小學(xué)六年級數(shù)學(xué)（人教版上冊）第二單元《位置與方向（二）》精講知識清單

小學(xué)六年級數(shù)學(xué)（人教版上冊）第二單元《位置與方向（二）》精講知識清單一、核心概念與基本原理：構(gòu)建空間觀念的基礎(chǔ)（一）確定物體位置的兩要素【核心】【高頻考點(diǎn)】在現(xiàn)實(shí)情境中，要準(zhǔn)確描述一個物體所在的具體位置，必須具備兩個關(guān)鍵要素：方向和距離。這兩個要素缺一不可。如果只知道方向而不知道距離，我們只能確定物體所在的射線，而無法確定其具體位置；反之，如果只知道距離而不知道方向，我們只能確定物體所在的圓（即以觀測點(diǎn)為圓心，距離為半徑的圓），同樣無法精準(zhǔn)定位。只有將方向和距離結(jié)合起來，才能將物體的位置唯一確定下來。【基礎(chǔ)】例如，描述“學(xué)校在廣場的北偏西30°方向上”，這只是給出了方向，學(xué)校的具體位置并不唯一。只有補(bǔ)充“距離廣場300米”，才能在學(xué)校所在的這條射線上找到唯一的一個點(diǎn)，即學(xué)校的準(zhǔn)確位置110。（二）方向的規(guī)范化表述【難點(diǎn)】【易錯點(diǎn)】在平面圖上，我們通常遵循“上北、下南、左西、右東”的原則來建立方向標(biāo)4。1.角的起始邊：在描述方向時，我們通常以正北或正南方向作為角的起始邊，然后偏向正東或正西方向。例如，“北偏東30°”是指以正北為起點(diǎn)，向東偏轉(zhuǎn)30°。但在實(shí)際生活中或特定情境下，我們也會遇到如“東偏北30°”的描述，這是以東為起點(diǎn)，向北偏轉(zhuǎn)30°。這兩種描述指的是同一條方向線，但表述的參照不同。【重要】2.角的度數(shù)與表述：為了表述的簡潔與規(guī)范，通常我們選擇夾角較小的那個方向來進(jìn)行描述。例如，東偏北30°和北偏東60°表示的是同一個方向，但一般我們習(xí)慣說“東偏北30°”，因為30°小于60°28。3.八個基本方向：熟練掌握東、南、西、北、東南、東北、西南、西北八個基本方向，并能理解它們之間的相對關(guān)系，是進(jìn)行更精確方向描述的基礎(chǔ)4。二、確定物體位置的方法與步驟：從觀察到描述（一）用方向和距離描述物體位置的“三步法”【核心】【解題步驟】在實(shí)際操作或解題中，要精準(zhǔn)描述一個物體的位置，必須按照以下三個步驟進(jìn)行：1.【第一步：定觀測點(diǎn)】確定以哪里為參照中心。觀測點(diǎn)的不同，描述的結(jié)果也會不同。例如，描述圖書館相對于學(xué)校的位置，觀測點(diǎn)就是學(xué)校；描述學(xué)校相對于圖書館的位置，觀測點(diǎn)就變成了圖書館1。2.【第二步：定方向】從觀測點(diǎn)出發(fā)，建立方向標(biāo)（十字方向標(biāo)或米字方向標(biāo)），用量角器測量出目標(biāo)點(diǎn)相對于觀測點(diǎn)的方向角度。這一步的關(guān)鍵是找準(zhǔn)是以正北還是正南為起始邊，以及向哪個方向（東或西）偏轉(zhuǎn)了多少度210。3.【第三步：定距離】測量或計算出觀測點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的實(shí)際距離。在地圖上或平面圖中，通常需要根據(jù)比例尺將實(shí)際距離換算成圖上距離，或者根據(jù)圖上距離和比例尺算出實(shí)際距離110。（二）位置關(guān)系的相對性【高頻考點(diǎn)】【必考】兩個地點(diǎn)的位置關(guān)系是相對的，描述的角度不同，方向正好相反，但度數(shù)和距離保持不變。1.原理：如果A點(diǎn)在B點(diǎn)的東偏南30°方向，距離100米，那么B點(diǎn)就在A點(diǎn)的西偏北30°方向，距離100米1610。2.變化規(guī)律：觀測點(diǎn)互換，方向變?yōu)橄喾捶较颍|?西，南?北），角度不變，距離不變。1.3.東偏南?西偏北2.4.北偏東?南偏西3.5.西偏北?東偏南4.6.等等，以此類推。7.【易錯警示】這是本單元最重要的易錯點(diǎn)之一。學(xué)生在解答“小麗在小紅家北偏西35°方向，那么小紅家在小麗家（）方向”這類題目時，極易出錯。