（2027年春）北師大版2024八年級下冊數學知識點大全

北師大版（2024修訂）八年級數學下冊·知識點大全

顏色標注說明：■紅色——核心定義/概念■藍色——重要公式/定理■綠色——重要性質/法則■紫色——易錯點/注意事項

第一章三角形的證明1.1等腰三角形一、等腰三角形的性質定理●定理1：等腰三角形的兩底角相等（簡稱：等邊對等角）。●定理2：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）。二、等腰三角形的判定定理●定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱：等角對等邊）。三、等邊三角形的性質與判定●性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°；三線合一；有三條對稱軸。●判定1：三邊相等的三角形是等邊三角形?！衽卸?：三個角相等的三角形是等邊三角形?！衽卸?：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。四、反證法●反證法：先假設命題的結論不成立，然后推導出與已知條件或已學定理矛盾的結論，從而證明原命題成立。?反證法的步驟：①假設結論不成立；②推出矛盾；③肯定原結論。1.2直角三角形一、直角三角形的性質●定理1：直角三角形的兩個銳角互余?！穸ɡ?：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。在Rt△ABC中，∠C=90°，D為AB中點，則CD=AB/2●含30°角的直角三角形：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則BC=AB/2二、直角三角形的判定●定理1：有兩個角互余的三角形是直角三角形?！穸ɡ?：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。三、勾股定理及其逆定理●勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。a2+b2=c2。●逆定理：如果三角形三邊滿足a2+b2=c2，則該三角形是直角三角形。1.3線段的垂直平分線一、線段垂直平分線的性質定理線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。若MN⊥AB于O且AO=BO，P在MN上，則PA=PB二、線段垂直平分線的判定定理到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。?性質定理是從線上到點的距離關系；判定定理是從距離關系到點在線上。條件和結論互換。1.4角平分線一、角平分線的性質定理角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。若OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，則PD=PE二、角平分線的判定定理在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。?使用角平分線性質定理時，必須滿足"點到角兩邊的距離"這個條件，即必須是垂線段。第二章一元一次不等式與一元一次不等式組2.1不等關系一、不等式的概念●不等式：用符號"<"">""≤""≥""≠"表示大小關系的式子?！馻≥b讀作"a大于或等于b"，a≤b讀作"a小于或等于b"。2.2不等式的基本性質不等式的基本性質●性質1：不等式兩邊同時加上（或減去）同一個數，不等號方向不變。若a>b，則a±c>b±c●性質2：不等式兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號方向不變。若a>b,c>0，則ac>bc,a/c>b/c●性質3：不等式兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號方向改變。若a>b,c<0，則ac<bc,a/c<b/c?不等式兩邊乘或除以負數時，不等號方向必須改變！這是最常見、最關鍵的易錯點。2.3不等式的解集一、不等式的解和解集●不等式的解：使不等式成立的未知數的值?！癫坏仁降慕饧阂粋€含有未知數的不等式的所有解的集合?！窠獠坏仁剑呵蟛坏仁浇饧倪^程。二、用數軸表示解集●用數軸表示解集時，"<"">"用空心圓圈（不包含該點），"≤""≥"用實心圓點（包含該點）。?大于向右畫，小于向左畫。包含等于用實心點，不包含用空心圈。2.4一元一次不等式一、一元一次不等式●含有一個未知數，且未知數的次數是1的不等式?！駱藴市问剑篴x+b>0（或<0,≤0,≥0）（a≠0）。二、解一元一次不等式●步驟與解一元一次方程類似：去分母→去括號→移項→合并同類項→系數化為1。?與解方程唯一不同的是：當不等式兩邊乘或除以負數時，不等號方向要改變！2.5一元一次不等式與一次函數一元一次不等式與一次函數的關系●從函數角度看：解kx+b>0就是求一次函數y=kx+b的值大于0時x的取值范圍?！駨膱D象角度看：就是求直線y=kx+b在x軸上方的部分對應的x的范圍。2.6一元一次不等式組一、一元一次不等式組●由幾個含有同一個未知數的一元一次不等式組成的不等式組。二、不等式組的解集●不等式組中所有不等式的解集的公共部分，叫做不等式組的解集。●確定解集的方法：畫數軸找公共部分。三、解集的四種情況（設a<b）●①x>a且x>b→x>b（同大取大）。●②x<a且x<b→x<a（同小取?。??！瘼踴>a且x<b→a<x<b（大小小大取中間）?！瘼躼<a且x>b→無解（大大小小無解集）。?口訣：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解集。第三章圖形的平移與旋轉3.1圖形的平移一、平移的概念●平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移。二、平移的性質●平移不改變圖形的形狀和大小?！