2025-2026學年上海市楊浦區八年級（上）期中數學試卷(含解析)

2025-2026學年上海市楊浦區八年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本大題共6題，每題3分，滿分18分）1．下列各數中，無理數的個數有（），，（每兩個相鄰的2之間多一個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．下列說法正確的是（）A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是23．下列說法錯誤的是（）A．實數可分為正實數和負實數兩類 B．正實數包括正有理數和正無理數 C．實數在數軸上都有唯一對應的點 D．數軸上任一點都有唯一對應的實數4．下列式子不是的有理化因式的是（）A． B． C． D．5．下列關于的方程有實數根的是（）A． B． C． D．6．甲、乙兩位同學將二次根式變形的過程如下，即：乙：由此，兩位同學共同得到“任何實數都等于它的相反數”的結論．兩位同學關于的變形過程，首次出現共同錯誤的地方是（）A．第一個等號后 B．第二個等號后 C．第三個等號后 D．兩位同學都沒錯二、填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）7．一元二次方程的求根公式的發現，是數學思想史上的一個里程碑，對于任意有實數根的一元二次方程，其求根公式為．8．用科學記數法把0.00001032表示為．9．客廳地面呈長方形，長與寬的比恰為，現要用同一大小的正方形地磚鋪滿地面，且正方形不能切割．有一家地磚廠商，能夠生產任意邊長的正方形，那么這家廠商（填“能”或“不能”生產出符合要求的正方形地磚．10．實數、、在一條沒有標明原點的數軸上對應的點、、的位置如圖所示，則可化簡為．11．化簡：．12．化簡：．13．若最簡二次根式與是同類二次根式，則．14．已知三角形兩邊長是方程的兩個根，則三角形的第三邊的取值范圍是．15．寫出一個根為的一元二次方程：（寫成一般式）．16．解方程：．17．不等式的解集是．18．如圖，四邊形中，，的平分線交于點，點是邊的中點，已知，則與的比值為．三、簡答題（每題5分，4題共20分）19．化簡：．20．化簡：．21．用合適的方法解方程：．22．已知，求的值．四、解答題（23，24題每題8分，25題10分，共26分）23．已知關于的方程的兩個根分別為、．（1）是這個方程的解嗎？請說明理由；（2）與是正數還是負數？請說明理由．24．（1）在學習：一元二次方程的解法這一節時，教科書介紹了兩種特殊的一元二次方程的解法，分別是用因式分解法和求平方根，將一元二次方程轉化為一元一次方程來求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序號）①消元，②降次）（2）解方程：；（3）若實數是方程的根，求的值．25．（1）通過剪裁、拼接兩個面積為1的正方形，可得到一個面積2的正方形．如圖1，已知小正方形的邊長為1，若點與數軸上表示1的點重合，將正方形繞著點旋轉，點落在數軸上，與點重合，則表示的數為；（2）下面我們來了解如何得到邊長為的正方形，如圖2，將五個面積為1的正方形，按圖示虛線剪裁，拼接成右側的圖形．我們可以用已經學過的幾何知識判斷出四邊形是正方形．已知直角△與△中，，，，、、三點在同一條直線上，求證：且；（3）下面介紹如何獲得邊長為的正方形．利用面積為2的正方形以及一個面積為1的正方形剪裁、拼接．如圖3，將面積為1的正方形與面積為2的正方形排列在一起．在上取點，使得，連接、．將△繞著點逆時針旋轉，得到△，再將△以類似方式旋轉至△的位置，四邊形即邊長為的正方形．請參考這一方法，僅利用面積為1的正方形（不限數量），以及上面小題（1）、（2）中已經獲得的面積為2或5的正方形，嘗試獲得邊長為的正方形，利用刻度尺畫出圖形．（圖上適當標注數據．不需要寫作圖過程）

參考答案一、選擇題（本大題共6題，每題3分，滿分18分）1．下列各數中，無理數的個數有（），，（每兩個相鄰的2之間多一個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：在，，（每兩個相鄰的2之間多一個中，，由無理數的定義可判斷（每兩個相鄰的2之間多一個是無理數，所以無理數有三個，故選：．2．下列說法正確的是（）A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2解：平方根有正負兩個值時）或時）．表示算術平方根，應為8，而非，所以此項錯誤，不符合題意；的平方根是0，正確，所以此項正確，符合題意；，而非，所以此項錯誤，不符合題意；，4的平方根是，選項說“是2”不完整，所以此項錯誤，不符合題意．故選：．3．下列說法錯誤的是（）A．實數可分為正實數和負實數兩類 B．正實數包括正有理數和正無理數 C．實數在數軸上都有唯一對應的點 D．數軸上任一點都有唯一對應的實數解：根據實數的分類，實數與數軸的對應關系逐項分析判斷如下：，實數包括正實數、負實數和零，零既不是正實數也不是負實數，選項錯誤，符合題意；，正實數包括正有理數和正無理數，選項正確，不符合題意；：實數與數軸上的點一一對應，每個實數都有唯一對應的點，選項正確，不符合題意；；：數軸上的每個點都有唯一對應的實數，選項正確，不符合題意；故選：．