正確答案應(yīng)為“南偏東35°”或“東偏南55°”，因為方向完全相反16。解題時，可以畫圖輔助理解，或者直接運(yùn)用“方向相反、角度不變”的規(guī)律進(jìn)行判斷。三、描述與繪制路線圖：動態(tài)空間思維的培養(yǎng)（一）描述路線圖的“三要素”【重要】【高頻考點(diǎn)】描述一段行走路線時，需要按照行走的先后順序，在每個關(guān)鍵點(diǎn)（即觀測點(diǎn)發(fā)生變化的地方）說清楚以下三點(diǎn)：1.從哪里出發(fā)？（上一段路線的終點(diǎn)，即為本段路線的起點(diǎn)和新的觀測點(diǎn)）2.向什么方向走？（以當(dāng)前觀測點(diǎn)為準(zhǔn)，描述下一個目標(biāo)點(diǎn)的方向）3.走了多遠(yuǎn)？（這一段路的實(shí)際距離）例如：從學(xué)校出發(fā)，先向正東方向走200米到達(dá)書店，然后從書店向北偏東30°方向走150米到達(dá)超市137。（二）繪制路線圖的“四環(huán)節(jié)”【技能要求】根據(jù)文字描述畫出路線圖，是檢驗空間想象能力和動手操作能力的重要方式。1.【建標(biāo)】確定平面圖上的方向標(biāo)（通常為上北下南左西右東），并根據(jù)描述確定合適的比例尺（如1厘米代表實(shí)際距離多少米）。2.【定點(diǎn)】確定起點(diǎn)的位置，并在圖上標(biāo)注清楚。3.【畫線】從起點(diǎn)出發(fā)，根據(jù)第一步描述的方向，用量角器畫出該方向的射線。在畫角時，一定要注意量角器的中心點(diǎn)與觀測點(diǎn)對齊，0刻度線與起始方向（如正北或正東）對齊。4.【定長】根據(jù)比例尺，將第一步描述的實(shí)際距離換算成圖上距離，并在畫好的射線上從起點(diǎn)開始量出相應(yīng)的長度，描出下一個點(diǎn)（即到達(dá)地），并標(biāo)注上名稱。然后以此點(diǎn)為新的觀測點(diǎn)，重復(fù)上述步驟，進(jìn)行下一段路線的繪制12。四、比例尺的應(yīng)用與計算【基礎(chǔ)】【工具性知識】在位置與方向的學(xué)習(xí)中，比例尺是將圖上距離與實(shí)際距離進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換的工具。1.公式：圖上距離:實(shí)際距離=比例尺。2.應(yīng)用：當(dāng)已知實(shí)際距離和比例尺時，求圖上距離：圖上距離=實(shí)際距離×比例尺（注意單位統(tǒng)一）。例如，比例尺為1:，實(shí)際距離600km，則圖上距離為600km×1/=cm×1/=6cm2。當(dāng)已知圖上距離和比例尺時，求實(shí)際距離：實(shí)際距離=圖上距離÷比例尺。3.【易錯點(diǎn)】單位換算是常見的錯誤源。在實(shí)際計算中，一定要先將千米（km）換算為厘米（cm），或者將厘米換算為千米，再進(jìn)行計算。例如，比例尺1:表示圖上1厘米代表實(shí)際距離100千米。五、典型題型與考向分析【備考指南】（一）基礎(chǔ)概念辨析題1.考查方式：選擇題或判斷題。2.例題1：廣場為觀測點(diǎn)，學(xué)校在北偏西30°的方向上，下圖中正確的是（）。【解析】此類題主要考查對方向描述的理解，要能準(zhǔn)確判斷“北偏西”是指從正北方向向西旋轉(zhuǎn)30°13。3.例題2：判斷：東偏南30°的相反方向是北偏西30°。（）【解析】錯誤。東偏南30°的相對方向是西偏北30°。解題關(guān)鍵是理解“相對”即方向完全相反3。（二）位置關(guān)系相對性應(yīng)用題【高頻考點(diǎn)】1.考查方式：填空、選擇或判斷。2.例題：小紅家在小麗家北偏西35°方向，那么小麗家在小紅家（）。A.東偏北35°B.東偏南55°C.北偏西55°D.南偏西55°【解析】正確答案是B或D中的一個，需根據(jù)角度計算。小麗家在小紅家南偏東35°或東偏南55°。這類題既考查了方向的相對性，也考查了同一方向的不同表述13。（三）描述和繪制路線圖題【必考題型】1.考查方式：給出路線圖，要求用文字描述行走的路線；或者給出文字描述，要求在圖上畫出路線并標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)。