衿揭坪髮c所連的線段平行（或在同一直線上）且相等。●對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角相等。?平移的兩個要素：方向和距離。3.2圖形的旋轉一、旋轉的概念●旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉。●定點叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。二、旋轉的性質●旋轉不改變圖形的形狀和大小。●對應點到旋轉中心的距離相等?！袢我庖唤M對應點與旋轉中心的連線所成的角都等于旋轉角。●對應線段相等，對應角相等。?旋轉的三個要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角。3.3中心對稱一、中心對稱●中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱?！襁@個點叫做對稱中心。二、中心對稱的性質●關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形?！耜P于中心對稱的兩個圖形，對應點連線經過對稱中心，且被對稱中心平分。三、中心對稱圖形●中心對稱圖形：把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。●常見的中心對稱圖形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓等。第四章因式分解4.1因式分解因式分解的概念把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）。?因式分解與整式乘法是互逆過程。因式分解的結果必須是積的形式，不能有加減。4.2提公因式法提公因式法●公因式：多項式各項都含有的相同因式。●找公因式的方法：取各項系數的最大公約數和各項相同字母的最低次冪。提公因式法：把多項式各項的公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式。如：ma+mb+mc=m(a+b+c)?提取公因式后，括號內的多項式是原多項式除以公因式的商，注意不要漏項。4.3公式法一、平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)二、完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2?使用公式法時，要先判斷多項式是否符合公式的結構特征。完全平方公式的特征：首平方+尾平方±2倍首尾。?因式分解的一般步驟：先提公因式，再看能否用公式，直到每個因式不能再分解為止。第五章分式與分式方程5.1認識分式一、分式的概念●分式：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式?！馎叫做分式的分子，B叫做分式的分母。二、分式有意義的條件分式有意義?分母不為0（B≠0）。三、分式的值為零的條件分式的值為零?分子為0且分母不為0（A=0且B≠0）。?分式的值為0時，必須同時滿足分子為0和分母不為0，缺一不可。只檢查分子為0而忽略分母是常見錯誤。四、分式的基本性質分式的分子和分母同時乘（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變。A/B=(A×M)/(B×M)=(A÷M)/(B÷M)（M≠0）五、約分與通分●約分：把分式的分子和分母的公因式約去?！褡詈喎质剑悍肿优c分母沒有公因式的分式?！裢ǚ郑喊褞讉€異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式。5.2分式的乘除法一、分式的乘法(A/B)×(C/D)=(AC)/(BD)二、分式的除法分式除以分式，把除式的分子和分母顛倒位置后，與被除式相乘。(A/B)÷(C/D)=(A/B)×(D/C)=(AD)/(BC)5.3分式的加減法一、同分母分式加減A/C±B/C=(A±B)/C二、異分母分式加減先通分，化為同分母分式，再按同分母分式加減法法則進行計算。5.4分式方程一、分式方程●分母中含有未知數的方程叫做分式方程。二、解分式方程的步驟●①方程兩邊同乘最簡公分母，化分式方程為整式方程?！瘼诮膺@個整式方程?！瘼蹤z驗：將整式方程的解代入最簡公分母，看是否為0?！瘼軐懗鲈质椒匠痰慕狻?解分式方程必須檢驗！使最簡公分母為0的解是增根，必須舍去。增根不是原方程的解。第六章平行四邊形6.1平行四邊形的性質一、平行四邊形的概念●平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形。二、平行四邊形的性質●性質1：平行四邊形的對邊相等?！裥再|2：平行四邊形的對角相等。●性質3：平行四邊形的對角線互相平分?！衿叫兴倪呅问侵行膶ΨQ圖形，對稱中心是對角線的交點。?平行四邊形的對角線將其分成四個三角形，這四個三角形面積相等。6.2平行四邊形的判定平行四邊形的判定方法●判定1：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義）。●判定2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形?！衽卸?：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。●判定4：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形?！衽卸?：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。6.3三角形的中位線三角形中位線定理●中位線：連接三角形兩邊中點的線段。三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。在△ABC中，D、E分別為AB、AC