（2026年秋）北師大版（2024修訂版）七年級上冊數學知識點大全

北師大版（2024修訂）七年級數學上冊·知識點大全

顏色標注說明：■紅色——核心定義/概念■藍色——重要公式/定理■綠色——重要性質/法則■紫色——易錯點/注意事項

第一章豐富的圖形世界1.1生活中的立體圖形一、常見幾何體●柱體：包括圓柱和棱柱。棱柱按底面邊數分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。●錐體：包括圓錐和棱錐。棱錐按底面邊數分為三棱錐、四棱錐等。●球體：球的表面是曲面，沒有平面。二、棱柱的相關概念●棱柱的上、下兩個面叫做底面，它們是相同的多邊形。●棱柱的側面是平行四邊形（直棱柱的側面是矩形）。●棱柱兩底面之間的距離叫做棱柱的高。●棱柱所有側棱的長度相等。三、棱柱的分類與命名●按底面多邊形的邊數命名：底面是三角形叫三棱柱，底面是四邊形叫四棱柱，以此類推。●按側棱與底面的位置關系：斜棱柱和直棱柱（側棱垂直于底面）。四、幾何體的元素●構成幾何體的基本元素：頂點、棱（線）、面。面有平面和曲面之分；面與面相交形成棱；棱與棱相交形成頂點。?n棱柱有2n個頂點，3n條棱，(n+2)個面（2個底面+n個側面）。1.2從立體圖形到平面圖形一、展開與折疊●立體圖形的展開圖：將立體圖形沿某些棱剪開后鋪平，得到的平面圖形。●棱柱的展開圖由兩個相同的多邊形（底面）和若干個矩形（側面）組成。●圓柱的展開圖由兩個圓（底面）和一個長方形（側面）組成，長方形的長等于底面圓的周長。●圓錐的展開圖由一個圓（底面）和一個扇形（側面）組成。?不是所有的平面圖形都能折疊成立體圖形，要注意面與面之間的連接關系。二、截一個幾何體●用一個平面去截幾何體，截出的面叫做截面（截面是平面圖形）。●截圓柱：截面可能是圓、長方形、橢圓等。●截圓錐：截面可能是三角形、圓、橢圓等。●截正方體：截面可能是三角形、四邊形（正方形/長方形/梯形）、五邊形、六邊形。?正方體的截面最多是六邊形，因為正方體只有6個面，平面最多與6個面相交。三、從三個方向看物體的形狀●從正面看：物體在正投影面上的投影，反映物體的長和高。●從上面看：物體在水平投影面上的投影，反映物體的長和寬。●從左面看：物體在側投影面上的投影，反映物體的寬和高。?三個方向看到的圖形綜合起來才能確定一個立體圖形的形狀。第二章有理數及其運算2.1認識有理數一、有理數的概念●正數：大于0的數叫做正數。●負數：在正數前面加"-"號的數叫做負數（負數小于0）。●0既不是正數，也不是負數，它是最小的自然數。整數和分數統稱為有理數。二、有理數的分類●按定義分類：有理數分為整數（正整數、零、負整數）和分數（正分數、負分數）。●按正負分類：有理數分為正有理數（正整數、正分數）、零、負有理數（負整數、負分數）。?有限小數和無限循環小數可以化為分數，所以它們也是有理數；無限不循環小數不是有理數。三、數軸●數軸：規定了原點、正方向和單位長度的直線。●數軸的三要素：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可。●任何一個有理數都可以用數軸上的點來表示。?數軸上右邊的數總比左邊的數大。正數在原點右邊，負數在原點左邊。四、相反數●相反數：只有符號不同的兩個數互為相反數。●0的相反數是0。●互為相反數的兩個數在數軸上位于原點兩側，且到原點的距離相等。a的相反數記作-a。a與-a互為相反數，a+(-a)=0。五、絕對值●絕對值：一個數在數軸上對應的點到原點的距離，叫做這個數的絕對值。|a|=a(a>0);|a|=0(a=0);|a|=-a(a<0)●正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。●互為相反數的兩個數的絕對值相等。?絕對值一定是非負數，即|a|≥0。任何有理數的絕對值都不小于0。六、有理數的大小比較●利用數軸：數軸上右邊的數總比左邊的數大。●正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數。●兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小。?比較兩個負數大小時，先比較它們的絕對值，絕對值大的反而小，這是常見易錯點。2.2有理數的加減運算一、有理數的加法法則●同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。●異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。●互為相反數的兩個數相加得0。●一個數同0相加，仍得這個數。二、有理數加法運算律加法交換律：a+b=b+a加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)?靈活運用加法交換律和結合律可以簡化計算，如將正數和負數分別結合相加。三、有理數的減法法則減去一個數，等于加上這個數的相反數。a-b=a+(-b)?減法轉化為加法時，要注意兩變：變減號為加號，變減數為它的相反數。四、有理數加減混合運算●步驟：將減法統一轉化為加法→運用加法運算律簡化計算→求出結果。