2.解題步驟：（描述題）先找起點(diǎn)（觀測點(diǎn)）→說方向→說距離→換下一個觀測點(diǎn)，重復(fù)步驟。（繪圖題）先看比例尺→定起點(diǎn)→畫方向線（用量角器）→按比例量距離→標(biāo)名稱→以新點(diǎn)為觀測點(diǎn)重復(fù)79。（四）綜合應(yīng)用題（數(shù)對與方位結(jié)合）1.考查方式：在方格圖中，結(jié)合數(shù)對知識，考查方向和距離。2.例題：若一個小正方形的對角線長5m，則點(diǎn)（0，0）東偏北45°方向20m處是點(diǎn)A（，）。【解析】此題將數(shù)對與方位角結(jié)合。對角線長5m，20m需要4條對角線。東偏北45°方向即在方格的對角線方向上，從（0，0）出發(fā)，走4個對角線的長度，即向右、向上各移動4格，到達(dá)點(diǎn)（4，4）1。六、易錯點(diǎn)與難點(diǎn)突破策略【決勝關(guān)鍵】（一）【易錯點(diǎn)1】觀測點(diǎn)混淆1.現(xiàn)象：在描述或畫圖時，搞不清以誰為觀測點(diǎn)。例如，描述“書店在學(xué)校的北偏東30°方向”，卻畫成了以書店為觀測點(diǎn)。2.對策：圈出題目中的關(guān)鍵字“在”或“從”。“A在B的什么方向”，觀測點(diǎn)就是B；“從A出發(fā)向什么方向走到B”，觀測點(diǎn)就是A。在畫圖時，務(wù)必在觀測點(diǎn)處畫出“十”字方向標(biāo)69。（二）【易錯點(diǎn)2】方向角度表述不規(guī)范1.現(xiàn)象：混淆“東偏北”和“北偏東”。將“北偏西30°”說成或畫成“西偏北60°”，雖然數(shù)學(xué)上有時等價，但不符合小學(xué)階段的規(guī)范表述要求。2.對策：強(qiáng)化規(guī)范，明確描述方向時，先說正方向（北或南），再說偏向（東或西），最后說角度67。（三）【易錯點(diǎn)3】相對方向推導(dǎo)錯誤1.現(xiàn)象：在推導(dǎo)相對位置時，只想到了方向相反，但沒有正確找到對應(yīng)的相反方向。例如，認(rèn)為北偏東的相反方向是南偏東。2.對策：畫出簡單示意圖，或者記住規(guī)律：將原方向中的“北”換成“南”，“東”換成“西”，角度不變。即“北偏東”的相對方向是“南偏西”39。（四）【難點(diǎn)】動態(tài)路線中的觀測點(diǎn)轉(zhuǎn)換1.現(xiàn)象：在描述復(fù)雜路線時，到了第二個點(diǎn)，忘記轉(zhuǎn)換觀測點(diǎn)，仍然用第一個點(diǎn)作為觀測點(diǎn)來描述下一段路程。2.對策：強(qiáng)調(diào)“走一段，換一點(diǎn)”。每到一個新的地點(diǎn)，就要停下來，在此處建立新的方向標(biāo)，再去看下一個目標(biāo)。可以讓學(xué)生用手勢或筆尖模擬行走過程，每到一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)就停下來重新定向13。七、數(shù)學(xué)思想與方法滲透1.數(shù)形結(jié)合思想：將抽象的方向角度和距離數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化為直觀的平面圖形，通過畫圖幫助理解和解決問題。這是解決本單元所有問題的金鑰匙。2.轉(zhuǎn)化思想：將位置關(guān)系的相對性問題，轉(zhuǎn)化為尋找相反方向的問題，實(shí)現(xiàn)化新為舊，化繁為簡。3.模型思想：通過“觀測點(diǎn)+方向+距離”這一數(shù)學(xué)模型，可以精準(zhǔn)描述平面上任何一個點(diǎn)的位置，這是笛卡爾坐標(biāo)系（數(shù)對）之外的另一種描述方式，也是未來學(xué)習(xí)極坐標(biāo)的雛形。八、跨學(xué)科融合與實(shí)際應(yīng)用1.與地理學(xué)科的融合：利用經(jīng)緯網(wǎng)確定地球表面某一點(diǎn)的位置，就是本單元知識在地理學(xué)科中的直接應(yīng)用。臺風(fēng)中心的播報、海上搜救、野外探險等都依賴于這種定位方法25。2.與體育學(xué)科的融合：定向運(yùn)動是一項需