相似三角形判定專項(xiàng)練習(xí)30題

相似三角形判定專項(xiàng)練習(xí)30題相似三角形的判定是平面幾何中的核心內(nèi)容之一，其應(yīng)用貫穿于各類幾何問(wèn)題的求解過(guò)程。熟練掌握相似三角形的判定方法，不僅能夠深化對(duì)圖形性質(zhì)的理解，更能提升邏輯推理與空間想象能力。以下為精心設(shè)計(jì)的30道專項(xiàng)練習(xí)題，旨在幫助讀者系統(tǒng)鞏固相關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用判定定理。一、核心判定定理梳理在開始練習(xí)之前，我們簡(jiǎn)要回顧相似三角形的主要判定定理，這是解決所有問(wèn)題的基礎(chǔ)：1.兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似（AA或AAA）：若一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相似。此定理應(yīng)用最為廣泛，需重點(diǎn)掌握。2.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似（SAS）：若一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，且它們的夾角相等，則這兩個(gè)三角形相似。注意“夾角”的關(guān)鍵性，不可與“對(duì)角”混淆。3.三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似（SSS）：若一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形相似。4.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似（HL）：此為直角三角形特有的相似判定方法，可視為SSS或SAS的特殊情形。在運(yùn)用這些定理時(shí)，務(wù)必注意“對(duì)應(yīng)”二字，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角與對(duì)應(yīng)邊是避免出錯(cuò)的關(guān)鍵。二、專項(xiàng)練習(xí)題（一）基于“兩角對(duì)應(yīng)相等”（AA）的判定1.在△ABC與△DEF中，已知∠A=∠D=70°，∠B=∠E=50°，試判斷這兩個(gè)三角形是否相似，并說(shuō)明理由。2.如圖，直線a∥b，直線c分別與a、b相交于點(diǎn)A、B，另一條直線d分別與a、b相交于點(diǎn)C、D。求證：△ACD與△BCD（此處原題意應(yīng)為△ACB與△ADB或其他，根據(jù)平行線性質(zhì)構(gòu)造的相似三角形，假設(shè)為△AOC與△BOD，O為c與d交點(diǎn)）相似。（注：實(shí)際出題時(shí)需明確圖形頂點(diǎn)，但此處用文字描述常見(jiàn)模型）3.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜邊AB上的高。求證：△ACD∽△ABC∽△CBD。4.已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，DE∥BC。判斷△ADE與△ABC是否相似，并說(shuō)明理由。5.在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E。求證：△EDC∽△ABC。6.已知：∠1=∠2，∠3=∠4。求證：△ABC∽△ADE。（假設(shè)圖形中A為公共頂點(diǎn)，∠1、∠2分別為∠BAE和∠CAD等，需構(gòu)造角相等關(guān)系）7.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，連接CE交AD于點(diǎn)F。求證：△AFE∽△DFC。8.在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，△DEF中，∠D=50°，∠E=60°。判斷△ABC與△DEF是否相似，并說(shuō)明理由。（二）基于“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等”（SAS）的判定9.已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，AB/A'B'=AC/A'C'=2/3。求證：△ABC∽△A'B'C'。10.在△ABC中，AB=4，AC=6，AD=2，AE=3，且∠BAD=∠CAE。求證：△ABD∽△ACE。11.已知：如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且AD/AB=AE/AC，∠A是公共角。求證：△ADE∽△ABC。12.在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7。在△DEF中，DE=10，EF=12，DF=14。判斷這兩個(gè)三角形是否相似，若相似，指出對(duì)應(yīng)關(guān)系；若不相似，說(shuō)明理由。（此題也可用于SSS判定練習(xí)）13.已知：如圖，∠ACB=∠DCE，AC=3，BC=4，DC=6，EC=8。求證：△ACB∽△DCE。