●技巧：同號先結合，湊整先結合，相反數先結合。2.3有理數的乘除運算一、有理數的乘法法則●兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。●任何數與0相乘，積仍為0。●多個有理數相乘：負因數的個數是偶數時，積為正；負因數的個數是奇數時，積為負。?若有一個因數為0，則積為0，此時不需要考慮負因數的個數。二、乘法運算律乘法交換律：a×b=b×a乘法結合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c三、倒數●乘積為1的兩個數互為倒數。若a×b=1，則a與b互為倒數。?0沒有倒數。正數的倒數是正數，負數的倒數是負數。倒數等于它本身的數是1和-1。四、有理數的除法法則●除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數。a÷b=a×(1/b)(b≠0)●兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。●0除以任何一個不等于0的數，都得0。?0不能作除數。除法可以轉化為乘法來計算，注意符號的確定。2.4有理數的乘方一、乘方的概念●求n個相同因數的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫做冪。a^n=a×a×a×...×a（n個a相乘）●在a^n中，a叫做底數，n叫做指數，a^n讀作"a的n次方"或"a的n次冪"。二、乘方的符號法則●正數的任何次冪都是正數。●負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。●0的任何正整數次冪都是0。?注意區分(-2)^4和-2^4：(-2)^4=16，而-2^4=-(2^4)=-16。括號的位置直接影響底數。三、科學記數法●把一個大于10的數表示成a×10^n的形式（1≤a<10，n為正整數），叫做科學記數法。?n的值等于原數整數部分的位數減1。2.5有理數的混合運算運算順序●先算乘方，再算乘除，最后算加減。●有括號的，先算括號里面的（先小括號，再中括號，最后大括號）。●同級運算，從左到右依次進行。?混合運算中要特別注意符號的確定和運算順序，先觀察算式結構再計算。第三章整式及其加減3.1代數式一、用字母表示數●用字母表示數可以把數和數量關系簡明地表示出來。●字母可以表示任何數，在不同問題中字母所代表的含義不同。二、代數式●代數式：用運算符號把數和表示數的字母連接起來的式子叫做代數式。●單獨一個數或一個字母也是代數式。?代數式中不含"="">""<""≠"等關系符號，含等號的式子是等式，不是代數式。三、代數式的值●代數式的值：用數值代替代數式里的字母，按照代數式中的運算關系計算得出的結果。●求代數式值的方法：代入法（將字母的值直接代入計算）。?代入負數或分數時要加括號，如當a=-2時，3a=3×(-2)=-6。四、單項式●單項式：由數與字母的乘積組成的代數式叫做單項式。●單獨一個數或一個字母也是單項式。●單項式的系數：單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數。●單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。?系數包括符號。如-3x2y的系數是-3，次數是2+1=3。圓周率π是常數不是字母。五、多項式●多項式：幾個單項式的和叫做多項式。●多項式的項：多項式中每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項。●多項式的次數：多項式中次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。?多項式的每一項都包括它前面的符號。如3x2-2x+1有三項：3x2、-2x、1。六、整式單項式與多項式統稱為整式。3.2整式的加減一、同類項●同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。●幾個常數項也是同類項。?判斷同類項的兩條標準：①字母相同；②相同字母的指數分別相同。與系數無關，與字母順序無關。二、合并同類項●合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項。法則：合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項系數的和，字母部分不變。如：3x2y+(-5x2y)=(3-5)x2y=-2x2y三、去括號法則●括號前是"+"號，去掉括號和"+"號后，括號內各項都不變號。●括號前是"-"號，去掉括號和"-"號后，括號內各項都要變號。?去括號時，如果括號前面是負號，去掉括號后括號內每一項都要變號，這是最常見的錯誤點。四、整式加減的步驟●步驟：去括號→合并同類項。●如果有多重括號，一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號。3.3探索與表達規律一、數字規律●等差數列規律：相鄰兩項的差為定值d，第n項an=a1+(n-1)d。