法有兩種：一是利用特殊值，如奇函數在原點有定義時

f（0）=0（必要不充分條件，需檢驗）；二是利用恒等式/（一%）±/（'）=0,通過代數

變形求出參數.

考法8：奇函數平移模型（f（x）=奇函數+M）求值或最值

?“奇函數平移模型”的本質是函數的中心對稱性.若是奇函數，則f（x）+

/（—%）=2m.

?在求最值時，常結合基本不等式中的“1”的代換技巧，注意等號成立的條件.

考點三：函數的對稱性與周期性

考法9：判斷或推導函數的對稱性與周期性

?抽象函數性質的推導猶如“多米諾骨牌”，一個性質往往能引出另一個性質.

?牢記兩個基本結論：若/（X）有兩條對稱軸，則必為周期函數；若/（x）有一個對稱中

心和一條對稱軸，也必為周期函數.

考法10：利用對稱性與周期性求函數值或求和

?處理復雜函數的交點問題，“數形結合”是首選.

?若兩個函數圖象具有共同的對稱中心（Q,b）,且有九個交點，則這幾個交點的橫坐標之

和為九xa.

考法11：類周期函數的應用

?類周期函數的核心在干“遞推”.解題時，先研究基礎區間上的函數性質(如單調性、

最值、圖象形狀)，再利用遞推關系將這些性質推廣到一般區間.

?對于交點個數問題，畫出草圖并關注峰值的變化是關鍵.

考點四：函數性質的綜合應用

考法12：具體函數性質的綜合判斷與應用

?分離常數法是處理分式型函數單調性和值域的常用方法.

?證明方程在某區間存在實根時，構造函數并驗證區間端點函數值異號(即零點存在

性定理)是標準且有效的方法.

考法13：構造函數利用性質解不等式

?解抽象或復雜函數不等式的核心是“脫去函數符號”.

?若f(%)是偶函數且在［0,+8)上單調遞增,則f(4)>f(B)<=>\A\>|B|；若單調遞減,

則⑻o|川V|8|.

考法14：抽象函數的性質推導與證明(賦值法)

?抽象函數賦值的技巧在于“缺什么造什么”.求/(0)常令x=y=0；求證奇偶性常

令％=0或y=—x.

?證明單調性作差時，常利用換元技巧(如令1=笠l丫=號)將差化積.

考法15：抽象函數性質的綜合應用

?綜合性抽象函數題往往涉及多個性質.解題時將每一個條件轉化為最基本的數學表達

式(如f(a+%)=土f(b—x)).

?求和問題通常存在周期性或抵消規律，計算前幾項即可發現規律.

四、典題精練

考點一：函數的單調性

考法1：判斷或證明函數的單調性

例1.(2024?泰州海陵?期中)已知函數/(x)=-含,%W(0,+oo).

(1)判斷函數/(%)的單調性，并利用定義證明；

(2)若/(2m-1)>/(I一/n),求實數7九的取值范圍.

考法2：利用函數的單調性與奇偶性解不等式或比較大小

例2.(2026?寰陽四中?階段檢測)己知函數/'(x)=/+2x+2sin2《+：)+5,且

/(C2-2t)+/(-3C+4)<12,則實數C的取值范圍是()

A.(1,4)

B.(-co,1)U(4,4-00)

C.(-4,1)

D.(-co,-4)U(1,+8)

考法3：利用單調性求最值或值域

例3.(2024?河南?模擬)已知函數/(x)為定義在R上的單調函數，且/(/0)-2%一

2%)=10,則在[-2,2]上的值域為.

考法4：根據單調性求參數范圍

例4.(2025?河南創新?一模)已知=、是增函數,則實數小的取

{X—4%+>X>771

值范圍是()

A.[1,2]B.[2,5]C.[2,+co)D.[5,4-oo)

考點二：函數的奇偶性

考法5：判斷或證明函數的奇偶性

例5.(2026?廣東佛山?二模)函數/<(>?)=]n(%+3)+ln(?—%),貝1」()

A.f(x)是奇函數

B.f(x)是周期函數

C.f(x)的最大值為2

D./(-2)</(1)

考法6：利用奇偶性求函數值或解析式

例6.(2025?淮北淮南?二模)已知函數f(x)和g(x)的定義域均為R,/(%+2)為偶函數,

g(x+2)為奇函數，若/(之)十gCO=3"十log6(M+2)—40,貝療(0)=()

A.4B.2C.0D.-2

考法7：根據奇偶性求參數

例7.(2025?江西上進?5月聯考)已知函數/(x)=-島，cosx為奇函數，則m=

()

A.5B.4C.-D.1

2

考法8：奇函數平移模型(f(x);奇函數+M)求值或最值

例8.已知/(%)+1在R匕單調遞增，且為奇函數.若正實數a,b滿足/(a-4)+/(b)=-2,

則工+的最小值為()

a5b

A.-+—B.-+C.D.-+

424V23+2V22V2

考點三：函數的對稱性與周期性

考法9：判斷或推導函數的對稱性與周期性

例9.(2024?山東煙臺?二模)(多選)定義在R上的函數/(x)滿足/(%)+/(4+%)=0,

/(2+2x)是偶函數，f(1)=1,則()

A./(x)是奇函數

B./(2023)=-1

仁/(乃的圖象關于直線》=1對稱

D.羽雪kf(2k-1)=-100

考法10：利用對稱性與周期性求函數值或求和

例10.(2025?江蘇高郵?一模)已知定義在R上的偶函數/'(X)滿足/'(%)=-/(2-x),當

%E[0,1)時,f(x)=2COSTTX,函數g(x)=x-1(一14x43),則/(%)與g(x)的圖象所有

交點的橫坐標之和為.

考法11：類周期函數的應用

例11.(多選)已知函數/(%)=％>3，則下列說法正確的是()

A.若函數y=f(x)-kx有4個零點，則實數k的取值范圍為(怖3)

183

B.關于％的方程f(x)—焉=0(九cN*)有2n-1個不同的解

C.對于實數％W[L+8),不等式%/(%)-8W0恒成立

D.當xG[3吁1,3，)(neAT)時，函數f(x)的圖象與工軸圍成的圖形的面積為4x(|)吁1

考點四：函數性質的綜合應用

考法12：具體函數性質的綜合判斷與應用

例12.(2026?山東棗莊?一模)(多選)已知函數/(x)=三^，則()

A.f(x)為奇函數

&/(乃的值域是(一1,1)

C.f(x)有極值

D.存在實數a,b,使得/(X)在口口上的值域為6。彳切

考法13：構造函數利用性質解不等式

例13.(2025?河北邢臺名校-一模)設函數/(%)=ln(l+蠟)_島面，則不等式/(2x)>

/(x+1)的解集為()

A.(-1,1)

B.(-8,一1)U(1,4-00)

C.(-於

D.(-8,一：)u(；,+8)

考法14：抽象函數的性質推導與證明(賦值法)

例14.已知定義在R上的函數/(久)，g(x)滿足：①/(0)=1；②g(x)為奇函數；③VxE

(0,+oo),g(x)>0；④任意的%yWR,f(x-y)=/(x)f(y)-gMg(y).

(1)判斷并證明函數/(%)的奇偶性；

(2)判斷并