14.在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，且AD/DC=2/3，AB=10，AC=15，BD=6。試在AB上找一點(diǎn)E，使以A、E、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，并求出AE的長(zhǎng)。（可能存在多解）15.已知：如圖，AB/AD=AC/AE，且∠BAC=∠DAE。求證：△ABC∽△ADE。16.已知△ABC中，AB=6，AC=8，∠A=30°；△DEF中，DE=3，DF=4，∠D=30°。判斷△ABC與△DEF是否相似，并說(shuō)明理由。（三）基于“三邊對(duì)應(yīng)成比例”（SSS）的判定17.已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5；△DEF的三邊長(zhǎng)分別為6、8、10。判斷這兩個(gè)三角形是否相似，并說(shuō)明理由。18.若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，△A'B'C'的三邊長(zhǎng)分別為√a、√b、√c，且a/b=b/c=k（k>0）。求證：△ABC∽△A'B'C'。（注：此處需保證a/b=b/c=√a/√b=√b/√c，即k為正數(shù)且開方后比例不變）19.已知△ABC與△A'B'C'中，AB=2，BC=3，AC=4；A'B'=1，B'C'=1.5，A'C'=2。判斷它們是否相似，并說(shuō)明理由。20.一個(gè)三角形的三邊之比為2:3:4，另一個(gè)三角形的最大邊為10，其余兩邊長(zhǎng)之和為11，且這兩個(gè)三角形相似。求另一個(gè)三角形的另兩邊長(zhǎng)。21.已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上一點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)。求證：△ADQ∽△QCP。（四）基于“斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例”的直角三角形判定22.已知兩個(gè)直角三角形的一條直角邊和斜邊分別對(duì)應(yīng)成比例，求證這兩個(gè)直角三角形相似。23.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=5，AC=3，DE=10，DF=6。判斷這兩個(gè)直角三角形是否相似，并說(shuō)明理由。24.已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在BC上，且AC2=BC·DC。求證：△ABC∽△DAC。（五）綜合判定與開放探究25.已知△ABC和△A'B'C'，給出下列條件：①∠A=∠A'；②∠B=∠B'；③AB/A'B'=AC/A'C'；④AB/A'B'=BC/B'C'。從中任取兩個(gè)條件，能判定△ABC∽△A'B'C'的概率是多少？（請(qǐng)列出所有可能組合并判斷）（注：此題為概率與幾何結(jié)合，重點(diǎn)在相似判定）26.如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)。△ACB和△DCE的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上。求證：△ACB∽△DCE。（需假設(shè)圖形，如ACB為直角邊3、4，DCE為直角邊6、8等）27.已知：在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△ADE∽△ACB，并說(shuō)明添加的條件是如何滿足判定定理的。（至少給出兩種不同類型的條件）28.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P、D分別在BC和AC上，且∠APD=∠B。求證：AC·CD=CP·BP。（需先證△ABP∽△PCD）29.已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，弦CD平分∠ACB，弦DE∥BC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。判斷△ADE與△DBC是否相似，并證明你的結(jié)論。30.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(0,3)，B(4,0)，C(1,4)，D(5,1)。試判斷△AOB與△COD是否相似，并說(shuō)明理由。三、答案與提示（一）基于“兩角對(duì)應(yīng)相等”（AA）的判定1.相似。理由：∠A=∠D，∠B=∠E，根據(jù)AA判定定理。2.相似。提示：利用平行線的性質(zhì)（同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等）得到兩組對(duì)應(yīng)角相等。3.相似。提示：均為直角三角形，且有一個(gè)公共銳角，根據(jù)AA判定。4.相似。理由：DE∥BC，可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C（或∠A公共），根據(jù)AA。5.相似。提示：先證∠EDC=∠B（平行線性質(zhì)），∠C公共，根據(jù)AA。