●等比數列規律：相鄰兩項的比為定值q（q≠0）。二、圖形規律●通過觀察圖形的變化，找出圖形數量與序號之間的關系。●常見方法：從特殊到一般，先計算前幾項，再歸納總結規律。?探索規律時要注意驗證所得規律的一般性，代入特殊值檢驗。第四章基本平面圖形4.1線段、射線、直線一、線段、射線、直線的概念●線段：有兩個端點，有長度，可以度量。●射線：有一個端點，向一方無限延伸，沒有長度。●直線：沒有端點，向兩方無限延伸，沒有長度。二、直線的性質●經過兩點有且只有一條直線（兩點確定一條直線）。●兩條直線相交，只有一個交點。?"有且只有"表示存在性和唯一性：一定存在，且只有一個。三、線段的中點●線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點。若M是線段AB的中點，則AM=MB=AB/2，即AB=2AM=2MB四、線段的性質●兩點之間的所有連線中，線段最短（兩點之間，線段最短）。●兩點之間的距離：連接兩點的線段的長度。4.2角一、角的概念●角：由兩條有公共端點的射線組成的圖形。公共端點叫做角的頂點，兩條射線叫做角的邊。●角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形。二、角的表示方法●用三個大寫字母表示：∠AOB（O為頂點，在中間）。●用一個大寫字母表示：∠O（以該點為頂點的角只有一個時）。●用數字表示：∠1、∠2等。●用希臘字母表示：∠α、∠β等。?用一個大寫字母表示角時，必須確保以該點為頂點的角只有一個，否則會產生歧義。三、角的度量●角的度量單位：度（°）、分（′）、秒（″）。1°=60′，1′=60″●1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°。?角度是60進制，不是10進制，換算時要注意。1°=60′，而不是100′。四、角的比較與運算●角的比較方法：度量法、疊合法。●角的平分線：從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角。若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC=∠AOB/2五、互余與互補●互余：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角。●互補：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角。●同角或等角的余角相等；同角或等角的補角相等。?余角和補角是兩個角之間的關系，一個角本身不能叫余角或補角。4.3多邊形和圓的初步認識一、多邊形●多邊形：由若干條不在同一直線上的線段首尾順次相連組成的封閉平面圖形。●n邊形有n個頂點、n條邊、n個內角。●正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形。n邊形從一個頂點出發的對角線條數=n-3n邊形對角線的總條數=n(n-3)/2二、圓●圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形。定點叫做圓心，定長叫做半徑。●圓的任意一條直徑都是圓的對稱軸。●弧：圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。●扇形：由兩條半徑和一條弧圍成的圖形。?半圓既不是弧的最大值，也不是特殊的多邊形；半圓是弧的一種。第五章一元一次方程5.1認識方程一、方程的概念●方程：含有未知數的等式叫做方程。?方程必須同時滿足兩個條件：①是等式；②含有未知數。兩者缺一不可。二、一元一次方程●一元一次方程：只含有一個未知數（元），未知數的次數都是1，且等號兩邊都是整式的方程。●一元一次方程的標準形式：ax+b=0（a≠0，a、b為常數）。?判斷一元一次方程要看：①一個未知數；②未知數次數為1；③整式方程（分母不含未知數）；④a≠0。三、方程的解●方程的解：使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫做方程的解。●一元一次方程的解也叫根。5.2一元一次方程的解法一、等式的基本性質●性質1：等式兩邊同時加上（或減去）同一個數或代數式，所得結果仍是等式。若a=b，則a±c=b±c●性質2：等式兩邊同時乘同一個數（或除以同一個不為0的數），所得結果仍是等式。若a=b，則a×c=b×c（c≠0時a/c=b/c）二、解一元一次方程的一般步驟①去分母：方程兩邊同乘各分母的最小公倍數。

②去括號：按去括號法則去掉括號。

③移項：把含有未知數的項移到一邊，常數項移到另一邊（移項要變號）。

④合并同類項：把方程化成ax=b的形式。

⑤系數化為1：方程兩邊同除以未知數的系數，得到x=b/a。

?移項必須變號！這是解方程中最常見的錯誤。另外去分母時不要漏乘不含分母的項。?去分母時，分子是多項式時要加括號，防止符號錯誤。5.3一元一次方程的應用一、列方程解應用題的步驟①審題：理解題意，明確已知量和未知量。

②設未知數：用字母表示未知量（直接設或間接設）。