4．下列式子不是的有理化因式的是（）A． B． C． D．解：．，不含根式，不符合題意；．，不含根式，不符合題意；．，仍含根式，符合題意；．，不含根式，不符合題意．故選：．5．下列關于的方程有實數根的是（）A． B． C． D．解：根據根的判別式或簡化方程逐項分析判斷如下：、，△，此方程無實數根，不符合題意；、，△，此方程無實數根，不符合題意；、，簡化得，矛盾，無解，即此方程無實數根，不符合題意；、，△，此方程有實數根，故此方程有實數根，符合題意．故選：．6．甲、乙兩位同學將二次根式變形的過程如下，即：乙：由此，兩位同學共同得到“任何實數都等于它的相反數”的結論．兩位同學關于的變形過程，首次出現共同錯誤的地方是（）A．第一個等號后 B．第二個等號后 C．第三個等號后 D．兩位同學都沒錯解：根據二次根式的性質可知：，而非簡單等于或．甲的過程：（正確），但僅當時成立；乙的過程：（正確），但僅當（即時成立．兩位同學在第二個等號后應用根式性質時，均未確保或非負．首次共同錯誤出現在第二個等號后．故選：．二、填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）7．一元二次方程的求根公式的發現，是數學思想史上的一個里程碑，對于任意有實數根的一元二次方程，其求根公式為．解：對于任意有實數根的一元二次方程，，，兩邊加上得，，則，開平方得，，移項得，，故答案為：．8．用科學記數法把0.00001032表示為．解：．故答案為：．9．客廳地面呈長方形，長與寬的比恰為，現要用同一大小的正方形地磚鋪滿地面，且正方形不能切割．有一家地磚廠商，能夠生產任意邊長的正方形，那么這家廠商不能（填“能”或“不能”生產出符合要求的正方形地磚．解：設地面寬為，則長為，存在正整數、，使得．兩式相除得，是無理數，而是有理數，矛盾．不存在這樣的正方形地磚．故答案為：不能．10．實數、、在一條沒有標明原點的數軸上對應的點、、的位置如圖所示，則可化簡為．解：根據數軸可知，，且．，，，根號有意義，，可化簡為：．故答案為：．11．化簡：．解：，即，所以，；故答案為：．12．化簡：．解：，，原式，故答案為：．13．若最簡二次根式與是同類二次根式，則3．解：，最簡二次根式與是同類二次根式，，解得：，故答案為：3．14．已知三角形兩邊長是方程的兩個根，則三角形的第三邊的取值范圍是．解：三角形兩邊長是方程的兩個根，，，又，．故答案為：．15．寫出一個根為的一元二次方程：（答案不唯一）（寫成一般式）．解：設一元二次方程為，根據根與系數的關系，有，，計算兩根之和：，所以，計算兩根之積：，所以，因此，方程為．故答案為：（答案不唯一）．16．解方程：，．解：，，解得：，．故答案為：，．17．不等式的解集是．解：由題意可得：，，不等式兩邊同時除以，．故答案是：．18．如圖，四邊形中，，的平分線交于點，點是邊的中點，已知，則與的比值為．解：，（兩直線平行，內錯角相等），是的平分線，根據角平分線的定義得，，，（等角對等邊），，，，點是邊的中點，，，，故答案為：．三、簡答題（每題5分，4題共20分）19．化簡：．解：分別計算各項：；；；．再將各項結果代入原式．原式．20．化簡：．解：，，，，，，和同號，，要使和有意義，，，，，原式．21．用合適的方法解方程：．解：原方程整理可得：，，，，原方程的解是．22．已知，求的值．解：，把，代入得：原式．四、解答題（23，24題每題8分，25題10分，共26分）23．已知關于的方程的兩個根分別為、．（1）是這個方程的解嗎？請說明理由；（2）與是正數還是負數？請說明理由．解：（1）不是，理由如下：將代入方程可得，，，，，顯然不成立，不是這個方程的解；（2）與是負數，理由如下：根據題意，由根與系數的關系可得，，，，，，，，，與是負數．24．（1）在學習：一元二次方程的解法這一節時，教科書介紹了兩種特殊的一元二次方程的解法，分別是用因式分解法和求平方根，將一元二次方程轉化為一元一次方程來求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序號）②①消元，②降次）（2）解方程：；（3）若實數是方程的根，求的值．解：（1）②，故答案為：②；（2）原方程分解因式可得．或，方程，因式分解可得．或，解得：或，原方程的解為：；（3）設，則．，解得，．當時，，△，無實數根．當時，有實數根．因為是方程的根，．25．（1）通過剪裁、拼接兩個面積為1的正方形，可得到一個面積2的正方形．如圖1，已知小正方形的邊長為1，若點與數軸上表示1的點重合，將正方形繞著點旋轉，點落在數軸上，與點重合，則表示的數為或；（2）下面我們來了解如何得到邊長為的正方形，如圖2，將五個面積為1的正方形，按圖示虛線剪裁，拼接成右側的圖形．我們可以用已經學過的幾何知識判斷出四邊形是正方形．已知直角△與△中，，，，、、三點在同一條直線上，求證：且；（3）下面介紹如何獲得邊長為的正方形．利用面積為2的正方形以及一個面積為1的正方形剪裁、拼接．如圖3，將面積為1的正方形與面積為2的正方形排列在一起．在上取點，使得，連接、．將△繞著點逆時針旋轉，得到△，再將△以類似方式旋轉至△的位置，四邊形即邊長為的正方形．請參考這一方法，僅利用面積為1的正方形（不限數量），以及上面小題（1）、（2）中已經獲得的