6.相似。提示：由∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE，結(jié)合∠3=∠4（或通過(guò)角的和差轉(zhuǎn)化），根據(jù)AA。7.相似。提示：平行四邊形性質(zhì)得AB∥CD，AD∥BC，從而得到∠E=∠DCF，∠EFA=∠CFD（對(duì)頂角），根據(jù)AA。8.相似。理由：△ABC中∠A=50°，∠B=60°；△DEF中∠D=50°，∠E=60°，故∠A=∠D，∠B=∠E，AA判定。（二）基于“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等”（SAS）的判定9.相似。理由：∠A=∠A'（夾角相等），AB/A'B'=AC/A'C'（夾邊成比例），根據(jù)SAS。10.相似。提示：AD/AC=2/6=1/3，AE/AB=3/4？題目應(yīng)為AD/AB=2/4=1/2，AE/AC=3/6=1/2，則AD/AB=AE/AC，且∠BAD=∠CAE（或∠DAE為公共角等，需原題圖形支持，此處按比例關(guān)系修正后可證SAS）。11.相似。理由：AD/AB=AE/AC，∠A公共（夾角），根據(jù)SAS。12.相似。提示：AB/DE=5/10=1/2，BC/EF=6/12=1/2，AC/DF=7/14=1/2，三邊對(duì)應(yīng)成比例（SSS），故相似。△ABC∽△DEF。13.相似。提示：AC/DC=3/6=1/2，BC/EC=4/8=1/2，故AC/DC=BC/EC，且∠ACB=∠DCE（夾角相等），根據(jù)SAS。14.AE=4或AE=1.6。提示：分兩種情況，①△ADE∽△ABC（AE與AC對(duì)應(yīng)），則AD/AB=AE/AC；②△ADE∽△ACB（AE與AB對(duì)應(yīng)），則AD/AC=AE/AB。15.相似。理由：AB/AD=AC/AE（已知比例），∠BAC=∠DAE（已知夾角相等），根據(jù)SAS。16.相似。理由：AB/DE=6/3=2，AC/DF=8/4=2，故AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D=30°（夾角相等），根據(jù)SAS。（三）基于“三邊對(duì)應(yīng)成比例”（SSS）的判定17.相似。理由：3/6=4/8=5/10=1/2，三邊對(duì)應(yīng)成比例。18.相似。提示：由a/b=b/c=k，可得a=bk，b=ck，故a=ck2。則△ABC三邊為ck2、ck、c；△A'B'C'三邊為√(ck2)=k√c、√(ck)=√(ck)、√c。其比例為k√c:√(ck):√c=k:√k:1（可約），或直接計(jì)算√a/√b=√(a/b)=√k，√b/√c=√(b/c)=√k，故√a/√b=√b/√c，三邊對(duì)應(yīng)成比例。19.相似。理由：AB/A'B'=2/1=2，BC/B'C'=3/1.5=2，AC/A'C'=4/2=2，三邊對(duì)應(yīng)成比例。20.另兩邊長(zhǎng)為4和7。提示：設(shè)另兩邊為x、y（x<y<10），則x+y=11，且x/2=y/3=10/4（或其他比例組合，根據(jù)最大邊對(duì)應(yīng)），解得x=4，y=7。21.相似。提示：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為4a，則BP=3a，PC=a，CQ=DQ=2a。AD=4a，DQ=2a，QC=2a，CP=a。AD/QC=4a/2a=2，DQ/CP=2a/a=2，AQ=√(AD2+DQ2)=√(20a2)=2√5a，QP=√(QC2+CP2)=√(5a2)=√5a，CQ=2a。AD/QC=DQ/CP=AQ/QP=2，故SSS或SAS（夾角為直角）。（四）基于“斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例”的直角三角形判定22.相似。提示：設(shè)Rt△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，AB/A'B'=AC/A'C'=k。由勾股定理可證BC/B'C'=k，從而三邊對(duì)應(yīng)成比例或SAS。23.相似。提示：Rt△ABC中BC=4，Rt△DEF中EF=8。AB/DE=5/10=1/2，AC/DF=3/6=1/2，BC/EF=4/8=1/2。或直接用斜邊AB/DE=1/2，直角邊AC/DF=1/2，符合HL類似判定。24.相似。提示：AC2=BC·DC?AC/BC=DC/AC，且∠C公共，根據(jù)SAS（∠C為夾角）。（五）綜合判定與開放探究25.概率為3/6=1/2。提示：所有組合：①②（AA，相似）；①③（SAS，相似）；①④（不一定，SSA不成立）；②③（不一定，非夾角）；②④（SAS，相似）；③④（SSS，相似）。共6種，其中①②、①③、②④、③④共4種？需仔細(xì)甄別：①④：∠A=∠A'，AB/A'B'=BC/B'C'，非夾角，不判定；②③：∠B=∠B'，AB/A'B'=AC/A'C'，非夾角，不判定。故能判定的是①②、①③、②④、③④？應(yīng)為①②（AA）、①③（SAS，∠A為AB和AC夾角）、②④（SAS，∠B為AB和BC夾角）、③④（SSS，若AB/A'B'=AC/A'C'=BC/B'C'，則需三組比例，但此處只取③④兩組，即AB/A'B'=AC/A'C'且AB/A'B'=